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二项式定理


二项式定理
【高考导航】 二项式定理在高考中每年一道题,题型为以下几种:求展开式某一项或某一项的系数; 求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和;二项式某一项为字母,求这个字母的值;求 近似值的问题.试题难度不大, 与教材习题相当.因此, 二项式定理一节内容的学习或复习要 重视基础,对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理,熟练掌握, 不必追求难解题. 【学法点拨】 本节内容是初中所学多项式乘法的继续, 它所研究的是一种特殊的多项式——二项式乘 方的展开式,是培养观察,归纳能力的好题材,二项式定理是以公式形式表现二项式的正整 2 2 数幂的展开式在指数、项数、系数等方面内在联系的重要定理,应在(a+b) 、(a+b) 、(a +b) 的展开式的了解基础上,归纳掌握好二项式定理.通项公式 T
2

=C

(r=0,1,

2,?,n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化,是二项式定理的核心它 是求展开式的某些项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)以及 系数的重要公式. 二项式系数 C (r=0,1,2,?,n)是一组仅与二项式的次数 n 有关的 n+1 个组合数, 而与 a、b 无关,它不包括 a、b 本身(或 a、b 的某次幂)的系数.只有当求某指定项的系数 时,才包括 a、b 的系数,称展开式中的某一项的系数,当二项式两项本身的系数都是 1 时, 展开式的二项式系数就是展开式各项的系数, 但当二项式的两项本身的系数不为 1 时, 这两 者就不同了,要在把握概念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.二项式定理:(a+b) =C a +C a 2.通项公式:Tr+1=C a 3.二项式系数性质: (1)距两端等距离的二项式系数相等,即 C =C .
n-r r n n n-1

b+?+C a

n-r r

b +?+C b (n∈N )

n

*

b

(2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大. 当 n 为偶数时,中间一项(即第 +1 项)的二项式系数最大;

当 n 为奇数时,中间两项(即第 和第 +1 项)的二项式系数最大. n (3)在二项展开式中各项的二项式系数和为 2 ,即: C +C +C +?+C =2 .
n

(4)在二项展开式中,奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和,都等于 2 即 C +C +C +?=C +C +C +?=2
n-1

n-1



.

二、重点难点突破 掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点, 会求二项展开式、 展开式的中间项等指定 项,会求二项式系数,指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用,是本节的难点.突破 难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式. n (a+b) 的展开式具有如下性质: 1.展开式的项数:共 n+1 项. 2.展开式的每一项的指数:a 与 b 的指数之和为 n,即二项展开式各项的次数等于二项 式的次数 n,字母 a 的指数依次降幂排列,指数由 n 逐次减 1 直到 0,字母 b 按升幂排列, 指数从 0 起逐项加 1 到 n. 3.二项式系数的特征:每一项的系数为一组合数,第 r+1 项的系数为 C . 学习二项式定理时,还应注意: 1.二项式定理从左到右的使用为展开,从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公 式的逆用功能不可忽视. n n 2.对于通项公式是相对于(a+b) 标准形式而言的,对于(a-b) 的展开式的通项 Tr+1= r (-1) C a
n-r r

b ,它是第 r+1 项而不是第 r 项,公式中的 a,b 位置不能颠倒.利用通项公式可求

展开式的特定项. 3.应用二项式定理时,要有目标意识,同时要处理好“一般”与“特殊”的关系,注意 变形的技巧以及等价转化的数学思想方法. 三、易错点和易忽略点导析 本节易错点是在审题时, 观察不仔细, 不能发现差异, 或将二项式系数与某项系数混淆, 现举例说明. 7 2 7 【例 1】 如果(1-2x) =a0+a1x+a2x +?+a7x , 那么 a1+a2+?+a7 的值等于 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 7 7 错解:令 f(x)=(1-2x) ,则 f(1)=(1-2) =a0+a1+?+a7=-1. ∴选择 B. 7 7 正确解法:令 f(x)=(1-2x) ,则 f(1)=(1-2) =a0+a1+?+a7=f(1)=-1. 又令 x=O,得 a0=1. ∴a1+a2+?+a7=-1-a0=-2.故选 A. 错解分析:错因在于审题失误,未注意到式子 a1+a2+?+a7 中没有 a0,致使赋值 x=1 后便认为是所求,因此,解此类问题要仔细观察,克服粗心大意. 【例 2】 求 C +C +C +?+C 的值. 错解:原式=2 . 正确解法: C +C +?+C =2 -C =2048-1=2047.
11 11

