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函数的单调性学案最终




函数的单调性》学案

教学目标:了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性. 一、知识与考点 1、可导函数的单调性: (1)若函数 y ? f ( x) 在区间( a , b )上单调递增,则 f ?( x) ? 0 ,反之等号不成立; (2 ) 若函数 y ? f ( x) 在区间( a , b )上单调递减,则 f ?( x) ? 0 ,反之等号不成立; (3)若函 数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b ) 上不单调, 则函数 y ? f ( x) 在区间 有极值, 即 y ? f ?( x) (a, b) 在区间( a , b )上有零点,且无重根。 2、求可导函数的单调区间: (1)求定义域; (2)求导数; (3)确定 f ?( x ) 的符号,使 f ( x?) ? 0 的区间,为单调增区间, 使 f ?( x) ? 0 的区间为单调减区间。 (用导数方法求出的单调区间,都用开区间表示) 二、基本技能自测 1.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为:D
3 2

A. (2, ??)
3

B. ( ??, 2)

C. ( ??, 0)

D. (0, 2)

2.函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上单调函数,则实数 a 的取值范围_____(答: ) ; 3.在 [ a, b] 上, f ?( x) ? 0 恒成立是函数 y ? f ( x) 单调递增的_______条件。(必要不充分) 4. f ( x ) 的 导 函 数 y ? f ?( x ) 的 图 象 如 右 图 所 示 , 则 y ? f ( x ) 的 图 象 最 有 可 能 的 是 ( C )

(关注原函数与导函数的图象关系) 三、典型问题研讨 1 1 问题一、求函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a 2 的单调减区间. 3 2 1)解:y′ = x2 – (a + a2) x + a3 = (x – a) (x – a2),令 y′<0 得(x – a) (x – a2)<0. (1)当 a<0 时,不等式解集为 a<x<a2 此时函数的单调减区间为(a, a2); (2)当 0<a<1 时,不等式解集为 a2<x<a 此时函数的单调减区间为(a2, a); (3)当 a>1 时,不等式解集为 a<x<a2 此时函数的单调减区间为(a, a2); (4)a = 0,a = 1 时,y′≥0 此时,无减区间. 综上所述:

1 1 当 a<0 或 a>1 时的函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a 2 的单调减区间为(a, a2); 3 2 1 1 当 0<a<1 时的函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a 2 的单调减区间为(a2, a); 3 2

当 a = 0,a = 1 时,无减区间. 思考:求单调区间如何进行? 问题二、设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) 1、求 f ( x) 的单调区间 2、若 f ( x) 在区间 内单调递增,求 k 得取值范围。 (- 1,1 ) 思考:有几种方法?单调性问题如何处理? 问题三. 已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (1)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率 是 ?3 ,求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...
2 解析: (1)由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即 函 数 f ?( x) 在 (?1,1) 上 存 在 零 点 , 由 f ?( x) ? ( x ? a)(3x ? a ? 2) ? 0 得 ,

(2)函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

x1 ? a, x2 ? ?

a?2 3







f ( x)在(- 1,1 )





?- 1 ? a ? 1 ? 单 调 , 即 a?2 ? 或 a?? ? 3 ?

a?2 ? -1 ? ? ?1 ?- 1 ? a ? 1 ?- 5 ? a ? 1 ? 1 1 ? ? ? 3 (- 5, - ) ? (- ,1 ) .解得 ? ? 1 或? 1 所以 a 的取值范围为 2 2 a?? a?? ?a ? ? a ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? 3 ?
思考:下面的方法对吗?根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
2 整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1

四、体验高考: 、 1.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,当 a ? 3b ? 0 时, f ( x) 的单调性是 递增
2

2.已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右下图所示( 其中 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数),下面四个图象 中 y ? f ( x) 的图象大致是:C

另见《名师面对面》第 52 页题 1、2、3 五、课堂小结:学生回答,前面知识与考点 六、布置作业:课时作业,第 348 页,第 2 课时。


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