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高考数学总复习配套测评卷:三角函数-章末质量检测4 新人教版


四川省 2011 届高考总复习配套测评卷: 『理科』卷(四) 三角函数
———————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第 Ⅱ卷可在各题后直接作答,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 2 1.sin (π +α )-cos(π +α )·cos(-α )+1 的值为 ( ) 2 A.1 B.2sin α C .0 D.2 2.已知角 θ 的终边过点(4,-3),则 cos(π -θ )的值为 ( ) 4 4 A. B.- 5 5 3 3 C. D.- 5 5 π? ? π 3.(2008 年山东卷)函数 y=lncos x?- <x< ?的图象是 2 2? ? ( )

π 4.下列函数中,在区间(0, )上为增函数且以 π 为周期的函数是 2 ( A.y=sin 2 C.y=-tanx )

x

B.y=sinx[来源:学科网]

D.y=-cos2x π π 5.已知函数 y=sin(x- )cos(x- ),则下列判断正确的是 12 12 ( π A.此函数的最小正周期为 2π ,其图象的一个对称中心是( ,0) 12 )

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π B.此函数的最小正周期为 2π ,其图象的一个对称中心是( ,0) 6 π C.此函数的最小正周期为 π ,其图象的一个对称中心是( ,0) 12 π D.此函数的最小正周期为 π ,其图象的一个对称中心是( ,0) 6 π? 2? 6.已知函数 y=2sin ?x+ ?-cos 2x,则它的周期 T 和图象的一条对称轴方程是 4? ? ( ) π 3π A.T=2π ,x= B.T=2π ,x= 8 8 π 3π C.T=π ,x= D.T=π ,x= 8 8 7.下列关系式中正确的是 ( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° π π 8.已知函数 f(x)=sin( x+α )cos( x+α ),当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值, 3 3 则 α 的一个取值是 ( ) π 5π A. B. [来源:学科网] 12 12 π 11 C. D. π 2 12 9.已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可能为 ( )

x π A.f(x)=2sin( - ) 2 6 x π C.f(x)=2cos( - ) 2 3 sinα -2cosα 10.已知 =-5,那么 tanα 的值为 3sinα +5cosα
A.-2 23 C. 16 B.2 23 D.- 16

[来源:学科网 ZXXK] π B.f(x)= 2cos(4x+ ) 4 π D.f(x)=2sin(4x+ ) 6

(

)

π 11. 将函数 y=f(x)·sinx 的图象向右平移 个单位后, 再作关于 x 轴的对称变换得到 4 2 函数 y=1-2sin x 的图象,则 f(x)是 ( ) A.-2cosx B.2cosx C.-2sinx D.2sinx
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? π π? 12.已知函数 f(x)=2sin ω x 在区间?- , ?上的最小值为-2,则 ω 的取值范围 ? 3 4?
是 ( ) 9? ? A.?-∞,- ?∪[6,+∞) 2? ? 9? ?3 ? ? B.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2]∪[ 6,+∞) 3? ?3 ? ? D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 第Ⅱ卷 [来源: 学。科。 总 分 网][来 [来源: 源:Z§ 学_科_ 第Ⅰ卷 xx§ 网 二 17 18 19 20 21 22 k.Com][ Z_X_X_ 来源:学 K] 科网 ZXXK] 得 分 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) π π 13.函数 y=log2(1+sinx)+log2(1 -sinx),当 x∈[- , ]时的值域为________. 6 4 |sin α | |cos α | 14.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,则 - =________. sin α cos α ? π π? 15.已知函数 f(x)=sin x+tan x,项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈?- , ?, ? 2 2? 且公差 d≠0,若 f(a1)+f(a2)+…f(a27)=0,则当 k=________时,f(ak)=0. 16.下列命题: ?π π ? ①若 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ ∈? , ?,则 ?4 2? f(sin θ )>f(cos θ ); π ②若锐角 α ,β 满足 cos α >sin β ,则 α +β < ; 2 ③若 f(x)=2cos -1,则 f(x+π )=f(x)对 x∈R 恒成立; 2 x π ?x π ? ④要得到函数 y=sin? - ?的图象,只需将 y=sin 的图象向右平移 个单位,其中 2 4 ?2 4 ? 真命题是________(把你认为所有正确的命题的序号都填上). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 33 ? π? ?π ? 17.(本小题满分 12 分)已知 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?且 sin(α +β )= ,cos β 2? 65 ? ?2 ? 5 =- . 13 求 sin α . 18.(本小题满分 12 分)已知 tan2θ =-2 2,π <2θ <2π . (1)求 tanθ 的值;
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2

x

2θ 2cos -sinθ -1 2 (2)求 的值. π? ? 2sin?θ + ? 4? ?

π 2 2 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=4sin (x+ )+4 3sin x-(1+2 3),x∈R. 4 (1)求函 数 f(x)的最小正周期和图象的对称中心; ?π π ? (2)求函数 f(x)在区间? , ?上的值域. ?4 2? 20.(本小题满分 12 分)已知函数 y=|cosx+sinx|. π 7π (1)画出函数在 x∈[- , ]的简图; 4 4 (2)写出函数的最小正周期和单调递增区间;试问:当 x 为何值时,函数有最大值?最 大值是多少? 2 (3)若 x 是△ABC 的一个内角,且 y =1,试判断△ABC 的形状. π 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )(x∈R)的 2 部分图象如图所示.

