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[森林学堂]上海市三林中学2012学年高一第一学期期中数学


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2015-2016 学年上海市格致中学高一(上)期中数学试卷
一、填空题 1.已知全集 U=R, ,则 A∩?UB= .

2.若函数

,则 f(x)?g(x)=



3.函数 y=

的定义域是



4.不等式 ax+b<0 的解集 A=(﹣2,+∞),则不等式 bx﹣a≥0 的解集为



5. f x) =x2﹣ x+5 在区间 1) f 2) 已知函数 ( (a﹣1) ( , 上为增函数, 那么 ( 的取值范围是



6.已知集合 A={x|x≥2},B={x||x﹣m|≤1},若 A∩B=B,则实数 m 的取值范围是



7.“若 a+b>2,则 a>2 或 b>2”的否命题是



8.设 f(x)是 R 上的偶函数,f(1)=0,且在(0,+∞)上是增函数,则(x﹣1)f(x﹣1)>0 的解集是 .

9.已知函数 f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值 范围是 .

10.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(2)=1,若 f(x+a)≤1 对 x∈[﹣ 1,1]恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

11.已知

的解集为[m,n],则 m+n 的值为
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二、选择题 12.给出下列命题: (1)?={0}; (2)方程组 的解集是{1,﹣2};

(3)若 A∪B=B∪C,则 A=C; (4)若 U 为全集,A,B?U,且 A∩B=?,则 A??UB. 其中正确命题的个数有( A.1 B.2 C.3 ) D.4

13.“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根”的( A.充要条件 B.必要非充分条件 C.充分非必要条件 D.非充分非必要条件



14.已知 a∈R,不等式 A.a≥﹣4

的解集为 P,且﹣4?P,则 a 的取值范围是(



B.﹣3<a≤4 C.a≥4 或 a≤﹣3 D.a≥4 或 a<﹣3

15.函数 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为( D.[0,2]



A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2]

三、解答题(8+8+10+14 分) 16.记关于 x 的不等式 (Ⅰ)若 a=3,求 P; (Ⅱ)若 Q?P,求正数 a 的取值范围. 的解集为 P,不等式|x﹣1|≤1 的解集为 Q.

17.设 α:A={x|﹣1<x<1},β:B={x|b﹣a<x<b+a}.
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(1)设 a=2,若 α 是 β 的充分不必要条件,求实数 b 的取值范围; (2)在什么条件下,可使 α 是 β 的必要不充分条件.

18.设函数 f(x)=3ax2﹣2(a+c)x+c(a>0,a,c∈R) (1)设 a>c>0,若 f(x)>c2﹣2c+a 对 x∈[1,+∞]恒成立,求 c 的取值范围; (2)函数 f(x)在区间(0,1)内是否有零点,有几个零点?为什么?

19.已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体: 在定义域(0,+∞)内存在 x0,使函数 f(x0+1)≤f(x0)f(1)成立; (1)请给出一个 x0 的值,使函数 ;

(2)函数 f(x)=x2﹣x﹣2 是否是集合 M 中的元素?若是,请求出所有 x0 组成的集合;若不是, 请说明理由; (3)设函数 ,求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年上海市格致中学高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题 1.已知全集 U=R, 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】先确定集合 A={0,3},再确定 CUB={x|x≤ },最后根据交集定义运算得出结果. 【解答】解:因为 A={x|x2﹣3x=0}={0,3}, 而 B={x|x> },且 U=R, 所以,CUB={x|x≤ }, 所以,{x|x≤ }∩{0,3}={0}, 即 A∩CUB={0}, 故答案为:{0}. 【点评】本题主要考查了集合间交集,补集的混合运算,涉及一元二次方程的解法,交集和补集的 定义,属于基础题. ,则 A∩?UB= {0} .

2.若函数

,则 f(x)?g(x)= x(x>0) .

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可. 【解答】解:函数 故答案为:x(x>0). 【点评】本题考查函数的解析式的求法,考查计算能力. ,则 f(x)?g(x)= =x,x>0.

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3.函数 y=

的定义域是 {x|﹣1≤x<1 或 1<x≤4} .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用分母不为 0,开偶次方被开方数方法,列出不等式组求解可得函数的定义域. 【解答】解:要使函数有意义,可得: 函数的定义域为:{x|﹣1≤x<1 或 1<x≤4}. 故答案为:{x|﹣1≤x<1 或 1<x≤4}. 【点评】本题考查函数的定义域的求法,是基础题. ,解得:﹣1≤x<1 或 1<x≤4.