错解分析:忽略了二项式系数的和是指 C +C +C +?+C =2 ,或者是审题未发 现缺少 C 而出现失误. 【例 3】 求(x+ 错解:∵(x+ -1) 展开式中的常数项.
5 5

n

-1) =[(x+ )

)-1] ,
5-r

5

∴展开式的通项为 Tr+1=C (x+ C x ·
5-r-k

(-1) ,而(x+

r

)

5-r

的展开式中的通项为 T′k+1=

( ) =C x . 欲求常数项,令 5-r-2k=0,即 r+2k=5 且 0≤r≤5,0≤k≤5-r.

k

5-r-2k

∴有三组解




3 5

∴所求常数项为 C C (-1),C C (-1) 和 C C (-1) ,即-30,-20 和-1. 正确解法一:∵(x+ ∴通项为 Tr+1=C (x+ -1) =[(x+ )
5 5-r 5

)-1] , (0≤r≤5)

5

·(-1)

r

当 r=5 时,T6=C (-1) =-1; 当 0≤r<5 时,(x+
5-r-k

)

5-r

的通项为
5-r-2k

T′k+1=C x ·( ) =C x (0≤k≤5-r). ∵0≤r≤5,且 r∈Z. ∴r 只能取 1 或 3 相应的 k 值分别为 2 或 1. ∴常数项为 C C (-1)+C C (-3) +(-1)=-51. 正确解法二:由于本题只有 5 次,也可以直接展开,即 [(x+ )-1] =(x+
5 3

k

) -5(x+

5

) +10(x+

4

) -10(x+

3

) +5(x+

2

)-1.

由 x+ ;的对称性知,只有在 x+ 自的中间项, ∴常数项为-5C -10C -51.

的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各

正确解法三: (x+ -1) =(x+ -1)(x+ -1)(x+ -1)·(x+ -1)(x+ -1). 5 按多项式乘法的规律, 常数可从五个因式中都选取-1 相乘为(-1) ;或从五个因式中选 定一因式中取 x,一因式取 因式中取 x,另二因式中取 为
5 3

5

,另三个因式中取(-1),为 C C (-1) ;或从五个因式某二 ,余下一个因式中取-1,所得式为 C C (-1),所以常数项

3

(-1) + C C (-1) +C C (-1)=-51. 错解分析:错解一是出现了 C 这个无意义的数,原因是解题不严密造成的,在考虑(x + 5-r * ) 的展开式时,用的是二项式定理,但没有注意到二项式定理只对 n∈N 适用.当 r=5 时, 5-r=0,此特殊情况应特殊处理.二是概念的理解错误,同一展开式只能有一个常数项,不 可能有两个或多个常数项. 【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨 二项式定理经常与数列、不等式以及极限等知识综合组题. 【例 1】 已知(x +x) 的展开式中第 5、6、7 项的系数依次成等差数列,求展开式中
n

的常数项. 思维入门指导: 第 5、 6、 7 项的系数就是此三项的二项式系数, 由此可求出次数 n 的值. 解:第 5、6、7 项的系数分别为 C 、C 、C ,依题意有 2C =C +C (n≥6),

即 2·
2





.

所以,n -21n+98=0.∴n=7 或 n=14. (1)当 n=7 时,设展开式中的常数项为 Tr+1,则 Tr+1=C (x )
7-r

·x =C x

r

.

