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山西省太原五中2013届高三数学5月月考试题 理 新人教A版 2








中 2012—2013 年学年度第二学期月考(5 月) 高 三 数 学(理)

A.22

B.21

C.20

D.19

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在条形码区域内; 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效; 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑; 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A ? {0 , 1} ,则满足条件A ? B ? {2 , 0 , 1 , 3}的集 合B 共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.已知复数 z1 ? m ? 2i , z 2 ? 3 ? 4i 若 为( A. )

6.已知点 M (a, b)(a ? 0, b ? 0)是圆C:x 2 ? y 2 ? 1 内任意一点, P ( x, y ) 是圆上任意 点 一点,则实数 ax ? by ? 1 ( A.一定是负数 C.一定是正数 ) B.一定等于 0 D.可能为正数也可能为负数

7.已知圆 O 的半径为2, A 、 B 是圆上两点, ?AOB ? 是 圆 O 的 一 条 直 径 , 点 C

2? , MN 3

在 圆 内 且 满 足

OC ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB?0 ? ? ? 1? , 则 CM ? CN 的 最 小 值 为
( ) B.-1 C.-3 D.-4

A.-2

8.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(?x ? 范围是( A. [ ) B. ( 0,

?
4

) 在区间[

? , ? ]上单调递减,则实数 ? 的取值 2

z1 为实数,则实数 m 的值 z2

1 3 , ] 2 4

1 1 5 , ] ] C. [ 2 2 4

D. (0,2]

8 3

B.

3 2

C. ?

8 3

D. ?

3 2

9.现需编制一个八位的序号,规定如下:序号由4个数字和2个 x 、1个 y 、1个 z 组成; 2个 x 不能连续出现,且 y 在 z 的前面;数字在1、2、4、8之间选取,可重复选取,且 四个数字之积为8.则符合条件的不同的序号种数有( )

3.如图所示程序框图,其输出结果是 ( ) B. n ? 6 C. n ? 7

1 ,则判断框中所填的条件是 11

A. n ? 5

D. n ? 8 )

A.12600 10. 已知方程 A. tan(? ? , C. tan( ? ?

B.6300

C.5040

D.2520

4.已知x ? R ,则x ? 1是 | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 | x | 的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 5. 设数列 ?an ? 为等差数列, 其前n项和为 S n , 已知

sin x ? k 在 (0, ??) 有两个不同的解 ? , ? ( ? ? ? ) 则下面结论正确的是: , x

?
4

a1 ? a4 ? a7 ? 99, a2 ? a5 ? a8 ? 93


)?
)?

1? ? 1??
1? ? 1? ?

B. tan(? ? D. tan( ? ?

?
4

)?

1?? 1? ?

若对任意 n ? N * 都有 S n ? S k 成立,则k的值为(

?
4

?
4

)?

1? ? 1? ?

11.在 ?ABC 中 , a , b , c 分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 ,
1

a ? 6 , b ? 2, 且
A. B.

1? 2cos(B ? C) ? 0 ,则

?ABC 的 BC 边 上 的 高 等 于 ( )
D.

17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

2

6 2

C.

6? 2 2

3 ?1 2

(Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式;

12 . 已 知 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 点 (?1,0) 对 称 , 且 当 x ? (??,0) 时 ,

(Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 18. (本题满分 12 分) 不透明的袋中有 8 张大小和形状完全相同的卡片,卡片上分别写有 1,1,2,2,3,3,

f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成 立 ( 其 中 f ?(x) 是 f (x) 的 导 函 数 ) , 若
1 1 a ? (30.3 ) ? f (30.3 ), b ? (log? 3) ? f (log? 3), c ? (log 3 ) ? f (log 3 ) ,则 a,b,c 的 9 9
大小关系为( A. a > c >b 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。 13.已知集合 A ? y | y ? x ? 2 x,?2 ? x ? 2 , B ? x | x ? 2x ? 3 ? 0 , 在集合 A 中
2 2

x ,y .现从中任取 3 张卡片,假设每张卡片被取出的可能性相同.
(I)求取出的三张卡片中至少有一张字母卡片的概率;

) B.c>a>b C.c> b > a D. b >a> c (Ⅱ)设 ? 表示三张卡片上的数字之和.当三张卡片中含有字母时, 则约定:有一个字母和 二个相同数字时 ? 为这二个数字之和,否则 ? ? 0 ,求 ? 的分布列和期望 E? .

