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【力学竞赛教程】第一讲 力、物体的平衡


第一讲

力、物体的平衡

第一讲

力、物体的平衡

§1.1 常见的力
1.1.1、

力的概念和量度

惯性定律指出,一个物体,如果没有受到其他物体作用,它就保持其相对于 惯性参照系的速度不变, 也就是说, 如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变

, 必是由于受到其他物体对它的作用,在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个 力的时候,应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。 一个物体,受到了另一物体施于它的力,则它相对于惯性参照系的速度就要 变化,或者说,它获得相对于惯性参照系的加速度,很自然以它作用于一定的物 体所引起的加速度作为力的大小的量度。实际进行力的量度的时候,用弹簧秤来 测量。 重力 由于地球的吸引而使物体受到的力,方向竖直向下,在地面附近,

可近似认为重力不变 (重力实际是地球对物体引力的一个分力,随纬度和距地面 的高度而变化) 弹力 物体发生弹性变形后,其内部原子相对位置改变,而对外部产生的

宏观反作用力。 反映固体材料弹性性质的胡克定律, 建立了胁强 (应力)? 与胁变(应变) ?

?

F s
F

?

?l 之间的正比例关系,如图所示 l

l 图 1-1-1

? ? E?
式中 E 为杨氏弹性模量, 它表示将弹性杆拉长一倍时, 横 截面上所需的应力。

?l

弹力的大小取决于变形的程度, 弹簧的弹力, 遵循胡克定律, 在弹性限度内,

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第一讲

力、物体的平衡

弹簧弹力的大小与形变量(伸长或压缩量)成正比。 F=-kx 式中 x 表示形变量;负号表示弹力的方向与形变的方向相反;k 为劲度系数,由 弹簧的材料,接触反力和几何尺寸决定。 接触反力 —限制物体某些位移或运
T T T T

动的周围其它物体在接触处对物体的反作 用力(以下简称反力) 。这种反力实质上
G

G
图 1-1-2

是一种弹性力,常见如下几类: 1、柔索类(图 1-1-2)如绳索、皮带、 链条等,其张力

?方位 : 沿柔索 T? ?指向 : 拉物体
一般不计柔索的弹性,认为是不可伸长的。滑轮组中,若不计摩擦与滑轮质 量,同一根绳内的张力处处相等。 2、光滑面(图 1-1-3)接触处的切 平面方位不受力,其法向支承力
?方位 : 沿法线 N? ?指向 : 压物体
A A

NA

G
A B

C

A

G
A

Nc

NB A
图 1-1-3 A

3、光滑铰链 物体局部接触处仍属于光滑面,但由 于接触位置难于事

先确定,这类接触反力的方位,除了某些情况能由平衡条件定出外,一般按坐标 分量形式设定。

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第一讲

力、物体的平衡

(1) 圆柱形铰链 (图 1-1-4,图 1-1-5,图 1-1-6)
A

C

yc xc

F1

F
B

F1

由两个圆孔和一个圆柱 销组成。 在孔的轴线方向 不承受作用力,其分力
?方位 : 沿x轴 X? ?指向 : 待定
图 1-1-4 A 图 1-1-5

x
yA
图 1-1-6

yB

?方位 : 沿y轴 Y? ?指向 : 待定

图中 AC 杆受力如图,支座 B 处为可动铰,水平方向不受约束,反力如图。 (2)球形铰链(图 1-1-7,图 1-1-8)由一 个球碗和一个球头组成,其反力可分解为
X? ? 方位 : 沿坐标轴 Y? 指向 : 待定 Z? ?
F

F

ZA
xA
图 1-1-7 图 1-1-8 A

yA

4、固定端(图 1-1-9,图 1-1-10) 如插入墙内的杆端, 它 除限制杆端移动外,还限制转 动,需增添一个反力偶 M A 。
X ? 方位 : 沿坐标轴 ? Y ? 指向 : 待定
A

q

yA
F x A

A

F

MA
图 1-1-10

图 1-1-9

?方位 : 平面力系作用面 M A? ?转向 : 待定

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第一讲

力、物体的平衡

摩擦力

物体与物体接触时,在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用

力称为摩擦力。 不仅固体与固体的接触面上有摩擦, 固体与液体的接触面或固体与气体的接 触面上也有摩擦,我们主要讨论固体与固体间的摩擦。 1.1.2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势(就是说:假如它们之间的 接触是“光滑的” ,将发生相对滑动)时,产生的摩擦力为静摩擦力,其方向与 接触面上相对运动趋势的指向相反,大小视具体情况而定,由平衡条件或从动力 学的运动方程解算出来,最大静摩擦力为
f max ? ? 0 N