令 7r-28=0,得 r=4.所以 T5=C =35. (2)当 n=14 时,仿上可得 T9=C =3003. 综上,当 n=7 时,常数项为 35,当 n=14 时,常数项为 3003. 点拨:对幂指数未知的二项式中求特定项的问题,一般要由题设先求出 n 值,然后再求 特定项.在求特定项时,往往利用通项公式将问题转化为解方程或不等式组来求出 r 值. 3n 【例 2】 求证:对 n∈N,3 -26n-1 可被 676 整除. 证明:当 n=0 时,原式=0,可被 676 整除;

当 n=1 时,原式=0,也可被 676 整除; 当 n≥2 时,原式=27 -26n-1=(26+1) -26n-1=(26 +C 26 C
n n n n n-1

+?+C

26 +

2

26+1)-26n-1=
n-1

26 +C 26

+?+C

26

2

上式中每一项都含有 26 这个因数,故可被 26 =676 整除. 3n 综上述,对一切自然数,3 -26n-1 可被 676 整除. 点拨:此题 n=0 与 n=1 应单独处理,易被忽略. 2 n-1 * 【例 3】 设 an=1+q+q +?+q (n∈N ,q≠±1), An=C +C a2+?+C an.

2

2

求证:An=

[2 -(1+q) ].

n

n

证明:∵q≠1,∴an=

.

∴An=C a1+C a2+?+C an



C +

C +?+

C



[(C +C +C +?+C )-(C +qC +q C +?+q C )]

2

n



[2 -(1+q) ].
n

n

n

点拨:本题逆用了二项式定理及 C +C +?+C =2 ,这些重要的数学模型常常运用 于解题过程中. 二、学科间综合思维点拨 【例 4】 一个螺旋桨在某种情况下转动,它所消耗的功率 P(单位:马力)和螺旋桨的 5 直径 D(单位:米)的关系是 P=6D ,已知 D=3.11,求 P(精确到 100 马力). 解:∵D=3.11, ∴P=6×(3.11) =6×(3+0.11) =6[3 +C ·3 ·0.11+C 3 (0.11) +?+C (0.11) ]. 在精确 100 马力的要求下,第三项及其以后的各项可以略去不计, ∴P≈6×[3 +C 3 ×O.11]=6×(243+44.55)=1725.3≈170O,即所消耗功率约为 1700 马力.
5 4 5 5 5 5 4 2 2

点拨:在进行估算求值时,经常使用二项式定理,特别地当 h 很小、n 较大时, (1+h) ≈1+nh 是工业计算中经常使用的粗算公式. 三、应用思维点拨 【例 5】 某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食 占有量比现在提高 10%.如果人口增长率为 1%,那么耕地年均每年只能减少多少公顷?(精
n

确到 1 公顷,粮食单产= ,人均粮食占有量= ) 解:设耕地平均每年至多减少 x 公顷,该地区现有人口 P 人,粮食单产 M 吨/公顷,依 题意有:



(1+10%).

解得 x≤10 [1-
3

3

]
2

=10 [1-
3

(C +C ×0.01+C ×0.01 +?)]

≈10 [1- ×1.1045]≈4(公顷). 答:耕地每年至多只能减少 4 公顷. 点拨:本题应用了指数,二项式定理的基础知识. 2000 【例 6】 今天是星期天,从今天起 2 天后的第一天是星期几? 2000 666 666 解:2 =6 ×4=4(7+1) =4(7 +C =28(7 +C
665 666

7 +?+C 7 +?+C
2000 664

665

7+1) )+4.
2000

能被 7 整除,所以 2 被 7 整除,所以 2 天后的第一天应为星期五. 四、创新思维点拨

被 7 除余数为 4.又因为今天星期天,所以 4

【例 7】已知 a、b 为正整数,且 + =1,试证明:对每一个 n∈N ,都有(a+b) n n 2n n+1 -a -b ≥2 -2 . 思维入门指导: 本题创新点在于综合性强, 要灵活地运用二项式定理的展开式和不等式 的均值定理. 证明:由
n

