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第二章 导数概念


第二章 导数与微分
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton

德国数学家 Leibniz 微分学
导数 描述函数变化快慢

微分

描述函数变化程度

都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)

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第二章

第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义

三、导数的几何意义
四、函数的可导性与连续性的关系

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一、 引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为

f (t ) ? f (t0 ) v? t ? t0
而在 时刻的瞬时速度为

自由落体运动

s?
f (t0 )

1 gt 2 2

f (t ) ? f (t0 ) v ? lim t ? t0 t ?t0

f (t )

o

t0
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t
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s

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2. 曲线的切线斜率 曲线
在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 切线 MT 的斜率

y

y ? f (x ) N

C M

T

o ? ? x0

x x

? lim tan ?

f ( x) ? f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan ? ? x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) k ? lim x ? x0 x ? x0
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???

f (t0 )

f (t )

瞬时速度

o
y

t0
y ? f (x )

t
N

s

切线斜率

C

M

T

o ? ? x0

x x

两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .

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类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限

???

变 化 率 问 题

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二、导数的定义
定义1 . 设函数 若

在点

的某邻域内有定义 ,

f ( x ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim x? x0 x ? x0 ? x ?0 ? x

?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0

存在, 则称函数 并称此极限为

在点 在点

处可导,

的导数. 记作:

d f ( x) ? x ? x0 ; f ?( x0 ) ; d y y ; d x x ? x0 d x x ? x0

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y ? x ? x0 ? f ?( x0 ) ? lim ?y ? x ?0 ? x

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?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. ?y 若 lim 在 的导数为无穷大 . ? ? , 也称 ? x ?0 ? x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ? ; f ?(x ) ; dx dx 注意:

f ?( x0 ) ? f ?( x) x ? x0

?

d f ( x0 ) dx
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单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
(? x ? 0 ? ) (? x ? 0 ? )

在点

的某个右 (左) 邻域内

x0
在 处的右 (左) 导数, 记作

存在, 则称此极限值为

? f ? ( x0 ) ( f ? ( x0 )) ?


? f ? ( x0 ) ?
?

?

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定理2. 函数

在点

可导的充分必要条件


简写为



f ?( x 0 ) 存在

f ??( x0 )

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运动质点的位置函数 s ? f (t )
在 t 0 时刻的瞬时速度
o

f (t0 )

f (t )

t0

t

s

? f ?(t0 )
曲线 C : y ? f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y ? f (x )

N

? f ?( x0 )

C M

T

o ?
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x0
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x x
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三、由定义求导数(三步法)
步骤: (1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x ?y ( 3) 求极限 y ? ? lim . ?x ? 0 ? x

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例1. 求函数

(C 为常数) 的导数.

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 解: y ? ? lim ? x ?0 ?x


( C )? ? 0

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例2. 求函数
解:

( x ? h) n ? x n ( x n )? ? lim h ?0 h

? lim [nx
h?0

n ?1

?c x

2 n?2 n

h ? ?? h ]

n ?1

? nx

n ?1



( x )? ? nx .
n n ?1
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说明: 对一般幂函数 y ? x ? ( ? 为常数)

( x )? ? ? x
( 例如, x )? ?
1 ( x 2 )?

?

? ?1

(以后将证明)

?

?1 1x 2 ? 1 2 2 x

?
(

1 ? ?1?1 ? ? 1 ?1 ? ? ? (x ) ? ?x x x2
1 x x
3 7 ? ?3 ?4 )? ? ( x 4 )? ? x

4

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例3. 求函数 解: 则

的导数.

sin( x ? h) ? sin x f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim ? lim h ?0 h h ?0 h h ? lim 2 cos( x ? ) 2 h ?0 h ? lim cos( x ? ) h ?0 2

? cos x

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即 类似可证得

(sin x)? ? cos x (cos x)? ? ? sin x

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例4. 求函数 解:

的导数.