式中 ? 0 称为静摩擦因数,它取决于接触面的材料与接触面的状况等,N 为 两物体间的正压力。 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时,产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑 动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。
f ? ?N

? 为滑动摩擦因数,取决于接触面的材料与接触面的表面状况,在通常的
相对速度范围内,可看作常量,在通常情况下, ? 0与? 可不加区别,两物体维持 相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足

f ? f max ? ?N
在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下,静摩擦因数 ? 0 略大于动摩 擦因数 ? 。 摩擦角 令静摩擦因数 ? 0 等于某一角 ? 的正切值,即 ? 0 ? tg? ,这个 ? 角

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第一讲

力、物体的平衡

就称为摩擦角。在临界摩擦(将要发生滑动状态下), f max N ? ? 0 ? tg ? 。支承 面作用于物体的沿法线方向的弹力 N 与最大静摩擦力 f max 的合力 F 简称全反力) ( 与接触面法线方向的夹角等于摩擦角,如图 1-1-11 所示(图中未画其他力) 。在 一般情况下,静摩擦力 f 0 未达到最大值,即

f0 ? ?0 N ,
因此接触面反作用 于物体的全反力 F ? 的 作用线与面法线的夹
fm 图 1-1-11 F

f0 f ? ? 0 , 0 ? tg? N N
N F A v 图 1-1-12

F?

f ? ? arctg 0 N ,不会 角

图 1-1-13

大于摩擦角,即 ? ? ? 。物体不会滑动。由此可知,运用摩擦角可判断物体是否 产生滑动的条件。如图 1-1-12 放在平面上的物体 A,用力 F 去推它,设摩擦角 为 ? ,推力 F 与法线夹角为 ? ,当 ? ? ? 时,无论 F 多大,也不可能推动物块 A, 只有 ? ? ? 时,才可能推动 A。 摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势

时,才有摩擦力,所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在 水平方向上运动的木块碰撞后,向斜上方弹出,假设碰撞时间为 ?t ,但可能小 球不需要 ?t 时间,在水平方向上便已具有了与木块相同的速度,则在剩下的时 间内小球和木块尽管还是接触的,但互相已没有摩擦力。 如图 1-1-14,小木块和水平地面之间的动摩擦因数为 ? ,用一个与水平方 向成多大角度的力 F 拉着木块匀速直线运动最省力? 将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成
f
G 图 1-1-14

F?

N F

F

F?
G

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第一讲

力、物体的平衡

一个力 F ? ,摩擦角为

? ? tg ?1

f ? tg ?1 ? N ,这样木块受三个力:重力 G,桌面对木块的作用力 F ? 和

拉力 F,如图 1-1-14,作出力的三角形,很容易看出当 F 垂直于 F ?时F 最小,即
?1 有 F 与水平方向成 ? ? tg ? 时最小。

例1、 如图 1-1-15 所示皮带速度为 v 0 ,物 A 在皮带上以速度 v1 垂直朝皮 带边运动,试求物 A 所受摩擦力的方向。 解:物 A 相对地运动速度为 Vr ,V1 ? V0 ? Vr ,滑 动摩擦力 f 与 V r 方向相反如图所示。 例 2、 物体所受全反力 R 与法向的夹角 ? ? ? m 的 情形可能出现吗?
f
A

V1
A

V0

V1

V0?

f

图 1-1-15

?? ?f ? f max ,这是不可 解:不可能。因为若有 ? ? ? m 则 tga ? tg? m 即 N 。

能的。然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时,可事先假定它静止,由平衡求



? ? tg ?1 ( )

F N ,有如下三种情形:

?? ? m 静止 ? ? ?? ? m临界状态 ?? ? 滑动 ? m

F1

F2

F3

F合 F4
图 1-1-16

§1.2

力的合成与分解

1.2.1、力的合成遵循平行四边形法则
即力 F1和F2 的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力 F,如图