*

n


n

=1,得 x=a+b≥2
n n-1

,即 ab-2
n-2 2

≥0,∴ab≥4.① ab
n-1

而(a+b) -a -b =C a C a
n-1

b+ +C a

b +?+C

=C ab

n-1

+C a b

2 n-2

+?+

b=C

( C )

)+C ( .②
n n n

)+?+C

(

)≥(C +C +?+

将①代入②得(a+b) -a -b ≥(C +C +?+C =(2 -2)·2 = 2n n+1 2 -2 . ∴命题成立.
n n

)

=[(1+1) -C -C ]·2

n

n

点拨: 本题考查了 C +C +C +?+C =2 及 a、 b∈R 时有 的数学思想方法. 五、高考思维点拨 【例 8】(2003,河南、江苏,4 分)(x - 解:由通项公式,得 Tr+1=C (x ) 令 18-3r=9 得 r=3,
3 2 9-r 2 9 9

n





及逆向思维

) 展开式中 x 的系数是________.
-1 r

(-

x ) =(-

)C x

r

18-3r

.

∴系数为(- ) C =- . 点拨:本题考查二项式定理中通项公式的运用. 【例 9】 (1999,全国理,5 分)若(2x+
2 2

) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则(a0+a2

4

2

3

4

+a4) -(a1+a3) 的值是( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 2 2 思维入门指导:注意到(a0+a2+a4) -(a1+a3) =(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3 +a4),故可使用赋值法求解,也可以用二项式定理直接求出 a0,a1,a2,a3,a4,然后求解. 解法一:令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+ 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4=(-2+ ∴(a0+a2+a4) -(a1+a3) =(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4) =(2+
4 2 2

).

4

).

4

) (-2+

4

).

4

=(-1) =1.故选 A. 解法二:(2x+ (2x) , ∴a0=C ( a2=C 2 (
2 4

) =C (

4

) +C (2x)(

4

) +C (2x) (

3

2

) +C (2x) ·

2

3

+C

) =9,a1=C 2( ) =72,a3=C ·2
2 3

4

) =24 =32

3

, ,

a4=C ·2 =16. ∴(a0+a2+a4) -(a1+a3)
2 2

4

=97 -(56

2

) =9409-9408=1.

2

点拨:显然解法一显得巧妙. 六、经典类型题思维点拨

【例 10】 求二项式(x +

2

) 展开式中的常数项.
0

10

思维入门指导:应用通项公式,依据 x =1,求 r 的值. 解:展开式中第 r+1 项为:

Tr+1=C (x )

2 10-r

(

) =C x

r

·(
8

).

r

令 20- r=0,得 r=8.∴T9=C ( ) = . 点拨:对 Tr+1 表达式进行化简变形时,要注意指数运算法则的正确使用. 【例 11】 若 n 为正奇数,求 7 +C ·7 数. 思维入门指导:注意逆用二项式定理. 解:由二项式定理可知,原式=(7+1) -1=(9-1) -1=9 -C ·9 +(-1)
n-1 n n n n-1 n n-1

+C ·7

n-2

+?+C

·7 被 9 除所得的余

+C ·9

n-2

-?

C

·9

+(-1) -1. ∵n 为正奇数,∴除以 9 的余数为-2+9=7. n 点拨:余数应满足 0≤r<9,r∈N,不能是负整数,且题目中已知式比(7+1) 的展开 式少最后一项,不要忽略. 7 3 2 4 【例 12】 在(ax+1) 的展开式中,x 项的系数是 x 项的系数与 x 项的系数的等差中 项,若 a>1,求 a 的值. 解:∵Tr+1=C (ax)
3 7-r

n


4 2 2

依题意,得 2C a =C a +C a ,即 5a -10a+3=0.

