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6-习题课


第六章

样本及抽样分布 习 题 课

一、重点与难点 二、主要内容

三、典型例题

一、重点与难点
1.重点
(1) 正态总体某些常用统计量的分布. (2) 临界值的查表计算.

2.难点
(1) 几个常用统计量的构造. (2) 标准正态分布和F

分布临界值的查表计算.

二、主要内容
总体 样本 个体 统计量

常用统计量
概率密度函数

常 用 统 计 量 的 分 布

? 2 分布
t 分布 F 分布

性 质
关 于 样 本 和 方 差 的 定 理

分位点

总体 试验的全部可能的观察值称为总体. 个体 总体中的每个可能观察值称为个体. 样本 设 X 是具有分布函数 F 的随机变量 , 若 X 1 ,
X 2 , ?, X n 是具有同一分布函数 F、相互独立的

随机变量, 则称 X1 , X 2 ,?, X n 为从分布函数 F (或总体 F、或总体 X ) 得到的容量为 n 的简单 随机样本 , 简称样本 .

统计量
设 X1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个样本 ,
g( X1 , X 2 ,?, X n ) 是 X1 , X 2 ,?, X n 的函数 , 若 g中

不含未知参数 , 则称 g( X 1 , X 2 ,?, X n ) 是一个统
计量.

常用统计量
1 n (1)样本平均值: X ? ? X i . n i ?1

(2)样本方差: 1 ? n 2 1 n 2? 2 2 S ? ? ( X i ? X ) ? n ? 1 ? ? X i ? nX ? . n ? 1 i ?1 ? i ?1 ?
(3)样本标准差:

S?

S2 ?

1 n 2 ??Xi ? X ? . n ? 1 i ?1

常用统计量
1 n k (4)样本 k 阶(原点)矩: Ak ? ? X i , k ? 1, 2, ? . n i ?1

(5)样本 k 阶中心矩: 1 n Bk ? ? ( X i ? X ) k , k ? 2, 3, ? . n i ?1

常用统计量的分布(一)
? 分布
2

设 X1 ,X 2 ,?, X n 是来自总体 N(0, 的样本, 1)
则称统计量

? ? X1 ? X 2 ? ? ? X n
2 2 2

2

服从自由度为n的? 2分布, ? 2 ~ ? 2 (n). 记为

? 2分布的性质
性质1 ( ? 2分布的可加性)
2 2 设 ?12 ~ ? 2 ( n1 ), ? 2 ~ ? 2 (n2 ), 并且 ?12 , ? 2 独 2 2 立, 则 ?1 ? ? 2 ~ ? 2 (n1 ? n2 ).

性质2 ( ? 2分布的数学期望和方差 )

若 ? 2 ~ ? 2 ( n), 则 E ( ? 2 ) ? n, D( ? 2 ) ? 2n.

常用统计量的分布(二)
t 分布
设 X ~ N (0, 1), Y ~ ? (n), 且 X , Y 独立, 则 X 称随机变量 t ? 服从自由度为 n 的 t 分布, Y /n 记为 t ~ t ( n).
2

t 分布又称学生氏(Student)分布.

常用统计量的分布(三)
F分布

设U ~ ? 2 (n1 ), V ~ ? 2 (n2 ), 且U , V 独立, 则称 U / n1 随机变量 F ? 服从自由度为 ( n1 , n2 ) 的 F 分 V / n2
布, 记为 F ~ F ( n1 , n2 ).

常用统计量的概率密度函数
? 2 ( n)分布的概率密度为
n y ?1 ? ? 1 y2 e 2 , ? n ? 2 ? n? f ( y ) ? ? 2 ?? ? ? 2? ? ? 0 ?

y ? 0,

其他.

常用统计量的概率密度函数
t (n) 分布的概率密度函数为
? n ? 1? n ?1 ? ?? ?? t2 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? h( t ) ? , ? ? ? t ? ?? . ? ? n? ? n?? πn? ? ? ? 2?