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第一讲

力、物体的平衡

1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则。 将 F1 , F2 通过平移使其首尾相接, 即: 则由起点指向末端的力 F 即 F1 , F2 的 合 力 。 如 图 ( 1-2-1(b)) 如果有多个共点力求 合力,可在三角形法则的基础上,演化为多边形法则。如图 1-2-2 所示,a 图为 有四个力共点 O,b 图表示四个力矢首尾相接,从力的作用点 O 连接力 F4 力矢末 端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合 的,即 F1 力矢的起步与 F5 力矢的终点重合,这表示它们的合力为零。 力的分解是力的合成的逆运算,也遵循力的平行四边形法则,一般而言,一 个力分解为两力有多解答,为得确定解还有附加条件,通常有以下三种情况: ①已知合力和它两分力方向,求这两分力大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力
F4 F3 F2 F1
∑F

F2 F1 (a)

F

F F1 (b)

F2

图 1-2-1

F4 F3 F5

F4

F3 F2 F1

和它的一个分 力,求另一个分 力。这也有确定 的确答。
(a)

F1 (b) 图 1-2-2

F2 (c)

③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向, 求第一个合力方向和第 二分力大小,其解答可能有三种情况:一解、两解和无解。

1.2.2、平面共点力系合成的解析法
如图 1-2-3,将平面共点力及其合力构成力的多边形 abcde,并在该平面取 直角坐标系 Oxy,作出各力在两坐标轴上的投影,从图上可见:

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第一讲

力、物体的平衡

? R x ? F1x ? F2 x ? F3 x ? F4 x ? ? R y ? F1 y ? F2 x ? F3 x ? F4 x

上式说明,合 力在任意一轴上 的投影, 等于各分 力在同一轴上投 影的代数和, 这也 称为合力投影定 理。知道了合力 R 力 R 的大小为:
R?
2 R x2 ? R y

y e Rx F4y F3y F1y F2y O F1x Fy a F1 F4 d F3 c F2 b F2x F3x F4x (a) 图 1-2-3 Ry

y R

?

x O (b) x Rx

的两个投影

Rx



Ry

,就不难求出合力的大小与方向了。合

合力的方向可用合力 R 与 x 轴所夹的角的正切值来确定:
tga ? Ry Rx

1.2.3、平行力的合成与分解
作用在一个物体上的几个力的作用线平行,且不作用于同一点,称为平行力 系。如图 1-2-4 如果力的方向又相同,则称为同向平行力。 两个同向平行力的合 力(R)的大小等于两分力 大小之和,合力作用线与 分力平行,合力方向与两
A F1 R (a) 图 1-2-4 O B F2 R F1 (b) O A F2 B

分力方向相同, 合力作用点在两分力作用点的连线上,合力作用点到分力作用点 的距离与分力的大小成反比,如图 1-2-4(a),有:

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第一讲

力、物体的平衡

? R ? F1 ? F2 ? ? AO F2 ? BO ? F 1 ?

两个反向平行力的合力(R)的大小等于两分力大小之差,合力作用线仍与 合力平行, 合力方向与较大的分力方向相同,合力的作用点在两分力作用点连线 的延长线上,在较大力的外侧,它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比, 如图 1-2-4(b),有:

R ? F1 ? F2
OA F1 ? OB F2

1.2.4、空间中力的投影与分解
力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该

Z

? 轴正向间夹角的余弦,如图 1-2-5 中的 F 力在 ox、
oy、oz 轴上的投影 X、Y、Z 分别定义为
X X i

z

γ jβ α Y k Y

X ? F cos a ? ? Y ? F cos ? ? Z ? F cos? ? ?

图 1-2-5

这就是直接投影法所得结果,也可如图 1-2-6 所示采用二次投影法。这时

? ? ? X ? Fxy cos(Fxy , x)
式中 而
? ? ? Fxy ? F sin(F , Z )

Z F

? Fxy

? 为 F 在 oxy 平面上的投影矢量,
O X 图 1-2-6

Y Fxy

力沿直角坐标轴的分解式
? ? ? ? ? ? F ? Xi ? Yj ? Zk ? Fx i ? Fy j ? Fz k
§1.3

共点力作用下物体的平衡
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第一讲

力、物体的平衡

1.3.1、共点力作用下物体的平衡条件

几个力如果都作用在物体的同一点,或者它们的作用线相交于同一点,这几 个力叫作共点力。当物体可视为质点时,作用在其上的力都可视为共点力。当物 体不能视为质点时,作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。 物体的平衡包括静平衡与动平衡,具体是指物体处于静止、匀速直线运动和 匀速转动这三种平衡状态。 共点力作用下物体的平衡条件是;物体所受到的力的合力为零。 ? ? Fi ? 0
i

或其分量式:

?F
i

ix

?0

?F
i

iy

?0

?F
i

iz

?0
F3 F1

如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处 于平衡,用力的图示表示,则这些力必组成首尾相 接的闭合力矢三角形或多边形;力系中的任一个力 必与其余所有力的合力平衡;如果物体只在两个力 作用下平衡,则此二力必大小相等、方向相反、且

?