又∵a>1,∴a=1+ 【例 13】 求( -

. ) 展开式中的有理项.
9

思维入门指导:展开式中的有理项,就是通项公式中 x 的指数为整数的项. 解:∵Tr+1=C (x )
9-r

(-x ) =(1-) C x

r

r





∈Z,即 4+

∈Z,用 r=0,1,2,?,9 进行检验,得 r=3 或 r=9.
3 4 4

当 r=3 时, 当 r=9 时, ∴二项式( -

=4,T4=(-1) C x =-84x ; =3,T10=(-1) C x =-x . ) 的展开式中的有理项是 T4=-84x ,T10=-x .
2 7 2 13 14 9 4 3 9 3 3

【例 14】 已知(1-2x+3x ) =a0+a1x+a2x +?+a13x +a14x , (1)求 a0+a1+a2+?+a14;(2)求 a1+a3+a5+?+a13. 7 解:(1)令 x=1,则 a0+a1+?+a13+a14=2 =128. ① 7 (2)令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+?+a14=6 . ② 7 7 ①-②得 2(a1+a3+?+a13)=2 -6 =-279808, ∴a1+a3+a5+?+a13=-139904. 七、探究性学习点拨 n 【例 15】 求证:在(p+q) (p>0,q>0)的展开式中,(1)Tk+1 是最大项的充要条 件是 Tk+1≥Tk,且 Tk+1≥Tk+2;(2)首项是最大项的充要条件是 T1≥T2;(3)末项是最大项的充 要条件是 Tn+1>Tn. n 证明:(1)在(p+q) 的展开式中, Tk=C p q ,Tk+1=C p q ,Tk+2=C p q ,则





·





的值随 k 的增大而减小,随 k 减小而增大.

故从

≥1 可知,对一切 k′<k,有



·

·

·?·

>1.

即若 Tk+1≥Tk,则 Tk+1 大于 Tk 以前的任何一项.

同理,



·

.

的值随 k 的增大而增大,随大的减小而减小.

故从

≥1 可知对一切 k″>k+2,则有



·

·

·?·

>1.

即若 Tk+1≥Tk+2,则 Tk+1 大于 Tk+2 以后的每一项. 故 Tk+1 是展开式中的最大项,必须且只须 Tk+1≥Tk,Tk+1≥Tk+2. (2)当 k=0 时,最大项是首项,其充要条件是 T1≥T2. (3)当 k=n 时,最大项是末项,其充要条件是 Tn+1≥Tn.

【强化练习题】 A 卷:教材跟踪练习题 (100 分 60 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.二项式(x- A.-27C ) 的展开式中,x 的系数是( B.27C
10 6

) C.-9C D.9C

2.(2



) 的展开式中,常数项是(

6



A.-20 B.20 C.-160 D.160 * 2 4n-1 3.当 n∈N 且 n≥2 时,1+2+2 +?+2 =5p+q(其中 p,q 为非负整数,且 0≤q ≤5),则 q 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.与 n 有关 4.3 +C · 3 +C · 3 +C · 3 +C · 3 -C · 3 -C · 3 -C · 3 -C · 3 的值是 ( A.0 B.4
n 9 9 7 5 3 1 8 6 4 2



C.512

D.513

5.设二项式(3· + ) 的展开式中的各项系数的和为 p,所有二项式系数的和为 S, 若 p+S=272,则 n 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.8 6.( A.-40 +1) ·(x-1) 的展开式中,x 的系数为( B.10 C.40
4 5 4

) D.45

7.已知( ( ) A.6·



) 展开式中各项系数和大于 8,且小于 32,则展开式系数最大的项是

n

B.x
9 2 8 9

C.4x )

D.4x D.512

或 4x

8.设(2-x) =a0+a1x+a2x +?+a8x +a9x ,则 a8+a9=( A.17 B.19 C.8

9.已知(2x +

2

) (n∈N )的展开式中含有常数项,则 n 的最小值是(

n

*



A.4 B.5 C.9 D.10 2n 2n+1 n 10.已知(ax+1) 和(x+a) 的展开式中 x 的系数相等,a∈R,且 a≠0,则 a 与 1 的 大小关系是( ) A.a≤1 B.a≥1 C.a<1 D.a>1 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11.在(x - ) 的展开式中, 第 4 项的二项式系数是______, 最后一项的系数是______. 41 12.41 被 7 除所得的余数是________. 5 13.(1-3a+2b) 展开式中不含 b 的项系数之和是________. 9 8 3 2 100 14.(ax+1) 与(x+2a) 的展开式中,x 的系数相等,则 1+a+a +?+a =______(a >0). 三、解答题(每题 10 分,共 30 分)
2 9

15.已知( 第 3 项.