4.不等式 ax+b<0 的解集 A=(﹣2,+∞),则不等式 bx﹣a≥0 的解集为 (﹣∞, ] 【考点】其他不等式的解法. 【专题】方程思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】由题意可得 a<0,且﹣2a+b=0,解得 b=2a,代入要解的不等式可得. 【解答】解:∵不等式 ax+b<0 的解集 A=(﹣2,+∞), ∴a<0,且﹣2a+b=0,解得 b=2a, ∴不等式 bx﹣a≥0 可化为 2ax﹣a≥0, 两边同除以 a(a<0)可得 2x﹣1≤0, 解得 x≤ 故答案为:(﹣∞, ]. 【点评】本题考查不等式的解集,得出 a 的正负是解决问题的关键,属基础题.



5.已知函数 f(x)=x2﹣(a﹣1)x+5 在区间( ,1)上为增函数,那么 f(2)的取值范围是 7,+∞) . 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

[﹣

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【分析】求得二次函数的对称轴,由题意可得 (2)的范围.

≤ ,求得 a 的范围,再由不等式的性质,可得 f

【解答】解:函数 f(x)=x2﹣(a﹣1)x+5 的对称轴为 x= 由题意可得 解得 a≤2, 则 f(2)=4﹣2(a﹣1)+5 =11﹣2a≥﹣7. 故答案为:[﹣7,+∞). ≤ ,



【点评】本题考查二次函数的单调性的运用,考查不等式的性质,属于中档题.

6.已知集合 A={x|x≥2},B={x||x﹣m|≤1},若 A∩B=B,则实数 m 的取值范围是 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;定义法;集合. 【分析】先求出集合 B,再利用交集定义和不等式性质求解. 【解答】解:∵集合 A={x|x≥2},B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}, A∩B=B, ∴m﹣1≥2,解得 m≥3, ∴实数 m 的取值范围是[3,+∞). 故答案为:[3,+∞).

[3,+∞) .

【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意不等式性质的合理 运用.

7.“若 a+b>2,则 a>2 或 b>2”的否命题是 “若 a+b≤2,则 a≤2 且 b≤2” . 【考点】四种命题. 【专题】演绎法;简易逻辑. 【分析】根据否命题的定义,结合已知中的原命题,可得答案. 【解答】解:“若 a+b>2,则 a>2 或 b>2”的否命题是“若 a+b≤2,则 a≤2 且 b≤2”, 故答案为:“若 a+b≤2,则 a≤2 且 b≤2” 【点评】本题考查的知识点是四种命题,熟练掌握四种命题的概念,是解答的关键.
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8.设 f(x)是 R 上的偶函数,f(1)=0,且在(0,+∞)上是增函数,则(x﹣1)f(x﹣1)>0 的解集是 (0,1)∪(2,+∞) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】转化思想;数形结合法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出 f(x)>0 和 f(x)<0 的解集,进行求解即可. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的偶函数,f(1)=0,且在(0,+∞)上是增函数, ∴f(﹣1)=f(1)=0, 则函数 f(x)对应的图象如图: 即当 x>1 或 x<﹣1 时,f(x)>0, 当 0<x<1 或﹣1<x<0 时,f(x)<0, 则不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0 等价为 或 ,













即 x>2 或 0<x<1, 即不等式的解集为(0,1)∪(2,+∞), 故答案为:(0,1)∪(2,+∞)

【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性的关系,利用数形结合求出 f(x) >0 和 f(x)<0 的解集是解决本题的关键.

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9.已知函数 f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值 范围是 (﹣ ,0) .

【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由条件利用二次函数的性质可得 的范围. 【解答】解:∵二次函数 f(x)=x2+mx﹣1 的图象开口向上, 对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,∴ , ,由此求得 m



,解得﹣

<m<0,

故答案为:(﹣

,0).

【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.

10.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(2)=1,若 f(x+a)≤1 对 x∈[﹣ 1,1]恒成立,则实数 a 的取值范围是 [﹣1,1] . 【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题. 【分析】先利用 f(x)是 R 上的偶函数,且 f(2)=1,得到 f(2)=f(﹣2)=1;再由 f(x)在[0, +∞)上是增函数,f(x+a)≤1 对 x∈[﹣1,1]恒成立,导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在 x∈[﹣1,1]上恒成立, 由此能求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的偶函数,且 f(2)=1, ∴f(2)=f(﹣2)=1; ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,f(x+a)≤1 对 x∈[﹣1,1]恒成立, ∴﹣2≤x+a≤2, 即﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在 x∈[﹣1,1]上恒成立, ∴﹣1≤a≤1,
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故答案为:[﹣1,1]. 【点评】本题考查函数恒成立问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意函数的奇偶性、单调性的 灵活运用.