? ?
F2

图 1-3-1

在同一条直线上,我们常称为一对平衡力;如果物体在三个力作用下平衡,则此 三力一定共点、 一定在同一个平面内, 如图 1-3-1 所示, 且满足下式 (拉密定理) :
F F1 F ? 2 ? 3 sin ? sin ? sin ?
1.3.2、推论

物体在 n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态,若其中有 n-1 个力为共点力, 即它们的作用线交于 O 点, 则最后一个外力的作用线也必过 O 点,整个外力组必 为共点力。这是因为 n-1 个外力构成的力组为共点(O 点)力,这 n-1 个的合力

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第一讲

力、物体的平衡

必过 O 点,最后一个外力与这 n-1 个外力的合力平衡,其作用线必过 O 点。 特例,物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时,这三个力 的作用线必相交于一点且一定共面。
§1.4

固定转动轴物体的平衡

1.4.1、力矩
力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的 O F

方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体,常能 使物体发生转动,这时外力的作用效果不仅取决于外力的

d

图 1-4-1

大小和方向,而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂 (d)。 力与力臂的乘积称为力矩,记为 M,则 M=Fd,如图 1-4-1,O 为垂直于纸面 的固定轴,力 F 在纸面内。 力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时,此力对物体绕该 轴转动没有作用。 若力 F 不在与轴垂直的平面内,可先将力分解为垂直于轴的分 量 F⊥和平行于轴的分量 F∥,F∥对转动不起作用,这时力 F 的力矩为 M=F⊥d。 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时,物体所 受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。

1.4.2、力偶和力偶矩
一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。 如图 1-4-2 中 F1 , F2 即为力偶, 力偶不能合成为一个力, 是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一 轴,这一对力的力矩的代数和称为力偶矩,注意到
F2 F1

r2

r1
O

图 1-4-2

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第一讲

力、物体的平衡

F1 ? F2 ? F ,不难得到,M=Fd,式中 d 为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴
无关。

1.4.3、有固定转动轴物体的平衡
有固定转轴的物体,若处于平衡状态,作用于物体上各力的力矩的代数和为 零。

§1.5

一般物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态, 物体各部位所受力的合力对物体 的平动有影响,合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有,就称物体处 于平衡状态。因此,一般物体处于平衡时,要求物体所受合外力为零 和合力矩为零
( ? M ? 0) (? F外 ? 0)

同时满足,一般物体的平衡条件写成分量式为

?F
?F ?F
Mx,M y,Mz
y

x

? 0 ?Mx ? 0

?0 ?0

?M ?M

y

?0 ?0

z

z

分别为对 x 轴、y 轴、z 轴的力矩。

由空间一般力系的平衡方程,去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方 程,容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系 (设在 xOy 平面内) 则 ? , 则独立的平衡方程为:

Fx ? 0, ? M x ? 0, ? M y ? 0

自动满足,

?F ?F ?M
z

x

?0 ?0 ?0

?F
?0

y

z

这一方程中的转轴可根据需要任意选取,一般原则是使尽量多的

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第一讲

力、物体的平衡

力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个,空间汇交力系和空间平行力系的 独立平衡方程均为三个。 §1.6

平衡的稳定性

1.6.1、重心
? 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度 g 为常矢量的区域,物体的重心
是惟一的(我们讨论的都是这种情形) ,重心也就是物体各部分所受重力的合力 的作用点,由于重力与质量成正比,重力合力的作用点即为质心,即重心与质心 重合。 求重心,也就是求一组平行力的合
X R B O A C G3 P