常用统计量的概率密度函数
F ( n1 , n2 )分布的概率密度为
n1 ? n1 2 ?1 ? n1 ? n2 ?? n1 ? 2 ? ?? ?? ? y ? ? 2 ?? n2 ? , y ? 0, ? ? n1 ? n2 ? ? ? ? ( y) ? ? ? 2 ? ? n1 ? ? n2 ? ? ? n1 ? ? ? ?? ??? ? ?1 ? ? y ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? n2 ? ? ? 0, 其他. ?

常用统计量的分布的分位点
? 2 分布的分位点
对于给定的正数 ? , 0 ? ? ? 1, 称满足条件
?
2

P{ ? ? ?? ( n)} ? ?
2 2

?? ( n )

f ( y )dy ? ?

2 的点 ?? ( n) 为 ? 2 ( n) 分布的上? 分位点.

常用统计量的分布的分位点
t 分布的分位点
对于给定的 ? , 0 ? ? ? 1, 称满足条件
P{t ? t? ( n)} ? ?
? t? ( n )

h( t )dt ? ?

的点 t? ( n) 为 t ( n) 分布的上 ? 分位点.

常用统计量的分布的分位点
F 分布的分位点
对于给定的 ? , 0 ? ? ? 1, 称满足条件
P{ F ? F? ( n1 , n2 )} ? ?
?? F? ( n1 , n2 )

? ( y )dy ? ?

的点 F? (n1 , n2 ) 为 F ( n1 , n2 ) 分布的上 ? 分位点.

F分布的上?分位点具有如下性质: 1 F1?? ( n1 , n2 ) ? . F? ( n2 , n1 )

关于正态总体的样本和方差的定理
定理一

设 X 1 , X 2 , ?, X n 是来自正态总体N ( ? ,? 2 )
的样本 , X 是样本均值 , 则有

X ~ N ( ? , ? 2 / n).

定理二

设 X 1 , X 2 , ?, X n 是总体N ( ? ,? 2 ) 的样本,
X , S 2 分别是样本均值和样本方差 , 则有

?2 (2) X 与 S 2 独立.

(1)

( n ? 1) S

2

~ ? 2 ( n ? 1);

定理三

设 X 1 , X 2 , ?, X n 是总体N ( ? ,? 2 ) 的样本,
X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有

X ?? ~ t ( n ? 1). S/ n

定理四
设 X 1 , X 2 , ?, X n1与 Y1 , Y2 , ?, Yn2 分别是具有
2 2 相同方差的两正态总体 N ( ?1 ,? 1 ), N ( ?2 ,? 2 )的样 n1 1 本 , 且这两个样本互相独立 , 设 X ? ? X i , n1 i ?1 n2 1 Y ? ? Yi 分别是这两个样本的均值, n2 i ?1 n1 1 1 n2 2 2 S12 ? ( X i ? X )2 , S 2 ? ? ? (Yi ? Y ) n1 ? 1 i ?1 n2 ? 1 i ?1

分别是这两个样本的方差, 则有

2 S12 / S2 (1) 2 2 ~ F ( n1 ? 1, n2 ? 1); ?1 /? 2

2 2 (2) 当? 1 ? ? 2 ? ? 2 时,

( X ? Y ) ? ( ?1 ? ?2 ) ~ t ( n1 ? n2 ? 2), 1 1 Sw ? n1 n2
2 ( n1 ? 1) S12 ? ( n2 ? 1) S2 2 2 其中 S w ? , Sw ? Sw . n1 ? n2 ? 2

三、典型例题
例1 设 X 服从 N (0,1), ( X1 , X 2 ,?, X 6 )为来自总 体

X 的简单随机样本 ,

Y ? ( X 1 ? X 2 ? X 3 )2 ? ( X 4 ? X 5 ? X 6 )2
试决定常数 C , 使得 CY 服从 ? 2 分布.