?

?

?

?

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 菱 形 ABEF 所 在 平 面 与 直 角 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ,

任意取一个元素 a ,则 a ? B 的概率是

.

AB ? 2 AD ? 2CD ? 4 , ?ABE ? 60? , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 点 H , G 分别是线段
EF , BC 的中点. (I)求证:平面 AHC ? 平面 BCE ; (Ⅱ)点 M 在直线 EF 上,且 GM //平面 AFD ,求平 面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值。
20.(本小题满分 12 分)

14.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4, h , 8, 且它的 8 个顶点都在同一个 球 面上,若这个球面的表面积为 100 ? ,则 h ? 15.观察下列式子:1 ? .

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ??, 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 1 1 ? _______. 根据以上式子可以猜想: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 3 20132
16.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 ? 0 有公共 2 a b

2

2

3 x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ?1 的离心率等于 ,点 2 a b
P 2, 3 在椭圆上.
(I)求椭圆 C 的方程; ( Ⅱ)设椭圆 C 的 左右顶点分别为 A , B ,过点 Q(2,0) 的 动直线 l 与椭圆 C 相 交于

点,则该双曲线的离心率的取值范围是___________.

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

M , N 两点,是否存在定直线 l ' : x ? t ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若
存在,求出一个满足条件的 t 值;若不存在,说明理由。

2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? 2a ln(x ? 1) ? x ? 2 x
2

( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,射线 ? ? ? ,? ? ? ? 的三点 A, B, C (Ⅰ)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ; (Ⅱ)当 ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于极点 O 外

(I)当 a ? 0 时,讨论函数 g (x) 的单调性: (Ⅱ)若函数 f (x) 的图像上存在不同两点 A , B ,设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,使得

?
12

时, B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 ? 的值.

f (x) 在点 Q( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与直线 AB 平行或重合,则说函数 f (x) 是“中值平
衡函数” ,切线 l 叫做函数 f (x) 的“中值平衡切线”. 试判断函数 g (x) 是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数 g (x) 的“中值平衡切线” 的条数;若不是,说明理由. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ?1 . (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2, ; 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答 时请写清题号。 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径 ,AC 是弦 ,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E.OE 交 AD 于点 F. E (Ⅰ)求证:DE 是⊙O 的切线; C (Ⅱ)若 (Ⅱ)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ≤ f ( a ) .

AF AC 3 ? ,求 的值. DF AB 5

D F A O B

23.(本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 正半轴为极 轴, 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? , 曲线 C 2 的参数方程是 ?

? x ? m ? t cos ? ? y ? t sin ?

3

, 一、 DDBA CACC, BCCB
二、 三、 17. (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. ? a1 ? 2, ? ? d ? ?3, ?a1 ? ?4, ? ?d ? 3.

因此,所求概率为 P ?

2 1 1 2 C6 C 2 ? C6 C 2 9 = . ?? 4 分 3 14 C8

4025 2 ;2 5; ; 1,,2 2013 9

?

?

⑵依据题意知,ξ 的取值为 0,2,4,5,6,7,8.??6 分 当ξ =0 时,即三张卡片中有一个字母和二个不同数字,或二个字母一个数字,得
1 1 1 2 1 C2 C32 C2 C2 ? C2 C6 15 P(? ? 0) ? ? 3 28 C8
2 1 2 1 C2 C2 ? C2 C2 4 2 ? ? 3 C8 56 28

.

2 1 C2 C2 2 1 P(? ? 2) ? 3 ? ? C8 56 28 2 1 2 1 C2 C2 ? C2 C2 4 2 ? ? 3 C8 56 28



P(? ? 4) ?



P(? ? 5) ?



由题意得

解得



所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 . 故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 .??6 分 (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 故

P(? ? 6) ?

2 1 1 1 1 C2 C2 ? C2C2C2 10 5 C 2 C1 ? C 2 C 1 4 2 ; P(? ? 7) ? 2 2 3 2 2 ? ; ? ? ? 3 C8 56 28 C8 56 28

2 1 C2 C2 2 1 .∴ξ 的分布列为: P(? ? 8) ? 3 ? ? C8 56 28

??10 分 ∴E ? ? 0 ?