力作用点。相距 L,质量分别为 m1 , m2 的 两个质点构成的质点组,其重心在两质 点的连线上,且 m1 , m2 与相距分别为:

x
x1 G
1

x3

x2
图 1-6-1

G2

(m1 ? m2 ) L1 ? m2 L ? 0 (m1 ? m2 ) L2 ? m1 L ? 0
L1 ? m2 L m1 ? m 2 L2 ? m1 L m1 ? m 2

均匀规则形状的物体,其重心在它的几何中心,求一般物体的重心,常用的 方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后, 再用求同向平行力合力的方 法找出其重心。 物体重心(或质心)位置的求法 我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。 如图 1-6-1 由重 量分别为 G1 ,G2 的两均匀圆球和重量为
G3

的均匀杆连成的系统,设立如图坐标

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第一讲

力、物体的平衡

系,原点取在 A 球最左侧点,两球与杆的重心的坐标分别为

x1 , x 2 , x3

,系统重心

在 P 点,我们现在求其坐标 x。设想在 P 处给一支持力 R,令 R ? G1 ? G2 ? G3 达 到平衡时有:

?M ? G x
x?


1 1

? G2 x2 ? G3 x3 ? Rx ? 0

G1 x1 ? G2 x 2 ? G3 x3 G1 x1 ? G2 x 2 ? G3 x3 ? R G1 ? G2 ? G3

这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统,我们

不难证明其重心位置为:
? ? Gixi ?x ? ? Gi ? ? ? ? Giy ?y ? ? Gi ? ? Giz ?z ? ? ? Gi ?

一般来说,物体的质心位置与重心位置重合,由上面公式很易得到质心位置 公式:
? ? mi xi ?x ? ? mi ? ? ? ? mi y i ?y ? ? mi ? ? mz ?z ? ? i i ? ? mi ?
P

l
图 1-6-2

如图 1-6-2,有 5 个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起,从左至

右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ,设每根棒长均为 l ,求其质 心位置,若为 n 段,密度仍如上递增,质心位置又在什么地方? 解:设整个棒重心离最左端距离为 x,则由求质心公式有

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第一讲

力、物体的平衡

x?

?m x ?m
i i

i

?

m1 x1 ? m 2 x 2 ? ? ? m5 x5 m1 ? m2 ? ? ? m5

?

?v ? ? 1.1?v ? l ? 1.2 ?v ? l ? 1.3?v ? l ? 1.4 ?v ? l

l 2

3 5 7 2 2 2 ?v ? 1.1?v ? 1.2 ?v ? 1.3?v ? 1.4 ?b

9 2

? 2.67l
若为 n 段,按上式递推得:

l x? ? 2

1 ? 1.1 ? 3 ? 1.2 ? 5 ? 1.3 ? 7 ? ? ? (1 ?

n ?1 )( 2n ? 1) 10 n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.3 ? ? ? (1 ? ) 10

将坐标原点移到第一段棒的重心上,则上式化为:

n ?1 )( n ? 1) 10 x? l n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10 1 2 n ?1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? ? ? (1 ? )( n ? 1) 10 10 10 ? n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10 ?1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)? ? 1 12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 10 ? l n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10 1.1 ? 1.2 ? 2 ? 1.3 ? 3 ? ? ? (1 ?

?

?

?

(n ? 1)( 2n ? 3q) l 3(n ? q)
A

例、如图 1-6-3 所示,A、B 原为

两个相同的均质实心球,半径为 R, 重量为 G,A、B 球分别挖去半径为
R 3R 和 2 4 的小球,均质杆重量为 35 G 64 ,长度 l ? 4R ,试求系统的重心位置。

a?

l
C 图 1-6-3

B

b?

a

b

解: 将挖去部份的重力, 用等值、 反向的力取代, 图示系统可简化为图 1-1-31

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第一讲

力、物体的平衡

所示平行力系;其中
G a? ? G 27 , Gb? ? G 8 64 。设重心位置为 O,则合力 G 27 93 ? G? G 8 64 64

W ?G?G?

且?

M 0 (Gi ) ? 0



G(3R ? OC ) ?