根据正态分布的性质,

X 1 ? X 2 ? X 3 ~ N (0,3), X 4 ? X 5 ? X 6 ~ N (0,3),

X1 ? X 2 ? X 3 则 ~ N (0,1), 3 X4 ? X5 ? X6 ~ N (0,1), 3

? X1 ? X 2 ? X 3 ? 故? ~ ? 2 (1), ? 3 ? ?
2

? X4 ? X5 ? X6 ? ~ ? 2 (1), ? ? 3 ? ?
2

因为 X 1 , X 2 ,?, X 6相互独立及? 2 分布的可加性 ,
? X1 ? X 2 ? X 3 ? ? X 4 ? X 5 ? X 6 ? ? ? ?? ? 3 3 ? ? ? ?
2 2

1 2 2 ? 2 (2), ? [( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? ( X 4 ? X 5 ? X 6 ) ] ~ 3 1 所以C ? , CY 服从 ? 2 分布. 3

例2 设 X1 和 X 2 是来自正态总体 N ( ? ,? 2 ) 的容量

为n 的两样本 ( X11 , X12 ,?, X1n ) 和 ( X 21 , X 22 ,?, X 2n )
的样本均值, 试确定 n,使得这两个样本均值之差超

过?的概率大约为 0.01 .


? ?2? ? ?2? X1 ~ N ? ? , ? , X 2 ~ N ? ? , ? , ? n? ? n? ? ? ? ? ? 2? 2 ? ?, 则 X 1 ? X 2 ~ N ? 0, ? n ? ? ?
n? ? X1 ? X 2 P{ X 1 ? X 2 ? ? } ? P ? ? ? 2? ? 2 / n?

n? ? X1 ? X 2 ? 1 ? P? ? ? 2? ? 2 / n?

? ? n? n ?? ? ? n? ? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? 2?? ? ? 0.01, 2 ?? ? ? 2? ? ? 2?
? n? 有 ?? ? ? 0.995 , 查标准正态分布表知 ? 2?

n ? 2.58, 于是 n ? 14 . 2

例3

设总体 X ~ N ( ? ,? 2 ), 从此总体中取一个容
?? 2 1 n 2 2? (1) P ? ? ? ( X i ? ? ) ? 2? ?; ? 2 n i ?1 ? ?? 2 1 n 2 2? ( 2) P ? ? ? ( X i ? X ) ? 2? ?. ? 2 n i ?1 ?

量为 n ? 16 的样本 ( X1 , X 2 ,?, X16 ), 求概率

解 (1) 因为 X1 , X 2 ,?, X16 是来自正态总体的样本 ,
所以 1

?

( X i ? ? )2 ~ ? 2 ( n), 2?
i ?1

n

?? 2 1 n 2 2? 于是 P ? ? ? ( X i ? ? ) ? 2? ? ? 2 n i ?1 ?
? ? 1 16 2 ? P ?8 ? 2 ? ( X i ? ? ) ? 32? ? i ?1 ? ?

? P{8 ? ? 2 (16) ? 32} ? P{ ? 2 (16) ? 32} ? P{ ? 2 (16) ? 8} ? [1 ? P{ ? 2 (16) ? 32}] ? [1 ? P{ ? 2 (16) ? 8}] ? 0.94 ;

(2)因为

1

?

2

?( Xi ? X ) i ?1

n

2

~ ? ( n ? 1),
2

?? 2 1 n 2 2? 于是 P ? ? ? ( X i ? X ) ? 2? ? ? 2 n i ?1 ?
? ? 1 16 2 ? P ?8 ? 2 ? ( X i ? X ) ? 32? ? i ?1 ? ?

? P{8 ? ? 2 (15) ? 32} ? P{ ? 2 (15) ? 8} ? P{ ? 2 (15) ? 32} ? 0.98 .


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