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

15 1 2 2 5 2 1 18 ? 2? ? 4? ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? ??12 分 28 28 28 28 28 28 28 7

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 2 2 2 . 当 n ? 2 时,满足此式.

n ? 1, ?4, ? Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ? 综上,
18.

19. (1)证明:在菱形 ABEF 中,因为 ?ABE ? 60? ,所以△ AEF 是等边三角形, 又 H 是线段 EF 的中点,所以 AH ? EF ? AH ? AB , 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,所以 AH ? 平面 ABCD ,所以 AH ? BC ;??2 分 在 直 角 梯 形 A B C D中 , AB ? 2 AD? 2 C D? 4 , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 得 到 :

??12 分

AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,所以 AC ? CB ,?? 4 分 所以 CB ? 平面 AHC ,又 BC ? 平面 BCE ,所以平面 AHC ? 平面 BCE ;??6 分 (2)由(1) AH ? 平面 ABCD ,如图,分别 以 AD, AB, AH 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴
建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, 4,0), C (2, 2,0), D(2,0,0) ,

⑴随机取出 3 张卡片的所有可能结果为 C8 ? 56 种,而取出的 3 张卡片中有 2 个数字和一
3

个字母或 1 个数字和 2 个字母的可能结果为 C6 ? C2 ? C6 ? C2 .
2 1 1 2

E(0, 2, 3), F (0, ?2, 3), H (0,0, 3), G(1,3,0) ??7 分

4

设点 M 的坐标是 (0, m, 3) ,则 GM , AF , AD 共面, 所以存在实数 ? , ? 使得:

???? ??? ???? ? ?

???? ? ??? ? ??? ? GM ? ? AD ? ? AF ? (?1, m ? 3, 3) ? (2?,0,0) ? (0, ?2?, 3?) ,

12 y2 ,??9 分 x2 ? 4 即证明: k ( x1 ? 2)( x2 ? 4) ? 3k ( x2 ? 2)( x1 ? 4) ,
要证明 B, M , G 共线,即要证明 4 y1 ? ( x1 ? 4) 即: x1 x2 ? 2x2 ? 4x1 ? 8 ? 3x1 x2 ? 6x1 ?12x2 ? 24 , 即: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 因为: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ?

得到: 2? ? ?1, m ? 3 ? ?2?, 3 ? 3? ? m ? 1 .即点 M 的坐标是: (0,1, 3) , ??8 分

??? ? 由(1)知道:平面 AHC 的法向量是 BC ? (2, ?2,0) , ? 设平面 ACM 的法向量是 n ? ( x, y, z) , ? ???? ?n ? AC ? 0 ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2, 2, 0) ? 0 ?x ? ? y ?? ?? 则: ? ? ???? ,??9 分 ? ?n ? AM ? 0 ?( x, y, z ) ? (0,1, 3) ? 0 ? y ? ? 3z ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则 y ? ?3, x ? 3 ,即 n ? (3, ?3, 3) , ? ??? ? 12 42 所以 cos ? n, BC ?? ,??11 分 ? 7 2 2 ? 21
即平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值是 20.

16k 2 ? 16 80k 2 ? ? 16 ? 0 成立, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 G 在直线 BM 上。 综上:存在定直线 l ' : x ? 8 ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, t 的值是 8 。?? 12 分 21.

42 。??12 分 7

2a 2( x 2 ? 1 ? a) ? 2x ? 2 ? x ?1 x ?1 当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, g '( x ) ? 0 ,函数 g ( x) 在定义域 (?1, ??) 上是增函数; ? g '( x) ? 0 当 0 ? 1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 1 时,由 ? 得到 ?1 ? x ? ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a , ?x ?1 ? 0
(1) g '( x) ? 所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 (?1, ? 1 ? a ) 和 ( 1 ? a , ??) ,递减区间是

3 c2 3 (1)由 e ? ? 2 ? ? a 2 ? 4b 2 ,??2 分 2 a 4 4 3 x2 y 2 2 ? ? 1 ;?? 又点 P(2, 3) 在椭圆上, 2 ? 2 ? 1 ? b ? 4 ,所以椭圆方程: 4b b 16 4
4分

(? 1 ? a , 1 ? a ) ;
当 1 ? a ? 1 即 a ? 0 时,由 ?

