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2013年重点高中自主招生测试数学试题及答案



2013 年自主招生测试

数 学 试 题
考生注意: 1、本试题分为 I、 II 两卷,请将第 I 卷选择题和填空题的答案填在第 II 卷的相应位置; 2、考试时间:90 分钟;总分:150 分。

第I卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1、下列计算中,正确的是( A. 2 0 ? 0 )
3 2 6

B. ( a ) ? a

C. 9 ? ? 3

2 D. a ? a ? a

2、如右图,在□ABCD 中,AC 平分∠DAB,AB = 3, 则□ABCD 的周长为( A.6 C.12
2

) B.9 D.15

3、已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )的图象如右图所 示,则下列结论 ① a ? b ? c ? 0 ② a ? b ? c ? 0 ③ b ? 2a ? 0 A.1 个 C.3 个 ④ abc ? 0 中正确的个数是( B.2 个 D.4 个 )

4、如图是一个水平摆放的小正方体木块,图(2) 、 (3)是由这样的小正方体木块叠放而 成,按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 ( )

(1)

(2)

(3)

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(A)25

(B)66

(C)91

(D)120

5、有如下结论(1)有两边及一角对应相等的两个三角形全等; (2)菱形既是轴对称图形 又是中心对称图形; (3)对角线相等的四边形是矩形; (4)平分弦的直径垂直于弦,并 且平分弦所对的两条弧。其中正确结论的个数为( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 )

(D)4 个

6、 在 1000 个数据中, 用适当的方法抽取 50 个作为样本进行统计, 频数分布表中, 54.5~57.5 这一组的频率是 0.12,那么,估计总体数据落在 54.5~57.5 之间的约有 ( (A)6 个 (B)12 个 (C)60 个 (D)120 个 )

7、若 m、n(m<n)是关于 x 的方程 1 ? ( x ? a)( x ? b) ? 0 的两根,且 a < b, 则 a、b、m、n 的大小关系是( ) A. m < a < b< n B. a < m < n < b C. a < m < b< n D. m < a < n < b )

8、若直角三角形的两条直角边长为 a、b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则有( A、ab=h B、
1 1 1 + = a b h

a b h 9、如右图,正方形 ABCD 边长为 1,E、F、G、H 分别为各边上的点, 且 AE=BF=CG=DH.设小正方形 EFGH 的面积为 y,AE 为 x, 则 y 关于 x 的函数图象大致是( )

C、

1
2

+

1
2

=

1
2

D、a2 +b2=2h2

y

1

o
A、 B、 C、 D、

1

x

10、用三种边长相等的正多边形地砖铺地,每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起,刚 好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为 x、y、z,则

1 1 1 ? ? 的值为( x y z
(D)



(A)1

(B)

2 3

(C)

1 2

1 3

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二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
11、根据右图中的抛物线可以判断: 当 x ________时, y 随 x 的增大而减小. 12、函数 y ?
x?2 中,自变量 x 的取值范围是__________. x ?x?2
2

13、如果关于 x 的一元二次方程 2x2-2x+3m-1=0 有两个实数根 x1,x2,且它们满足不 等式

x1 x2 ? 1,则实数 m 的取值范围是 x1 ? x2 ? 3



14、甲、乙、丙三辆车都匀速从 A 地驶往 B 地.乙车比丙车晚 5 分钟出发,出发后 40 分 钟追上丙车;甲车比乙车晚 20 分钟出发,出发后 100 分钟追上丙车,则甲车出发 后 分钟追上乙车. 15、在平面直角坐标系中,平行四边形四个顶点中,有三个顶点坐标分别是(-2,5) , (-3, -1) , (1,-1) ,若另外一个顶点在第二象限,则另外一个顶点的坐标是__________. 16、 如下图, 四边形的两条对角线 AC、 BD 所成的角为?, 当 AC + BD = 10 时, 四边形 ABCD 的面积最大值是 。 D C A

?

B

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2013 年自主招生测试

数 学 试 题
第Ⅱ卷(答题卷) 一、选择题 (每小题 5 分,共计 50 分) 1 2 3 4 5 6 二、填空题(每小题 5 分,共计 30 分) 11、____________ 12、____________ 13、___________ 7 8 9 10

14、____________ 15、____________ 16、____________ 三、解答题(共 6 个小题,满分 70 分,写出解题过程)
? 3 ? ?1 2009 17、 (8 分) 计算: | 3.14 ? π | ?3.14 ? ? ? 2 ? 1? ? ? 2 cos 45° ? ( 2 ? 1) ? (?1) ? ?
0

18、 (8 分)先化简,再求值: 其中 x ? ?22 ?

x 10 5 x3 ? x 2 , ? 2 ? ? 2 x?2 x ?4 x?2 x ? x?2

1 2 ?1

? 2(tan 45? ? cos30?)0 .