) 的展开式中的第 4 项与第 2 项系数的比是 15: 1, 求展开式的倒数

n

16.在二项式( 项.
*



) 的展开式中,前 3 项的系数成等差数列,求展开式中的有理
m n

n

17.已知 m、n∈N ,f(x)=(1+x) +(1+x) 的展开式中 x 项的系数为 19,求 f(x) 2 3 的展开式中 x 的系数的最小值,并求此时展开式中 x 项的系数. B 卷:综合应用创新练习题 (90 分 60 分钟) 一、学科内综合题(每题 10 分,共 20 分) 5 1.若(1-2x) 的展开式中的第二项小于第一项,不小于第三项,求实数 x 的取值范围.

2.已知 a 为实常数, 且(a



) 展开式的常数项为 2×10 , 求证 lg

6

4

是方程 f(x)

= 3 2 6x +7x -3x-1=0 的根. 二、应用题(10 分) 3.某公司的股票今天的指数为 2, 以后每天的指数都比上一天的指数增加 0.2%, 则 100 天以后这家公司的股票指数约为多少?(精确到 0.001) 三、创新题(34 分) (一)教材变型题(10 分) 2 2 4. (P113 习题 10.4 第 4 题变型) 在 (2-x) 的展开式中, 设 x 的系数为 an(n=2, 3, ?),







+?+

的值.

(二)一题多解(10 分) 3 4 100 3 5.试求(1+x) +(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 项的系数. (三)一题多变(14 分)

6.设函数 f(x)是定义在 R 上的一个给定函数,函数 g(x)=C f( f( )x(1-x) +?+C f( )x (1-x) (其中 x≠0,且 x≠1). (1)当 f(x)=1 时,求 g(x);(2)当 f(x)=x 时,求 g(x). 四、高考题(共 26 分) 7. (2002, 上海春招, 8 分) 若在( -
n-1 n 0

)·(1-x) +C

n

) 的展开式中, 第 4 项是常数项, 则 n=______.

n

8.(2001,上海理,9 分)在代数式(4x -2x-5)(1+

2

) 的展开式中,常数项为

5

________ . n n 3 2 * 9.(1995,上海,9 分)若(x+1) =x +?+ax +bx +?+1(n∈N ),且 a:b=3:1, 那么 n=______ . 加试题:竞赛趣味题(每题 5 分,共 10 分) 1.要使 n 位数 11?1 是 11 的倍数,n 应满足怎样的条件?