? g '( x) ? 0 得到: x ? 1 ? a , ?x ?1 ? 0

x?4 ? (2)当 l 垂直 x 轴时, M (2, 3), N (2, ? 3) ,则 AN 的方程是: , 6 ? 3 y x?4 ? ,交点 G 的坐标是: (8, ?2 3) ,猜测:存在常数 t ? 8 , BM 的方程是: ?2 3 即直线 l ' 的方程是: x ? 8 使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, 证明:设 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , G(8, yG ) y
将 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到: x ? 4k ( x ? 2) ? 16 ,
2 2 2

所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 ( 1 ? a , ??) ,递减区间是 (?1, 1 ? a ) ;?? 6分 (2) 若函数 g ( x) 是 “中值平衡函数” 则存在 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( ?1 ? x1 ? x2 ) , 使得

即: (1 ? 4k ) x ?16k x ? 16k ?16 ? 0 ,
2 2 2 2

16k 2 16k 2 ? 16 , x1 x2 ? ,??6 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ???? ???? 因为: AG ? (12, yG ) , AN ? ( x2 ? 4, y2 ) A, N , G 共线 12 y2 所以: 12 y2 ? ( x2 ? 4) yG , yG ? , x2 ? 4 ??? ? ???? ? 又 BG ? (4, yG ) , BM ? ( x1 ? 4, y1 )
从而: x1 ? x2 ?

2a ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 1? 2 1 ? x1 2a( x1 ? x2 ) 即 a ln , (*) ? 1 ? x2 1 ? x1 ? 1 ? x2
g '( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即 x1 ? x2

2a ln

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2

当 a ? 0 时, (*)对任意的 ?1 ? x1 ? x2 都成立,所以函数 g ( x) 是“中值平衡函数” ,且 函数 g ( x) 的“中值平衡切线”有无数条;

5

2(t ? 1) 1 ? x1 当 a ? 0 时,设 在区间 (0,1) 上有解, ? t ,则方程 ln t ? t ?1 1 ? x2
记函数 h(t ) ? ln t ?

化为直角坐标为 B(1, 3) , C(3,? 3) , ∵直线斜率为 tan? ?

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1)2 ,则 h '(t ) ? ? ? ?0, t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 2(t ? 1) 在区间 (0,1) 上无解, t ?1

2? ? 3? 3 ? ? 3 , 0 ? ? ? ? , ∴? ? 3 3 ?1 直线 BC 的普通方程为 y ? ? 3( x ? m) , ∵过点 B(1, 3) ,
∴ 3 ? ? 3(1 ? m) ,解得 m ? 2 ......10 分

所以当 0 ? t ? 1 时, h(t ) ? h(1) ? 0 ,即方程 ln t ? 即函数 g ( x) 不是“中值平衡函数”.??12 分

24.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? 2 ? x ? 1 . 因此只须解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 . ??2 分

Cos∠DOH=cos∠CAB=

AC 3 ? ????6 分 AB 5
2 2

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 . 5 当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? . 2 5? ? 1 综上,原不等式的解集为 ? x | ? x ? ? . ??5 分 2? ? 2 (2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1 .
当 x ? 1 时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即 当 a >0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? ax ? a

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x ∴AH=8x AD =80x 2 由△AED∽△ADB 可得 AD =AE·AB=AE·10x ∴AE=8X????8 分 又由△AEF∽△DOF 可得 AF∶DF= AE∶OD =

? ax ?1 ? a ? ax ? ax ?1 ? a ? ax ? a ? 1 ??10 分

8 AF 8 ;∴ = ??10 分 5 DF 5

23 解(1)设点 A, B, C 的极坐标分别为 ( ?1 , ? ), ( ? 2 , ? ?

?

4

), ( ? 3 , ? ?

?

4

)

∵点 A, B, C 在曲线 C1 上,∴ ?1 ? 4 cos ? , ? 2 ? 4 cos( ? ? 则 | OB | ? | OC | = ? 2 ? ? 3 ? 4 cos( ? ?

?
4

), ? 3 ? 4 cos( ? ?

?
4

)

?
4

) ? 4 cos( ? ?

?
4

) ? 4 2 cos ?

2 | OA |? 2?1 ? 4 2 cos? , 所以 | OB | ? | OC |? 2 | OA | ......5 分
(2)由曲线 C 2 的参数方程知曲线 C 2 为倾斜角为 ? 且过定点 (m,0) 的直线, 当? ?

?
12

时,B,C 点的极坐标分别为 ( 2,

?

), (2 3 ,? ) 3 6

?

6


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