(1)求 f(x)的表达式;

? π? (2)设 g(x)=f(x)- 3f?x+ ?,求函数 g(x)的最小值及相应的 x 的取值集合. 4? ? 22.(本小题满分 14 分)如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8m,圆上最低点与 地 面距离为 0.8m,60 秒转动一圈, 图中 OA 与地面垂直, 以 OA 为始边, 逆时 针转动 θ 角到 OB, 设 B 点与地面距离是 h.

(1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求缆车到 达最高点时用的最少时间是多少? 答案: 一、选择题 2 1.D 原式=(-sin α ) -(-cos α )·cos α +1 2 2 =sin α +cos α +1=2. 2.B cos(π -θ )=-cosθ 4 =- ,故选 B. 5 3.A 由已知得 0<cos x≤1, ∴lncos x≤0,排除 B、C、D,故选 A. 4.D 由题意知函数以 π 为周期,可排除 A、B, π 由函数在(0, )上为增函数, 2 可排除 C,故选 D.
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5.C π ( ,0). 12

f(x)= sin(2x- ),故此函数的最小正周期为 π ,其图象的一个对称中心是

1 2

π 6

π? π? ? 2? 6.D ∵y=2sin ?x+ ?-cos 2x=1-cos?2x+ ?-cos 2x 4 2? ? ? ? =1+sin 2x-cos 2x π? π π ? =1+ 2sin?2x- ?,所以其周期 T=π ,对称轴方程的 表达式可由 2x- =kπ + 4? 4 2 ? kπ 3π (k∈Z)得 x= + (k∈Z),故当 k=0 时的一条对称轴方程为 2 8 3π x= . 8 7.C ∵sin 168° =sin(180°-12°) =sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°) =sin 80°. ? π? 又∵g(x)=sin x 在 x∈?0, ?上是增函数, 2? ? ∴sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即 sin 11°<sin 168°<cos 10°. 8.D f(x) π π =sin( x+α )cos( x+α ) 3 3 1 2 = sin( π x+2α ), 2 3 当 x=1 时, 1 2 11 f(1)= sin( π +2α ), 验证四个选项,得 α = π 时,f(1)取得最大值,故选 D. 2 3 12 1 1 9.C 由图可知 T=π ?ω = ,代入点 B(0,1)验证可知,选 C. 4 2 10.D 由题意可知:cosα ≠0,分子分母同除以 cosα , tanα -2 得 =-5, 3tanα +5 23 ∴tanα =- . 16 2 11.B ∵y=1-2sin x=cos2x,作关于 x 轴的对称变换得到 π y=-cos2x,然后再向左平移 个单位得到函数 4 π y=-cos2(x+ )=sin2x, 4 即 y=sin2x=f(x)·sinx. ∴f(x)=2cosx. 12.D 当 ω >0 时, π π - ω ≤ω x≤ ω , 3 4 π π 由题意知- ω ≤- , 3 2 3 即ω≥ , 2
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当 ω <0 时, π π ω ≤ω x≤- ω , 4 3 π π 由题意知- ω ≥ , 3 2 3 即 ω ≤- , 2 3? ?3 ? ? 综上知,ω 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? 二、填空题 2 2 13. 【解析】 y=log2(1-sin x)=log2cos x, 当 x=0 时,ymax=log21=0, π 当 x= 时,ymin=-1, 4 ∴y∈[-1,0] 【答案】 [-1,0] 14. 【解析】 ∵角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上, 在角 α 的终边上取一点 P(x0,-3x0)(x0<0), ∴-3x0>0,∴p 在第二象限, |sin α | |cos α | ∴ - sin α cos α sin α -cos α = - =1+1=2. sin α cos α 【答案】 2 15. 【解析】 因为函数 f(x) =sin x+tan x 是奇函数, 所以图象关于原点对称,图象过原点. ? π π? 而等差数列{an}有 27 项,an∈?- , ?. ? 2 2? 若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a27)=0, 则必有 f(a14)=0, 所以 k=14. 【答案】 14 16. 【解析】 ①由已知可得函数在[0,1]上为减函数, ?π π ? 且由于 θ ∈? , ? ?4 2? ?1>sin θ >cos θ >0, 故有 f(sin θ )<f(cos θ ), 故①错; π π ?π ? ②由已知角的范围可得:cos α >sin β =cos? -β ??α < -β ?α +β < , 2 2 ?2 ? 故②正确;③错, 易知 f(x)=cos x,其周期为 2π , π 故应有 f (x)=f(x+2π )恒成立,④错,应向右平移 个单位得到. 2 【答案】 ② 三、解答题 ?π ? 17. 【解析】 ∵β ∈? ,π ?, ?2 ?