2.(1998,浙江省夏令营试题)设 n∈N ,要使 的条件? 【课堂内外】

*

是 11 的倍数,则 n 满足怎样

“博弈”浅谈 早在距今 2000 多年的中国战国时,曾有一个流传后世的典故,在著名军事家孙膑的帮 助下,齐国大将田忌以“下驷对上驷,上驷对中驷,中驷对下驷”的策略,在平均劣势下, 赢得了对国王的赛马胜利. “田忌赛马”的故事,用现代术语来说就是一个典型的博弈问题,博弈思想的种子出自 中国,却在西方开花结果,并成为当代应用最广泛的数学分支之一. 现代的博弈论,主要研究决策主体的行为在直接相互作用时,人们如何进行决策,以及 这种决策如何达到均衡的问题, 在博弈论的分析中, 一定场合中的每个对弈者在决定采取何 种行动时,都有策略地,有目的的行事,考虑到他的决策及对其他人的影响,通过选择最佳 行动方案,来寻求收益或效用的最大化. 1950 至 1953 年间, 就读于普林斯顿大学数学系的纳什发表了 4 篇对博弈论的发展有划 时代意义的论文.证明了非合作博弈均衡——纳什均衡的存在.纳什的研究方法实际上很简 单,他设计了一个 3 个人的“竞选游戏”.让 3 个参加游戏的人在不同条件下选择自己最有 利的“代理人”,而其结果显示,当 3 个人互不结盟,互不对抗的条件下,所选出的“代理 人”对各自利益的影响最坏.因此,某种程度的合作或结盟,才能使各自利益最大化. 尽管现代博弈论是由美籍匈牙利数学家冯· 诺伊曼和经济学家奥斯卡· 摩根斯坦在 1944 年创立的,但通过这个“游戏”,纳什奠定了自己在博奕论中的大师地位. 在英文中,博奕论也可以翻译为“游戏理论”,而在实际生活中,确实有许多游戏都反 映了博奕论的思想.如扑克、下棋、赛马,甚至赌博,都有博奕的影子. 例如最简单的幼儿游戏“石头、剪子、布”中,我们的问题是:对方如何行动,而我又 将如何应对才能最佳?这实际上就涉及了博弈论的核心问题, 即博弈论是以对方的行为作为 自己决策的依据,并寻求最佳结果.

社会生活的许多现象,都带有相互竞争与合作的特征.如股市,庄家和散户之间也可以 算是一种博弈.如果你在股市博弈中加入了散户一方,你的对手就是拥有控盘能力的庄家. 因此,当你与大多数散户一样做出入市的决定,你的对手的应招就是打压股价,在你无奈而 退时,对手却抬高股价.散户与庄家都在追求各自利益的最大化.这就展开了博弈. 在更大的范围内,国际政治格局中的战略结盟与敌对等等,无一不是搏弈,可以说,博弈在 当代世界中无处不在.

参考答案 A卷 1.D 点拨:Tr+1=C x
10-r

(-

) ,令 10-r=6,得 r=4,∴x 的系数为 9C .

r

6

2.C 2 4n-1 4n-1 3.A 点拨:由于 1+2+2 +?+2 =2 , 4n-1 ∴问题化归为求 2 被 5 除的余数. ∵2 4.D 5.A 6.D 7.A 5. ∴n=4,而系数最大的项是中项 T3=C ( 8.A 9.B 10.C ∴C
n 8 4n-1

=16 =(1+15) -1=C ·15+C ·15 +?+C ·15 ,即除以 5 的余数为 0.∴选 A. 点拨:原式=(3-1) +1=513. n n n 点拨:依题意 4 +2 =272,∴2 =16,∴n=4. 点拨:含 x 项的系数为 C C (-1) +C C (-1) +C C (-1) =45. 点拨:本题中展开式各项系数和就是二项式系数和 2 ,∴8<2 <32.∴3<n<
n n 4 1 2 3 9

n-1

n

2

n

) (x ) =6x .

2

- 2

点拨:a8+a9=C ·2·(-1) +(-1)=17. 点拨:Tr+1=C (2x ) ·x =2 C x 点拨:(ax+1) 中 x 系数为 C a =C ·a (a≠0).
n+1 2n n n 2 n-r -3r n-r 2n-5r

.令 2n-5r=0,则 n 的最小值是 5.
2n+1

a ,(x+a)

中 x 的系数为 a ,

n

n+1

∴a=

=

·

=

=1-

<1.∴a<1.

二、11.84,-

点拨:第 4 项的二项式系数为 C =84.

最后一项是第 10 项,系数为 C (12.6
41 41 41 41

) =40

9

. ·42=1,

点拨:41 =(42-1) =42 -C

42 +?+C

∴41 被 7 除所得余数是-1+7=6. 5 13.-32 点拨:令 b=0;a=1,得不含 b 的项系数之和是(1-3) =-32.

14.

点拨:(ax+1) 展开式中 x 的系数是 C a , (x+2a) 中 x 的系数 C

9

3

3

8

3

(2a) ,∴C a =C (2a) (a>0).∴a=

5

3

5

.