19、 (12 分)已知 ?ABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程

x2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 3k ? 2 ? 0 的两个实数根,第三边长为 5.
(1) k 为何值时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ?ABC 是等腰三角形,并求 ?ABC 的周长
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20、 (12 分)某土产公司组织 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共 120 吨去外地销售。 按计划 20 辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种土特产,且必须装满,根据下表提 供的信息, 解答以下问题 土特产种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量(吨) 每吨土特产获利(百元) 8 12 6 16 5 10

(1)如果装运每种土特产的车辆都不少于 3 辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安 排方案。 (2)若要使此次销售获利最大,应采用(1)中哪种安排方案?并求出最大利润的值。

4 21、 (15 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,cosA= .以 AB 为直径作半圆,圆心为 O, 5 半圆分别交 BC、AC 于点 D、E. (1)求证:CD=BD; CE (2)求 的值; AE (3)若过点 D 的直线与⊙O 相切,且交 AB 的 CQ 延长线于点 P,交 AC 于点 Q,求 的值. BP

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22、 (15 分) 已知: 直线 y ?

1 1 2 x ? 1 与 y 轴交于 A, 与 x 轴交于 D, 抛物线 y ? x ? bx ? c 2 2 与直线交于 A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为 (1,0) .

(1)求抛物线的解析式; (2)动点 P 在 x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点 P 的坐标. (3)在抛物线的对称轴上找一点 M,使 | AM ? MC | 的值最大,求出点 M 的坐标. y E

A D O B C

x

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数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题:(每小题 5 分,共计 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 A
1 2

8 C

9 B

10 C

B C B C A D 二、填空题:(每小题 5 分,共计 30 分) 11、<1 14、180 12、x>-2 且 x ? 1 15、 (-6,5)

13、 -1﹤m≤ 16、
25 sin ? 2

三.解答题(共 6 个小题,满分 70 分,写出解题过程)
17、解:原式 ? ?(3.14 ? π) ? 3.14 ?1 ? 2 ?

2 1 ? ? (?1) ……………………5 分 2 2 ?1
……………………7 分

? π ? 3.14 ? 3.14 ? 2 ?

2 ?1 ?1 2 ?1

? π ? 2 ? 2 ? 1 ?1


18、解:原式=

……………………8 分

x 10 x?2 x 2 ( x ? 1) ? ? ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 2) 5 ( x ? 2)( x ? 1)

……………………2 分

?

x?2 x2 ( x ? 2)( x ? 1) ? ? ? x ?1 x?2 x?2 x?2

……………………4 分 ……………………6 分

?原式 ? x ? 1 ? 2 ? 2

……………………8 分

19、解: (1)因为 AB, AC 是方程 x ? (2k ? 3) x ? k ? 3k ? 2 ? 0 的两个实数根,
2 2

所以 AB ? AC ? 2k ? 3, AB ? AC ? k ? 3k ? 2
2

……………………1 分
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又因为 ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形,且 BC ? 5 所以 AB ? AC ? BC ,所以 ( AB ? AC)2 ? 2 AB ? AC ? 25 ,……………………2 分
2 2 2

即 (2k ? 3)2 ? 2(k 2 ? 3k ? 2) ? 25 , 所以 k ? 3k ? 10 ? 0 所以 k1 ? ?5, k2 ? 2
2

……………………4 分

2 当 k ? 2 时,方程为 x ? 7 x ? 12 ? 0 ,解得 x1 ? 3, x2 ? 4 ……………………5 分 2 当 k ? ?5 时,方程为 x ? 7 x ? 12 ? 0 ,

解得 x1 ? ?3, x2 ? ?4 (不合题意,舍去)

……………………6 分

所以当 k ? 2 时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形。 (2)若 ?ABC 是等腰三角形, 则有① AB ? AC ② AB ? BC ③ AC ? BC 三种情况。 ……………………7 分 因为 ? ? (2k ? 3)2 ? 4(k 2 ? 3k ? 2) ? 1 ? 0 , 所以 AB ? AC ,故第①种情况不成立。 ……………………8 分

所以当 AB ? BC 或 AC ? BC 时,5 是 x2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 3k ? 2 ? 0 的根, 所以 25 ? 5(2k ? 3) ? k ? 3k ? 2 ? 0, k ? 7k ? 12 ? 0 ,解得 k1 ? 3, k2 ? 4 ……10 分
2 2
2 当 k ? 3 时, x ? 9 x ? 20 ? 0 所以 x1 ? 4, x2 ? 5 ,

所 以等腰 ?ABC 的三边长分别为 5、5、4,周长是 14
2 当 k ? 4 时, x ? 11x ? 30 ? 0 所以 x1 ? 5, x2 ? 6 ,

……………………11 分

所以等腰 ?ABC 的三边长分别为 5、5、6,周长是 16. ……………………12 分 20、解: (1)设装运甲种土特产的车辆数为 x,装运乙种土特产的车辆数为 y, 8x+6y+5(20―x―y)=120 ……………………2 分 ∴y=20―3x ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=20―3x ……………………3 分 由 x≥3,y=20-3x≥3, 20―x―(20―3x)≥3 可得 3 ? x ? 5

