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二次函数


二次函数
I.定义与定义表达式 一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax2+bx+c 则称 y 为 x 的二 次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点 P(h,k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2

) [仅限于与 x 轴有交点 A(x1,0)和 B(x2,0)的抛 物 线 ] 注 : 在 3 种 形 式 的 互 相 转 化 中 , 有 如 下 关 系 :
b b 2 - 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ; x1 , x2 ? . h ? ? ,k ? ? 2a 4a 2a

III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x?的图像, 可以看出,二次函数的图像是 一条抛物线。 IV.抛物线的性质 b 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线: x ? ? 。 对称轴与抛物线唯一的交 2a 点为抛物线的顶点 P。 特别地, 当 b=0 时, 抛物线的对称轴是 y 轴 (即直线 x=0) 2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P ( ? 当?
b b 2 - 4ac ,? ) 。 2a 4a

b 2 =0 时,P 在 y 轴上;当Δ = b -4ac=0 时,P 在 x 轴上。 2a 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物 线的开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右。 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点,抛物线与 y 轴交于(0,c) 6.抛物线与 x 轴交点个数 Δ = b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ = b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。 Δ = b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程 ,特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c, 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程) , 即 ax2+bx+c=0 此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标 即为方程的根。 画抛物线 y=ax2 时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取 自变量 x 值时常以 0 为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要 用光滑曲线连接,并注意变化趋势。

一.填空 1.二次函数=2(x 3 )2 +1 图象的对称轴是 2 。 。

2.函数 y=

1? 2x 的自变量的取值范围是 x ?1

3 .若一次函数 y= ( m-3 ) x+m+1 的图象过一、二、四象限,则的取值范围是 。 4.已知关于的二次函数图象顶点(1,-1) ,且图象过点(0,-3) ,则这个二次 函数解析式为 。 5.若 y 与 x2 成反比例,位于第四象限的一点 P(a,b)在这个函数图象上,且 2 a,b 是 方 程 x -x -12=0 的 两 根 , 则 这 个 函 数 的 关 系 式 。 k 6.已知点 P(1,a)在反比例函数 y= (k≠0)的图象上,其中 a=m2+2m+3(m x 为实数) ,则这个函数图象在第 象限。 7. x,y 满足等式 x=
3y ? 2 ,把 y 写成 x 的函数 2 y ?1

,其中自变量
y

x 的取值范围是 。 o 8.二次函数 y=ax2+bx+c+(a ? 0)的图象如图,则点 P(2a-3,b+2) -2 x 在坐标系中位于第 象限 -2 9 . 二 次 函 数 y= ( x-1 ) 2+ ( x-3 ) 2 , 当 x= 时,达到最小值 。 10. 抛物线 y=x2(2m-1) x- 6m 与 x 轴交于 (x1, 0) 和 (x2, 0) 两点, 已知 x1x2=x1+x2+49, 要使抛物线经过原点,应将它向右平移 个单位。 二.选择题(30 分) 11.抛物线 y=x2+6x+8 与 y 轴交点坐标( ) (A) (0,8) (B) (0,-8) (C) (0,6) (D) (-2,0) (-4,0) 1 12.抛物线 y= - (x+1)2+3 的顶点坐标( ) 2 (A) (1,3) (B) (1,-3) (C) (-1,-3) (D) (-1,3) 13.如图,如果函数 y=kx+b 的图象在第一、二、三象限,那么函数 y=kx2+bx-1 y y y y 的图象大致是( )
1 o x o -1 x C 1 o x -1 D o x

14.函数 y=

2? x A B 的自变量 x 的取值范围是( x ?1



(A)x ? 2 (B)x<2 (C)x> - 2 且 x ? 1 (D)x ? 2 且 x ? –1 15.把抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位,再向右平移 3 个单位,所得抛物线的 解析式是( ) 2 (A)=3(x+3) -2 (B)=3(x+2)2+2 (C)=3(x-3)2 -2 (D)=3(x-3)