∴1+a+?+a =

100

=

=

.
-3

三、 15.解: 由 C :C =15:1 得 (n-1) (n-2) =90.解得 n=11.∴倒数第 3 项为 T10=55ab . 16.解:展开式前三项的系数为 1, , ,依题意,1+ =n.解得 n=8 或 n=1(舍).

∴Tr+1=

·x

4-

r

.设 Tr+1 项是有理项,则

∴r=0,4,8.∴展开式中的有理项是 T1=x ,T5=

4

x,T9=

.
2

17.解:f(x)展开式中 x 项的系数为 C +C ,∴m+n=19.f(x)展开式中 x 项的系数为 C +C = + =n -19n+171=(n- ) + . 2 当 n=9 或 n=10 时,x 项的系数最小,最小值是 81,此时,m=10 或 m=9. ∴x 项的系数为 C +C =156. B卷 一、1.解:依题意,T2<T1,T2≥T3,
7 2 2


3 3

化简得
3 4

解得-

<x≤0 为所求. =lg = .

2.解:T4=C a =20a ,∴20a =2×10 .∴a=10.于是 lg ∴f( )=6×( ) +7×(
3

) -3×(

2

)-1=0.



即 lg

是方程 f(x)=0 的根.
100

二、3.解:2(1+0.2%) =2[C

+C

0.002+C

(0.002) +?]=2(1+0.2+0.O198+?)≈

2

2.4396=2.440.∴100 天后这家公司的股票指数为 2.440. 点拨:此题属增长率问题. 三、(一)4.解:an=C 2 =
n-2

·2 ,

n-2



=

=

=8(

-

), )]=8(1)-8.

∴原式=8[(1- )+( - )+?+( 点拨:裂项法求数列的前 n 项之和.
3

(二)5.解法一:各展开式中 x 项的系数分别为 C C ,C ,?,C C +C + C +?+C =C +C +C +?+C =C +C +?+C =?=C

,则 x 的系数为

3

=4082925.

解法二:(1+x) +(1+x) +?+(1+x) = 因此 x 的系数为(1+x) 展开式中 x 的系数,即 C 点拨:解法一使用了组合数性质 C +C (三)6.解:(1)∵f(x)=1, ∴g(x)=C (1-x) +C x(1-x) +?+C x =[(1-x)+x] =1. (2)∵f(x)=x,∴g(x)=C (1-x) +C
n n n-1 n n 3 101 4

3

4

100

= =4082925.

.

=C

较为麻烦,解法二较简便.

x(1-x) +C

n-1

x (1-x) +?+C

2

n-2

x.

n

∵C

=

·
n-1

= x (1-x) +?+C
2 n-2

=C x =x[C
n

, (1-x) +C
n-1

∴g(x)=C
n-1

x(1-x) +C
n-1

x(1-x) +?+C

n-2

x ]=x[(1-x)+x] =x. 点拨:用 C = 四、7.18 ∴令 C 使二项式系数的下标统一. ) (
n-3

点拨:∵T4=C ( =0.∴n=18.

) =C (-1) x

3

3

为常数项,

8.15

点拨: (4x -2x-5)(1+

2

) =(4x -2x-5)(1+5·

5

2

+10·

+10

+5·

+

),

∴常数项为 4x ·5· 9.11

2

-5×1=15.

点拨:由二项式定理可得 a=C ,b=C .

∵a:b=3:1,∴C :C =3:1.解得 n=11. 点拨:上述三道高考题考查了二项式定理,通项公式及组合数的计算等.

加试题:1.

=

=

[(11-1) -1].
n n

n

因为 9 与 11 互质,因此若
n n n-1

[(11-1) -1]是 11 的倍数,只须(11-1) -1 是 11 的倍数,
n-1 n

而(11-1) -1=11 -C ·11 +?+(-1) ·11+(-1) -1, 因此,n 为偶数时,n 位数 11?1 才是 11 的倍数.

2.解:

9 =

n-k

9

n+1-k

=

(

9

n+1-k

-1)=

[(9+1) -1]=

n+1

.即知 n

应满足的条件是 n 为奇数.


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