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最新人教版高中数学必修2第四章圆与方程常考知识点预测及答案解析


第四章 圆与方程常考知识点预测 4.1.1 圆的标准方程 [提出问题] “南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮,它位于江西省南昌市红谷滩新区红 角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为 160 米,转盘直径 为 153 米,比位于英国泰晤士河边的 135 米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高. 问题 1:游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗? 提示:一样.圆上的点到圆心距离都是相等的,都是圆的半径. 问题 2:若以摩天轮中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,游客在任一点(x,y) 的坐标满足什么关系? 提示: x2+y2= 153 . 2 问题 3:以(1,2)为圆心,3 为半径的圆上任一点的坐标(x,y)满足什么关系? 提示: ?x-1?2+?y-2?2=3. [导入新知] 圆的标准方程 (1)圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称 为圆的半径. (2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示. (3)圆的标准方程:圆心为 A(a,b),半径长为 r 的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 当 a=b=0 时,方程为 x2+y2=r2,表示以原点为圆心、半径为 r 的圆. [化解疑难] 1 1.由圆的标准方程,可直接得到圆的圆心坐标和半径大小;反过来说,给出了圆的圆 心和半径,即可直接写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方程的直观性,为其优点. 2.几种特殊位置的圆的标准方程: 条件 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0) (x-a)2+y2=r2(r≠0) x2+(y-b)2=r2(r≠0) (x-a)2+y2=a2(a≠0) x2+(y-b)2=b2(b≠0) (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0) (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0) 点与圆的位置关系 [提出问题] 爱好运动的小华,小强,小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛,他们把靶子钉在土墙上,规 定谁的飞镖离靶心 O 越近,谁获胜,如图 A,B,C 分别是他们掷一轮飞镖的落点.看图回 答下列问题: 问题 1:点与圆的位置关系有几种? 提示:三种.点在圆外、圆上、圆内. 问题 2:如何判断他们的胜负? 提示:利用点与圆心的距离. [导入新知] 2 点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心 A(a,b),半径为 r.设所给点为 M(x0,y0), 则 判断方法 几何法 │MA│=r?点 M 在圆 A 上 │MA│<r?点 M 在圆 A 内 │MA│>r?点 M 在圆 A 外 代数法 点 M(x0,y0)在圆上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2 点 M(x0,y0)在圆内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2 点 M(x0,y0)在圆外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2 位置关系 点在圆上 点在圆内 点在圆外 [化解疑难] 1.点与圆的位置关系有三种:点在圆内,点在圆上,点在圆外. 2.判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法. 求圆的标准方程 [例 1] 过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4

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