2 3

又∵x 为正整数 ∴ x=3,4,5 …………………………………………5 分 故车辆的安排有三种方案,即: 方案一:甲种 3 辆 乙种 11 辆 丙种 6 辆 方案二:甲种 4 辆 乙种 8 辆 丙种 8 辆 方案三:甲种 5 辆 乙种 5 辆 丙种 10 辆…………………………8 分
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(2)设此次销售利润为 W 元, W=8x·12+6(20-3x)·16+5[20-x-(20-3x)]·10=-92x+1920………10 分 ∵W 随 x 的增大而减小 又 x=3,4,5 ……………………11 分 ∴ 当 x=3 时,W 最大=1644(百元)=16.44 万元 ……………………12 分 答:要使此次销售获利最大,应采用(1)中方案一,即甲种 3 辆,乙种 11 辆,丙种 6 辆, 最大利润为 16.44 万元。

21、 (1)证明:如图(1)连结 AD.………………1 分 ∵点 D 在以 AB 为直径的半圆上, ∴AD⊥BC.………………………………2 分 又∵AB=AC,∴CD=BD.……………3 分
E

Q C

D

P

(2)如图(2)连结 EB. …………………………4 分 ∵点 E 在以 AB 为直径的半圆上, …………………5 分 4 AE 4 在 RtAEB 中,∵cosA= ,∴ = .………6 分 5 AB 5 ∴BE⊥AC. 设 AE=4k,则 AB=5k, 又∵AB=AC, ∴CE=AC-AE=5k-4k=k. CE k 1 ∴ = = . ………………………………8 分 AE 4k 4 (3)如图(3)连结 OD. ∵CD=BD,AO=BO, …………………9 分

A

O (第 21 题)(1)

B

Q C E D

P A O (第 21 题)(2) B

∴OD 是△ABC 的中位线.∴OD∥AC. ……10 分 ∵过点 D 的直线 PQ 与⊙O 相切, ∴OD⊥PQ. …………………………………11 分 过 B 作 BH⊥PQ,H 为垂足,∴BH∥OD∥AC. 易证△DBH≌△DCQ,∴QC=BH.………13 分 BH 在 Rt△PBH 中,cos∠HBP= , BP BH ∴ = cos∠HBP=cosA BP 4 BH 4 CQ 4 ∵cosA= ,∴ = .即 = .……………15 分 5 BP 5 BP 5 22、解: (1)将 A(0,1) 、B(1,0)坐标代入 y ?
竟成教育英才奖学金测试数学试题 页 D H A O (第 21 题)(3) B P Q C

1 2 x ? bx ? c 得 2
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?1 ? c ? ? 1 0 ? ?b?c ? ? 2

3 ? ?b ? ? 解得 ? 2 ? ?c ? 1
1 2 3 x ? x ? 1 .x………………………………2 分 2 2 1 2 3 m ? m ?1 2 2

∴抛物线的解折式为 y ?

k(2)设点 E 的横坐标为 m,则它的纵坐标为

1 2 3 m ? m ? 1) . 2 2 1 又∵点 E 在直线 y ? x ? 1 上, 2 1 2 3 1 ∴ m ? m ?1 ? m ?1 . 2 2 2 解得 m1 ? 0 (舍去) , m2 ? 4 .
则 E( m , ∴E 的坐标为(4,3) .………………………………4 分 (Ⅰ)当 A 为直角顶点时 过 A 作 AP 0) . 1 ⊥ DE 交 x 轴于 P 1 点,设 P 1 ( a, 易知 D 点坐标为( ?2 ,0) . 由 Rt△ AOD ∽ Rt△POA 得 A D O P1 B M C P3 F P2 x y E

DO OA 2 1 1 ? 即 ? ,∴ a ? . 2 OA OP 1 a
∴P 0 ? .………………………………6 分 1? , (Ⅱ)同理,当 E 为直角顶点时, P2 点坐标为( 分

?1 ?2

? ?

11 ,0) . )…………………………8 2

(Ⅲ)当 P 为直角顶点时,过 E 作 EF ⊥ x 轴于 F ,设 P , 0) . 3 (b 由 ?OPA ? ?FPE ? 90° ,得 ?OPA ? ?FEP . Rt△ AOP ∽ Rt△PFE . 由

AO OP 1 b ? ? . 得 PF EF 4 ? b 3

解得 b1 ? 1 , b2 ? 3 . ∴此时的点 P3 的坐标为(1,0)或(3,0) .……………………………10 分
竟成教育英才奖学金测试数学试题 页 第 10 页 共 11

综上所述,满足条件的点 P 的坐标为( (3)抛物线的对称轴为 x ? ∵B、C 关于 x ? ∴ MC ? MB .

1 11 ,0)或(1,0)或(3,0)或( ,0) 2 2

3 .………………………………11 分 2

3 对称, 2
………………………………12 分

要使 | AM ? MC | 最大,即是使 | AM ? MB | 最大.………………………………13 分 由三角形两边之差小于第三边得, 当 A、 B、 M 在同一直线上时 | AM ? MB | 的值最大. 易知直线 AB 的解折式为 y ? ? x ? 1 .

? y ? ?x ?1 ? ∴由 ? 3 x? ? ? 2

3 ? x? ? ? 2 得? ?y ? ? 1 ? ? 2

∴M(

3 1 ,- ) .……………………………15 分 2 2

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