11.已知 【考点】根与系数的关系.

的解集为[m,n],则 m+n 的值为 3 .

【专题】计算题;方程思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出. 【解答】解:解:∵ x2﹣2x+3= (2x2﹣6x+9)= [(x﹣3)2+x2]≥ ,

令 n2﹣2n+3=n,得 2n2﹣9n+9=0, 解得 n= (舍去),n=3; 令 x2﹣2x+3=3,解得 x=0 或 3. 取 m=0. ∴m+n=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法,属于基础题.

二、选择题 12.给出下列命题: (1)?={0}; (2)方程组 的解集是{1,﹣2};

(3)若 A∪B=B∪C,则 A=C; (4)若 U 为全集,A,B?U,且 A∩B=?,则 A??UB. 其中正确命题的个数有( A.1 B.2 C.3 ) D.4

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题;集合思想;数形结合法;集合.
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【分析】由集合间的关系判断(1);写出方程组的解集判断(2);由 A∪B=B∪C,可得 A=C 或 A、C 均为 B 的子集判断(3);画图说明(4)正确. 【解答】解:(1)??{0}.故(1)错误; (2)方程组 的解集是{(1,﹣2)}.故(2)错误;

(3)若 A∪B=B∪C,则 A=C 或 A、C 均为 B 的子集.故(3)错误; (4)若 U 为全集,A,B?U,且 A∩B=?,如图, 则 A??UB.故(4)正确. ∴正确命题的个数是 1 个. 故选:A.

【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了集合的表示法及集合间的关系,是基础题.

13.“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根”的( A.充要条件 B.必要非充分条件 C.充分非必要条件 D.非充分非必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】方程思想;判别式法;简易逻辑. 【分析】一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根,则△ <0.解出即可判断出. 【解答】解:若一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根, 则△ =a2﹣4<0. 解得﹣2<a<2. ∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程 x2+ax+1=0 没有实根”必要不充分条件. 故选:B. 【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

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14.已知 a∈R,不等式 A.a≥﹣4

的解集为 P,且﹣4?P,则 a 的取值范围是(



B.﹣3<a≤4 C.a≥4 或 a≤﹣3 D.a≥4 或 a<﹣3

【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;方程思想;定义法;不等式的解法及应用. 【分析】原不等式化为 【解答】解: <0,分类讨论即可得到答案. 化为式 ﹣1>0,即 >0,即 <0,

当 a+3>0 时,即 a>﹣3 时,原不等式为 x+a<0,即 x<﹣a, ∵﹣4?P, ∴a≥4; 当 a+3<0 时,即 a<﹣3 时,原不等式为 x+a>0,即 x>﹣a, ∴﹣4?P, ∴a<﹣3; 当 a+3=0 时,即 x∈?, ∴﹣4?P, 综上所述:a 的取值范围为 a≥4,或 a≤﹣3, 故选:C. 【点评】本题考查分式不等式解法的运用,关键是分类讨论,属于与基础题.

15.函数 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为(



A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2] 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】综合题;函数的性质及应用.

D.[0,2]

【分析】由分段函数可得当 x=0 时,f(0)=a2,由于 f(0)是 f(x)的最小值,则(﹣∞,0]为减 区间,即有 a≥0,则有 a2≤x+ +a,x>0 恒成立,运用基本不等式,即可得到右边的最小值 2+a,解 不等式 a2≤2+a,即可得到 a 的取值范围.

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【解答】解:由于 f(x)=



则当 x=0 时,f(0)=a2, 由于 f(0)是 f(x)的最小值, 则(﹣∞,0]为减区间,即有 a≥0, 则有 a2≤x+ +a,x>0 恒成立, 由 x+ ≥2 =2,当且仅当 x=1 取最小值 2,

则 a2≤2+a,解得﹣1≤a≤2. 综上,a 的取值范围为[0,2]. 故选:D. 【点评】本题考查分段函数的应用,考查函数的单调性及运用,同时考查基本不等式的应用,是一 道中档题

三、解答题(8+8+10+14 分) 16.记关于 x 的不等式 (Ⅰ)若 a=3,求 P; (Ⅱ)若 Q?P,求正数 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;其他不等式的解法;绝对值不等式的解法. 【分析】(I)分式不等式 的解法,可转化为整式不等式(x﹣a)(x+1)<0 来解;对于 的解集为 P,不等式|x﹣1|≤1 的解集为 Q.

(II)中条件 Q?P,应结合数轴来解决. 【解答】解:(I)由 ,得 P={x|﹣1<x<3}.