27 R G R 35 G(OC ? 3R ? ) ? (3R ? ? OC ? G ? OC ? G(3R ? OC ) 64 4 8 2 64 ? OC=0.53R

1.6.2、物体平衡的种类
物体的平衡分为三类: 稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,

如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡,处于稳定 平衡的物体,偏离平衡位置时,重心一般是升高的。 不稳定平衡 处于平衡状态的物体, 当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,

如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置,这样的平衡叫不稳定平衡,处 于不稳定平衡的物体,偏离平衡位置时,重心一般是降低的。 随遇平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界扰动而偏离平衡位置时,物

体受到的合外力或合力矩没有变化,这样的平衡叫随遇平衡,处于随遇平衡的物 体,偏离平衡位置后,重心高度不变。 在平动方面,物体不同方面上可以处于不同的平衡状态,在转动方面,对不 同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如,一个位于光滑水平面上的直管底 部的质点,受到平行于管轴方向的扰动时,处于随遇平衡状态;受到与轴垂直方 向的扰动时,处于稳定平衡状态,一细棒,当它直立于水平桌面时,是不稳定平 衡,当它平放在水平桌面时,是随遇平衡。

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第一讲

力、物体的平衡

1.6.3、稳度
物体稳定的程度叫稳度, 一般说来,使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量 越多, 这个平衡的稳度就越高。 稳度与重心的高度及支面的大小有关, 重心越低, 支面越大,稳度越大。
§1.7

流体静力学

流体并没有一定的开头可以自由流动,但具有一定的密度,一般认为理想流

体具有不可压缩的特征。 1.7.1、 静止流体中的压强

(1)静止流体内部压强的特点 在静止流体内任何一点处都有压强,这一压 强与方向无关仅与该点的深度有关;相连通的静 止流体内部同一深度上各点的压强相等。 关于流体内部的压强与方向无关,可以证明 如下: 在静止流体中的某点处任取一个长为 ?l 的极小的直角三棱液柱,令其两侧 面分别在竖直面内和水平面内, 作其截面如图 1-7-1 所示,图中坐标轴 x 沿水平 方向,坐标轴 y 沿竖直方向,以 ?x, ?y, ?n 分别表示此液柱截面三角形的三条边 长,且以 ? 表示此截面三角形的一个锐角如图 1-7-1,又以 应侧面上压强的大小,则各侧面所受压力的大小分别为:
?f x ? Px ?y?l
?f y ? Py ?x?l
O 图 1-7-1

y
?f x

?f n

?
?y ?x
?f y

?

x

Px Py , Pn , 分别表示对

?f n ? Pn ?n?l

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第一讲

力、物体的平衡

由此液柱很小, 则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力,故可忽略其重力 的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡,乃有:
??f x ? ?f n cos a ? ??f y ? ?f n sin a
? Px ?y?l ? Pn ?n?l cos a ? ? Py ?x?l ? Pn ?n?l sin a



注意到 ?x ? ?n sin a, ?y ? ?n cos a ,代入上式便得
Px ? Py ? Pn

说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。 (2)静止流体内部压强的大小 若静止流体表面处的压强为 P。 (通常即为与该流体表面相接触的气体的压 强) ,流体的密度为 ? ,则此流体表面下深度为 h 处的压强为
P ? p0 ? ?gh

由上式可见,在静止流体内部高度差为 ?h 的两点间的压强差为
?p ? ?g?h

1.7.2、浮力与浮心
浮力是物体在流体中所受压力的合力。 浸没在静止流体内的物体受到的浮力 等于它所排开流体的重量,浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律,可表示 为
F ? ? 液 gV排

浮力的作用点称为浮心,浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那 部分流体的重心,它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时,它才与浸 没在液体中的物体部分的重心重合。

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第一讲

力、物体的平衡

1.7.3、浮体平衡的稳定性
浮在液体表面的浮体, 所受浮力与重力大小 相等、方向相反,处于平衡状态。浮体平衡的稳 定性,将因所受扰动方式的不同而异。显然,浮 体对铅垂方向的扰动,其平衡是稳定的;对水平 方向的扰动,其平衡是随遇的。
F F O O Q Q G G (a) 图 1-7-2 (b)

?

浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动,其平衡的稳定性视具体情况而 定。以浮力水面的船体为例:当船体向右倾斜(即船体绕过质心 O 的水平对称轴 转动一小角度)时,其浮心(浮力作用点)Q 将向右偏离,浮力 F 与重力 G 构成 一对力偶,力偶矩将促使船体恢复到原来的方位,如图 1-7-2(a)所示,可见船 体对这种扰动,其平衡是稳定的。但如果船体重心 O 太高,船体倾斜所造成的力 偶矩也可能促使船体倾斜加剧,这时船体的平衡就是不稳的,如图 1-7-2(b)所 示。

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