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5 cos β =- , 13 12 ∴sin β = . 13 π π 又∵0<α < , <β <π , 2 2 π 3π ∴ <α +β < , 2 2 33 又 sin(α +β )= , 65 π ∴ <α +β <π , 2 cos(α +β ) 2 =- 1-sin α +β 56 ?33?2 =- 1-? ? =- , 65 65 ? ? ∴sin α =sin[(α +β )-β ] =sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β 33 ? 5 ? ? 56? 12 = ·?- ?-?- ?· 65 ? 13? ? 65? 13 3 = . 5 2tanθ 18. 【解析】 (1)由 tan2θ = =-2 2, 2 1-tan θ 2 或 tanθ = 2, 2 π ∴π <2θ <2π , <θ <π , 2 解得 tanθ =- ∴tanθ =- 2 . 2 1- - 2 2

1+cosθ -sinθ -1 1-tanθ (2)原式= = = sinθ +cosθ 1+tanθ

2 1+ - 2

=3+2 2.

19. 【解析】 依题意得 f(x) π 2 2 =4sin (x+ )+4 3sin x-(1+2 3) 4 π π =2[1-cos(2x+ )]-2 3cos2x-1=4sin(2x- )+1. 2 3 2π (1)函数 f(x)的最小正周期是 T= =π . 2 π π kπ π 由 sin(2x- )=0 得 2x- =kπ ,∴x= + , 3 3 2 6 kπ π ∴函数 f(x)的图象的对称中心是( + ,1)(其中 k∈Z). 2 6 π π (2)当 x∈[ , ]时, 4 2 π π 2π 2x- ∈[ , ], 3 6 3
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π 1 sin(2x- )∈[ ,1], 3 2 π 4sin(2x- )+ 1∈[3,5], 3 π π 故函数 f(x)在区间[ , ]上的值域是[3,5]. 4 2

? ? π ?? (1)∵y=|cosx+sinx|=? 2sin?x+ ??, 4 ?? ? ? ? π 7π ? 当 x∈?- , ?时,其图象如图所示. 4 ? ? 4
20. 【解析】

(2)函数的最小正周期是 π ,其单调递增区间是 ?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z). ? 4 4? ? ? π 由图象可以看出,当 x=kπ + (k∈Z)时,该函数的最大值是 2. 4 (3)若 x 是△ABC 的一个内角,则有 0<x<π , 2 ∴0<2x<2π .由 y =1, 2 得|cosx+sinx| =1 ?1+sin2x=1. π ∴sin2x=0,∴2x=π ,x= , 2 故△ABC 为直角三角形. 21. 【解析】 (1)由图象可知:A=1, 函数 f (x)的周期 T 满足: T π π π = - = ,T=π , 4 3 12 4 2π ∴T= =π .∴ω =2. ω ∴f(x)=sin(2x+φ ). ?π ? 又 f(x)图象过点? ,1?, ?12 ? π ?π ? ∴f( )=sin? +φ ?=1, 12 ?6 ? π π +φ =2kπ + (k∈Z). 6 2 π π 又|φ |< ,故 φ = . 2 3 π ? ? ∴f(x)=sin?2x+ ?. 3? ? π? π π? ? π? ? ? (2)解法 1:g(x)=f(x)- 3f?x+ ?=sin?2x+ ?- 3sin?2x+ + ? 4? 3? 2 3? ? ? ? π? 5π ? ? ? =sin?2x+ ?- 3sin?2x+ ? 3? 6 ? ? ?

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1 3 3 3 = sin2x+ cos2x+ sin2x- cos2x=2sin2x, 2 2 2 2 π 由 2x=2kπ - (k∈Z), 2 π 得 x=kπ - (k∈Z), 4 ∴g(x)的最小值为-2,相应的 x 的取值集合为 ? ? π ?x|x=kπ - ,k∈Z?. 4 ? ? 解法 2:g(x) π =f(x)- 3f(x+ ) 4 π ? ? =sin?2x+ ? 3? ? π π? ? - 3sin?2x+ + ? 2 3? ? π ? ? =sin?2x+ ? 3? ? π? ? - 3cos?2x+ ? 3? ? π? π? ?? =2sin??2x+ ?- ? 3? 3? ?? =2sin2x, π 由 2x=2kπ - (k∈Z), 2 π 得 x=kπ - (k∈Z), 4 ∴g(x)的最小值为-2,相应的 x 的取值集合为 ? ? π ?x|x=kπ - ,k∈Z?. 4 ? ? 22. 【解析】 (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

π 则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ - , 2 故点 B 的坐标为 π? π? ? ? (4.8cos?θ - ?,4.8sin?θ - ?), 2? 2? ? ? π? ? ∴h=5.6+4.8sin?θ - ?. 2? ? π π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 ,故 t 秒转过的弧度数为 t, 30 30 π? ?π ∴h=5.6+4.8sin? t- ?,t∈[0,+∞). 2? ?30 到达最高点时,h=10.4 m. π? ?π 由 sin? t- ?=1 2? ?30
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π π π t- = , 30 2 2 ∴ t=30 ∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒. 得

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