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【创新设计】2015高考数学(江苏专用,理科)二轮专题整合:1-7-2矩阵与变换(选做部分)


第2讲

矩阵与变换
?-1 4 1 ? = ?1 ?2 ? ?,求矩阵 A 的特征值. 1 -2? ?
3 4

1.(2012· 江苏卷)已知矩阵 A 的逆矩阵 A





因为 A-1A=E,所以 A=(A-1)-1.

因为 A





?-1 4 1 ? = ?1 ?2

? ?,所以 A=(A 1 -2? ?

3 4

-1 -1

?2 ) =? ?2

3? ?, 1?

?λ-2 -3 ? 2 ?=λ -3λ-4. 于是矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? ? -2 λ-1? 令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4. ?1 2.(2011· 江苏卷)已知矩阵 A=? ?2 解 ?1 A2=? ?2 1??1 ?? 1??2 1? ?3 ?=? 1? ?4 1? ?1? ?,向量 β=? ?.求向量 α,使得 A2α=β. ?2? 1? 2??x? ?1? ?? ?=? ?,从 3??y? ?2?

2? ?x? ?3 ?,设 α=? ?,由 A2α=β 得,? ?y? ?4 3?

?3x+2y=1, ?x=-1, ?-1? 而? 解得? 所以 α=? ?. ? 2? ?4x+3y=2, ?y=2. 0? ?2 4? ?2 0? ?1 ?成立的矩阵 M. 3.求使等式? ?=? ?M? ?3 5? ?0 1? ?0 -1? 解 ?m n? ?2 ?,则? 设 M= ? ?p q ? ?3 4? ?2 ? =? 5? ?0 0? ?1 ? M? 1? ?0 0 ? ? -1?

?2m =? ? p

?-2n=4, -2n? ?,则? -q ? p=3, ?-q=5
2m=2, -2? ?. -5?

?n=-2, ?? p=3, ?q=-5,
m=1,

?1 即 M=? ?3

4. (2010· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).设 ?k 0 ? ?0 ?,N=? k 为非零实数,矩阵 M=? ?0 1? ?1 1? ?,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的 0?

-1-

变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值. 解 ?0 由? ?1 ?k 0 ??0 ?? 由题设得,MN=? ?0 1??1 k ??0 ?? 0??0 -2 0 -2? ?0 ?=? 1 ? ?0 0 -2 1? ?0 ?=? 0? ?1 k? ?, 0?

k ? ?,可知 A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(k,- -2?

2).计算得△ABC 的面积是 1,△A1B1C1 的面积是|k|,则由题设知:|k|=2×1 =2. 所以 k 的值为 2 或-2. ? 1 5.已知矩阵 A=? ?-1 a? ?2? ?,A 的一个特征值 λ=2,其对应的特征向量是 α1=? ?. ?1? b ?

?7? 设向量 β=? ?,试计算 A5β 的值. ?4? 解 ? 1 由题设条件可得,? ?-1 a??2? ?2? ?? ?=2? ?, ?1? b ??1? 2? ?. 4 ?

?2+a=4, ?a=2, ? 1 即? 解得? 得矩阵 A=? ?-1 ?-2+b=2, ?b=4,

?λ-1 -2? 2 ?=λ -5λ+6, 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? 令 f(λ)=0, 解得 λ1=2, ? 1 λ-4? λ2=3. ?2? ?1? 当 λ1=2 时,得 α1=? ?;当 λ2=3 时,得 α2=? ?, ?1? ?1? ?2m+n=7, 由 β=mα1+nα2,得? 得 m=3,n=1, ?m+n=4,
5 ∴A5β=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ1 α1)+λ5 2α2

?2? ?1? ?435? =3×25? ?+35? ?=? ?. ?1? ?1? ?339? ?2 6.(2014· 南京,盐城模拟)已知矩阵 M=? ?3 (1)求矩阵 M 的逆矩阵; (2)求矩阵 M 的特征值及特征向量. 1? ?. 4?

-2-



?a b? - ?. (1)设 M 1=? ?c d ? 1? ?2a+3b a+4b? ?1 ?=? ?=? 4? ?2c+3d c+4d ? ?0 0? ?, 1?

?a b??2 ?? 则? ?c d ??3

?2c+3d=0, ∴? a+4b=0, ?c+4d=1,

2a+3b=1,

? ? 1 ?b=-5, 解得? 3 c=-5, ? ? ?d=2 5,

4 a=5,

∴M-

1 -5? ?4 5 ?. 1 ? = ?-3 2? ? 5 5?

?λ-2 -1 ? ?=(λ-2)· (2)矩阵 A 的特征多项式为 f(x)=? (λ-4)-3=λ2-6λ+5, ? -3 λ-4? 令 f(λ)=0, ?-x-y=0, 得矩阵 M 的特征值为 1 或 5,当 λ=1 时,由二元一次方程? 得 ?-3x-3y=0, ? 1? x+y=0,令 x=1,则 y=-1,所以特征值 λ=1 对应的特征向量为 α1=? ?; ?-1? ?3x-y=0, 当 λ=5 时,由二元一次方程? 得 3x-y=0,令 x=1,则 y=3, ?-3x+y=0, ?1? 所以特征值 λ=5 对应的特征向量为 α2=? ?. ?3?

-3-


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