2

+2 16.已知抛物线=x2+2mx+m -7 与 x 轴的两个交点在点(1,0)两旁,则关于 x 1 的方程 x2+(m+1)x+m2+5=0 的根的情况是( ) 4 (A)有两个正根 (B)有两个负数根 (C)有一正根和一个负根 (D)无实 根 17.函数 y= - x 的图象与图象 y=x+1 的交点在( ) (A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 18.如果以 y 轴为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c 的图象,如图, 则代数式 b+c-a 与 0 的关系( ) (A)b+c-a=0 (B)b+c-a>0 (C)b+c-a<0 (D)不能确定 3 19.已知:二直线 y= - x +6 和 y=x - 2,它们与 y 轴所围成的三角形的面积 5 为( ) (A)6 (B)10 (C)20 (D)12 20.某学生从家里去学校,开始时匀速跑步前进,跑累了后,再匀速步行余下的 路程。下图所示图中,横轴表示该生从家里出发的时间 t,纵轴表示离学校的路 程 s,则路程 s 与时间 t 之间的函数关系的图象大致是( )
y O x

s

s

s

s

o A

t

o

B

t

o

C

t

o

D

t

三.解答题 21.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a ? 0)与 x 轴的两交点的横坐标分别是-1 和 3,与 3 y 轴交点的纵坐标是- ; 2 1)确定抛物线的解析式; (2)用配方法确定抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标。 22、如图抛物线与直线
y ? k ( x ? 4) 都经过坐标轴的正半轴上 A,B 两点,该抛
Y B

物线的对称轴 x=—1,与 x 轴交于点 C,且∠ABC=90°求: (1)直线 AB 的解析式; (2)抛物线的解析式。
C

A O X

23、某商场销售一批名脾衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元,为了扩 大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现 每件衬衫降价 1 元, 商场平均每天可多售出 2 件: (1)若商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫要降价多少元, (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?

24、已知:二次函数 y ? x 2 ? 2ax ? 2b ? 1和 y ? ? x 2 ? (a ? 3) x ? b 2 ? 1 的图象都经 过 x 轴上两个不同的点 M、N,求 a、b 的值。 25、如图,已知⊿ABC 是边长为 4 的正三角形,AB 在 x 轴上,点 C 在第一象限, AC 与 y 轴交于点 D,点 A 的坐标为{—1,0),求 (1)B,C,D 三点的坐标; (2)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过 B,C,D 三点,求它的解析式; (3)过点 D 作 DE∥AB 交过 B,C,D 三点的抛物线于 E,求 DE 的长。
Y C

D

E

A

O

B

X

26 某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费:每月用电 不超 100 度 时,按每度 0.57 元计费:每月用电超过 100 度时.其中的 100 度仍按原标准收 费,超过部分按每度 0.50 元计费。 (1)设月用电 x 度时,应交电费 y 元,当 x≤100 和 x>100 时,分别写出 y 关于 x 的函数 关系式; (2)小王家第一季度交纳电费情况如下: 月 份 一月份 二月份 三月份 合 计 交费金额 76 元 63 元 45 元 6 角 184 元 6 角 问小王家第一季度共用电多少度?
2 2 2 27、巳知:抛物线 y ? x ? (m ? 5) x ? 2m ? 6

(1)求证;不论 m 取何值,抛物线与 x 轴必有两个交点,并且有一个交点是 A(2,0); (2)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B,AB 的长为 d,求 d 与 m 之间的函数 关系式; (3)设 d=10,P(a,b)为抛物线上一点: ①当⊿ABP是直角三角形时,求 b 的值; ②当⊿ABP是锐角三角形,钝角三角形时,分别写出 b 的取值范围(第 2 题不要求写出过程) 5 2 28、已知二次函数的图象 y ? x 2 ? (m 2 ? 4m ? ) x ? 2(m 2 ? 4m ? ) 与 x 轴的交点 2 9 为 A,B(点B在点 A 的右边),与 y 轴的交点为 C; (1)若⊿ABC 为 Rt⊿,求 m 的值; (1)在⊿ABC 中,若 AC=BC,求 sin∠ACB 的值; (3)设⊿ABC 的面积为 S,求当 m 为何值时,s 有最小值.并求这个最小值。


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