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高中数学


高二年级 立体几何综合训练
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.下列命题正确的是( ) A.直线 a,b 与直线 l 所成角相等,则 a//b B.直线 a,b 与平面α 成相等角,则 a//b C.平面α ,β 与平面γ 所成角均为直二面角,则α //β D.直线 a,b 在平面α 外,且 a⊥α ,a⊥b,则 b//α 2.空间四边形 ABCD,M,N 分别是 AB、CD 的中点,且 AC=4,BD=6,则( ) A.1<MN<5 B.2<MN<10 C.1≤MN≤5 D.2<MN<5 3. 如图, 是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A , B , C 为其上的三个点, 则在正方体盒子中,? ABC

等于( ) A.45?

A B.60? C. 90? D. 120?

B

C 4.对已知直线 a,有直线 b 同时满足下面三个条件:①与 a 异面;②与 a 成定角;③与 a 距离为定值 d,则 这样的直线 b 有( ) A.1 条 B.2 条 C.4 条 D.无数条 5.对于任一个长方体,都一定存在一点:①这点到长方体的各顶点距离相等;②这点到长方体的各条棱 距离相等;③这点到长方体的各面距离相等,以上三个结论中正确的是( ) A.①② B.① C.② D.①③ 6.已知 AO 为平面α 的一条斜线,O 为斜足,OB 为 OA 在α 内的射影,直线 OC 在平面α 内,且∠AOB= ∠BOC=45°,则∠AOC 等于( A.30° B.45° ) C.60° D.不确定 )

7.正六棱柱的底面边长为 2,最长的一条对角线长为 2 5 ,则它的侧面积为( A.24 B.12 C. 24 2 D. 12 2

8.甲烷分子结构是:中心一个碳原子,外围四个氢原子构成四面体,中心碳原子与四个氢原子等距离,且 连成四线段,两两所成角为θ ,则 cosθ 值为( ) A. ?
1 3

B.

1 3

C.

1 2

D. ?

1 2

9.如图正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 中,E,F 分别为 AB, CC 1 的中点,则异面直线
A 1C

与 EF 所成角的余弦值为(
3 3

) C.
1 3

A.

B.

2 3

D.

1 6

10.异面直线 a,b 成 80°角,P 为 a,b 外的一个定点,若过 P 有且仅有 2 条直线与 a,b 所成的角相等且 等于α ,则角α 属于集合( ) A.{α |0°<α <40°} B.{α |40°<α <50°}
1

C.{α |40°<α <90°}

D.{α |50°<α <90°}

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个_________

12. 正四棱锥 S-ABCD 侧棱长与底面边长相等, 为 SC 中点, 与 SA 所成角的余弦值为_____________。 E BE 13.边长为 2 的正方形 ABCD 在平面α 内的射影是 EFCD,如果 AB 与平面α 的距离为 2 ,则 AC 与平面 α 所成角的大小是________ 14.已知 A,B,C,D 为同一球面上的四点,且连接每两点的线段长都等于 2,则球心到平面 BCD 的距离 等于_____________。 15.斜三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中,侧面 BB 1 C 1 C 的面积为 S, AA 1 到面 BCC 1 B 1 的距离是 a,则该三棱柱的 体积是_____________。 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB= a ,E、F 是侧棱 PD、PC 的中点。 (1)求证:EF∥平面 PAB ; (2)求直线 PC 与底面 ABCD 所成角 ? 的正切值;
E A F P

D

B

C

17. (本小题满分 12 分)

三 棱 锥 P ? ABC 中 ,平 面 PBC ? 平 面 ABC , ? PBC 是 边 长为 a 的 正 三角 形, ? ACB ? 90 ? , P ? ? BAC ? 30 , M 是 BC 的中点. (1)求证: PB ? AC ; (2)求点 M 到平面 PCA 的距离;
B M C A

2

18. (本小题满分 12 分) 已知四边形 ACED 和四边形 CBFE 都是矩形,且二面角 A-CE-B 是直二面角,AM 垂直 CD 交 CE 于 M。 (1)求证:AM ? BD (2)若 AD= 6 ,BC=1,AC= 3 ,求二面角 M-AB-C 的大小。
D M E F

C

B

A

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面是以∠ADC 为锐角的 菱形。 (1)试问:当∠ADC 为多大时,有 PA⊥CD; (2)当 PA⊥CD 时,求面 PAB 与面 PCD 所成角的大小。

20. (本小题满分 12 分) 三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点 A 1 在底面 ABC 上的射影为 BC 边的中点 M。 (1)求证:BC 垂直于 A 1 ,A,M 三点确定的平面; (2)如果三棱锥 C ? A 1 B 1 C 1 的体积为
3 12 a
3

,求棱锥侧面 ABB 1 A 1 与底面 ABC 所成锐二面角的大小。

21. (本小题满分 14 分) 已知:如图,四边形 ABCD,EADM 和 MDCF 是个三边长为 a 的全等的正方形,点 P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点。 求: (1)PQ 与 AD 所成的角的大小; (2)平面 EBF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值; (3)多面体 EFM-ABCD 的体积。

3


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