(II)Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}. 由 a>0,得 P={x|﹣1<x<a},又 Q?P,结合图形 所以 a>2,即 a 的取值范围是(2,+∞).

【点评】对于条件 Q?P 的问题,应结合数轴来解决,这样来得直观清楚,便于理解.

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17.设 α:A={x|﹣1<x<1},β:B={x|b﹣a<x<b+a}. (1)设 a=2,若 α 是 β 的充分不必要条件,求实数 b 的取值范围; (2)在什么条件下,可使 α 是 β 的必要不充分条件. 【考点】充要条件. 【专题】转化思想;集合思想;简易逻辑. 【分析】(1)若 α 是 β 的充分不必要条件,则 A?B,即 (2)若 α 是 β 的必要不充分条件,则 B?A,即 论. 【解答】解:(1)∵a=2, ∴β:B={x|b﹣2<x<b+2}. 若 α 是 β 的充分不必要条件, 则 A?B,即 解得:b∈[﹣1,1]; (2)若 α 是 β 的必要不充分条件,则 B?A, 即 且两个等号不同时成立, , ,解得实数 b 的取值范围; 且两个等号不同时成立,进而得到结

即 a<1,b≤|a﹣1| 【点评】本题考查的知识点是充要条件,正确理解并熟练掌握充要条件的概念,是解答的关键.

18.设函数 f(x)=3ax2﹣2(a+c)x+c(a>0,a,c∈R) (1)设 a>c>0,若 f(x)>c2﹣2c+a 对 x∈[1,+∞]恒成立,求 c 的取值范围; (2)函数 f(x)在区间(0,1)内是否有零点,有几个零点?为什么? 【考点】函数零点的判定定理;二次函数的性质. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意可得:二次函数的对称轴为 x= ,由条件可得:2a>a+c,所以 x= <

<1,进而得到 f(x)在区间[1,+∞)是增函数,求出函数的最小值,即可得到答案.

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(2) 二次函数的对称轴是 x=

=c>0, f =a﹣c>0, , 讨论 f (0) (1) 而f (

=﹣ )

<0,根据根的存在性定理即可得到答案. 【解答】解:(1)因为二次函数 f(x)=3ax2﹣2(a+c)x+c 的图象的对称轴 x= 因为由条件 a>c>0,得 2a>a+c, 所以 x= < <1, ,

所以二次函数 f(x)的对称轴在区间[1,+∞)的左边,且抛物线的开口向上, 所以 f(x)在区间[1,+∞)是增函数. 所以 f(x)min=f(1)=a﹣c, 因为 f(x)>c2﹣2c+a 对 x∈[1,+∞]恒成立, 所以 a﹣c>c2﹣2c+a, 所以 0<c<1; (2)二次函数 f(x)=3ax2﹣2(a+c)x+c 图象的对称轴是 x= .

若 f(0)=c>0,f(1)=a﹣c>0,而 f(

)=﹣

<0,

所以函数 f(x)在区间(0,

)和(

,1)内分别有一零点.

故函数 f(x)在区间(0,1)内有两个零点; 若 f(0)=c<0,f(1)=a﹣c>0,而 f( )=﹣ <0,

故函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质,以及根的存在性定理.

19.已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体: 在定义域(0,+∞)内存在 x0,使函数 f(x0+1)≤f(x0)f(1)成立; (1)请给出一个 x0 的值,使函数 ;

(2)函数 f(x)=x2﹣x﹣2 是否是集合 M 中的元素?若是,请求出所有 x0 组成的集合;若不是, 请说明理由;

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(3)设函数

,求实数 a 的取值范围.

【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】应用题;新定义;函数思想. 【分析】(1)取值带入即可; (2)根据函数 f(x)的定义求解 x0 即可; (3)利用函数的思想求解. 【解答】解:(1)令 x0=2,则 ,成立;

(2)假设函数 f(x)=x2﹣x﹣2 是集合 M 中的元素,则存在 x0,使 f(x0+1)≤f(x0)f(1)成立, 即(x0+1)2﹣(x0+1)﹣2≤( 解得: 故 x0 组成的集合是:{x0| (3)∵函数 f(x)= , , }; )(﹣2),





设 g(x)=

=



∴0<g(x)<3,2 a=0 时显然成立, 当 a>0 时,a>g(x),∴a>3; a<0 时,a<g(x),∴a<0; 综上,a≤0 或 a>3 【点评】本题考查新定义及运用,考查运算和推理能力,考查函数的性质和应用,正确理解定义是 迅速解题的关键,属于中档题

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