ln( x ? h) ? ln x f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim ? lim h ?0 h h ?0 h 1 ? lim ? h ?0 h


x 1 1 h x
1 h ? lim ? h ?0 h x

? lim

h ?0

h ?0

lim

ln e
1 (ln x)? ? x
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例5. 证明函数

在 x = 0 不可导.

y? x

y

f (0 ? h) ? f (0) h ? 1 , h ? 0 o ?? 证: ? ? h ? ?1 , h ? 0 h f (0 ? h) ? f (0) ? lim 不存在 , h ?0 h

x

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例6. 设

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) . 存在, 求极限 lim h ?0 2h

是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 )? hf)(? 0f ?x0) x ( h) 0 0 ? ? 解: 原式 ? lim ?

令 t ? x0 ?0h , 则 h?

原式 ? 1 f ?( x ) ? 1 f ?( x ) ? f ?( x0 ) 0 0 2 2

?

2h 2(?h)

?

?

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四、 导数的几何意义
曲线 在点 的切线斜率为
y
y ? f (x )

tan ? ? f ?( x0 ) ( f ?( x0 ) ? 0 )
曲线在点 切线方程: 法线方程: 处的

C

M
x0

T

o ? y

x

( x0 , y0 )

o

x0

? x

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当f ?( x0 ) ? 0时
切线方程:

y ? f ( x0 ) x ? x0 x ? x0 y ? f ( x0 )

水平切线

法线方程:

当f ?( x0 ) ? ?时
切线方程: 法线方程:

垂直切线

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1 1 例7 求等轴双曲线 y ? 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为

k ? y?

1 x? 2

1 ? ( )? x

1 x? 2

1 ?? 2 x

1 x? 2

? ?4.

1 所求切线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? ), 即 4 x ? y ? 4 ? 0. 2 1 1 法线方程为 y ? 2 ? ( x ? ), 即 2 x ? 8 y ? 15 ? 0. 4 2

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例8. 问曲线 的切线与直线 解:

哪一点有垂直切线 ? 哪一点处

平行 ? 写出其切线方程.

1 ?2 ? x 3 3

? y? x ?0 ? ? ,

故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 1 1 1 令 3 2 ? , 得 x ? ?1 , 对应 y ? ?1 , 3 x 3 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为
?1 1 ?1 1


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五、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
y? x

y

o
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x
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1 ? ? x sin , x ? 0 , 例9 讨论函数 f ( x) ? ? x ? 0, x?0 ? 在x ? 0处的连续性与可导性.

? f (0) ? lim f ( x) ? 0 ? f ( x)在x ? 0处连续. x ?0 1 (0 ? ?x) sin ?0 ?y 1 0 ? ?x ? 但在x ? 0处有 ? sin ?x ?x ?x

1 1 ? sin 是有界函数 , ? lim x sin ? 0 x ?0 x x

?y 当?x ? 0时, 在 ? 1和1之间振荡而极限不存在 . ?x

? f ( x)在x ? 0处不可导.

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内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; f ?? ( x0 ) ? f ??( x0 ) ? a 2. f ?( x0 ) ? a

3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :

(C )? ? 0 ;

1 (ln x)? ? x (cos x)? ? ? sin x ;

不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.
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思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 与导函数

有什么区别与联系 ?
区别: 联系: 注意:

f ?(x) 是函数 , f ?( x0 ) 是数值;
f ?( x) x ? x0 ? f ?( x0 )

f ?( x0 )?f ( x0 ) ]? ?[

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2. 设

存在 , 则 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ?( x ) lim ? ________ . 0 h ?0 h 则

3. 已知

k0

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4. 若 可导? 解: 由题设

时, 恒有



是否在





可导, 且

由夹逼准则

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5. 设 都存在 , 并求出

, 问 a 取何值时,



解: 显然该函数在 x = 0 连续 .

sin x ? 0 ? f ? (0) ? lim ? ?1 x?0 x? 0 ax ? 0 ? ?a f ? (0) ? lim ? x? 0 x ? 0 在 故 a ?1 时 此时

都存在,

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