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§12.4 离散型随机变量及其分布列、均值与方差


12.4 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 考点一 离散型随机变量及其分布列 2.(2015 重庆,17,13 分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽 子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意 选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望

. 解析 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公 式有 P(A)=
1 1 C1 2C3C5 1

C3 10

=4.
C1C2
10

(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且 P(X=0)=C 38 =15 ,P(X=1)= C23 8 =15 ,
10

C3

7

7

P(X=2)=

1 C2 2C8 3 C 10

=15 .

1

综上知,X 的分布列为 X P 0 7 15
7 7 1 3

1 7 15

2 1 15

故 E(X)=0×15 +1×15 +2×15 =5(个). 3.(2015 北京,16,13 分)A,B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间 (单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16; B 组:12,13,15,16,17,14,a. 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A,B 两组随机各选 1 人,A 组选出的人记为 甲,B 组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (2)如果 a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (3)当 a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 解析 设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”, 事件 Bj 为“乙是 B 组的第 j 个人”,i,j=1,2,?,7.

由题意可知 P(Ai)=P(Bj)=7,i,j=1,2,?,7. (1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人, 或者第 6 人,或者第 7 人”,所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是 P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=7. (2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”. 由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6. 因此 P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P (A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=49. (3)a=11 或 a=18. 4.(2015 四川,17,12 分)某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参 加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人、 女生中随 机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生 人数,求 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有 6 名.
4 参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 3 3 C 3 =100 . 6 6

1

3

10

C3C3

1

因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1-100 =100 . (2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3. P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
3 C1 3C3 1

1

99

C4 6

= ,
5 3

2 C2 3C3 C4 6

=5, =5.

1 C3 3C3 1

C4 6

所以 X 的分布列为

X P

1 1 5

2 3 5

3 1 5

因此,X 的数学期望为 E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3) =1×5+2×5+3×5=2. 5.(2015 陕西,19,12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道 路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 频数(次) 25 20 30 30 35 40 40 10
1 3 1

(1)求 T 的分布列与数学期望 ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个 50 分钟的讲座,结束后立即返 回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概 率. 解析 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为 T(分钟) 频率 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1

以频率估计概率得 T 的分布列为 T P 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1

从而 ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟). (2)设 T1,T2 分别表示往、 返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同.

设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所 以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”. 解法 一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1 =40,T2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91. 解法二:P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故 P(A)=1-P()=0.91. 6.(2015 湖北,20,12 分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B 两种奶制品,生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1 000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛 奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获利 1 200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产 品产量的 2 倍,设备每天生产 A,B 两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可 获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z(单位:元)是一个随机变量. (1)求 Z 的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的概率. 解析 (1)设每天 A,B 两种产品的生产数量分别为 x 吨,y 吨,相应的获利为 z 元, 则有 2 + 1.5 ≤ , + 1.5 ≤ 12, 2- ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0.



目标函数为 z=1 000x+1 200y.

当 W=12 时,①表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 当 z=1 000x+1 200y 变形为 y=- x+
6 5 1 200 200

,

当 x=2.4,y=4.8 时,直线 l:y=-6x+1

5

在 y 轴上的截距最大,

最大获利 Z=zmax=2.4×1 000+4.8×1 200=8 160. 当 W=15 时,①表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-6x+1 当 x=3,y=6 时,直线 l:y=-6x+1
5 200 5 200

,

在 y 轴上的截距最大,

最大获利 Z=zmax=3×1 000+6×1 200=10 200. 当 W=18 时,①表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-6x+1 当 x=6,y=4 时,直线 l:y=- x+
6 5 1 200 5 200

,

在 y 轴上的截距最大,

最大获利 Z=zmax=6×1 000+4×1 200=10 800. 故最大获利 Z 的分布列为 Z P 8 160 0.3 10 200 0.5 10 800 0.2

因此,E(Z)=8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获利超过 10 000 元的概率 p1=P(Z>10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973. 考点二 均值与方差 5.(2015 天津,16,13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会 的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的 运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个 协会”,求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有 P(A)=
2 2 2 C2 2 C 3 +C 3 C 3

C4 8

=35 .
6

6

所以,事件 A 发生的概率为35 . (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X=k)=
C 5 C3 C4 8
4 -

(k=1,2,3,4).

所以,随机变量 X 的分布列为 X P 1 1 14
1

2 3 7
3 7 3 7 1

3 3 7
5

4 1 14

随机变量 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× +4× = .
14 14 2

6.(2015 安徽,17,12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将 其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;

(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测 出 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望). 解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A, P(A)=
1 A1 2A3

A2 5

=10 .
A2
5

3

(2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X=200)=A 2 2 =10 , P(X=300)=
1 1 2 A3 3 +C 2 C 3 A 2

1

A3 5

=10 ,
1 3 6

3

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-10 -10 =10 . 故 X 的分布列为 X P 200 1 10
3 6

300 3 10

400 6 10

EX=200×10 +300×10 +400×10 =350. 7.(2015 福建,16,13 分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错 误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但 可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地 随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡 被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 则 P(A)=6×5×4=2. (2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3. 又 P(X=1)=6,P(X=2)=6×5=6,P(X=3)=6×5×1=3, 所以 X 的分布列为
1 5 1 1 5 4 2 5 4 3 1

1

X P

1 1 6
1 1 2 5

2 1 6

3 2 3

所以 E(X)=1×6+2×6+3×3=2.


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