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1.3.3 函数最大(小)值与导数


1. 已知函数f(x)=ax3 ? bx 2 ? 2 x在x ? 2, x ? 1处取得极值。

?1?

求f(x)的解析式。 ? 2? 求f(x)的单调区间。
更正

2. 已知函数f(x)=x3 ? ax 2 ? bx ? a 2在x ? 1时有极值10, 求a、b的值。

高中数学

选修2-2(人教版A版)

1.3.1

函数的单调性与导数

1、导数与单调性的关系

(1) f ?( x ) ? 0 ? f ( x )为单调递增函数 (2) f ?( x ) ? 0 ? f ( x )为单调递减函数

1.3.2

函数的极值与导数
f ?( x0 ) ? 0

(3) x0为极值点?

1、导数与极值的关系

在x0的附近:① f ?( x ) 左正右负,那么x0 是极大值点; ② f ?( x ) 左负右正,那么x0 是极小值点; ③ f ?( x )左右同号,那么 x0 不是极值点。

1.3.3

函数的最大(小)值与导数

1.3.3

函数的最大(小)值与导数

强调:函数的最大(小)值是相对于某区间上的连续函数而言的! 对于某区间上的不连续函数,我们不谈最大(小)值的问题! 所谓最值 就是所有极值连同端点函数值进行比较, 最大的为最大值,最小的为最小值。

探究问题1:开区间上的最值问题
y y

y y=f(x)

y=f(x)

y=f(x)
o a

x
b y=f(x) o a b

x

x o a

b

y

结论 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值
x

o a

b

探究问题2:闭区间上的最值问题 y y=f(x)

y
o
x4 x3

y=f(x)

a
o b x

a x1 x2

b

x

结论 如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断 的曲线,那么它必定有最大值和最小值。 思考:(1)如果连续函数f(x)在开区间(a,b)有最值,在什么位 置取最值? 答:在极值位置处。 (2)如果连续函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极值点, 那么这个极值点是否是最值点? 答:是。

1 3 例1、求函数 y ? x ? 4 x ? 4 在区间 [0, 3] 上的最大值与最小值。 3

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值); (2) 将y=f(x)的各个极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最 大的一个为最大值,最小的一个最小值。 例2 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). (1)若f′(1)=3,求a的值及曲线 y =f(x)在点(1, f(1))处的 切 线方程; (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值。 3 2

?思考题 已知f(x)=ax -6ax +b,问是否存在实数a, b,使f(x)在[-1,2]上取最大值3,最小值-29?若存在, 求出a,b的值,若不存在,说明理由。 答案:a=2,b=3或a=-2,b=-29。

? [例] 已知f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a, b,使f(x)在[-1,2]上取最大值3,最小值-29? 若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ? ①函数f(x)=ax3 -6ax2 +b在x∈[-1,2]上的最大 值为3,最小值为-29; ? ②根据最大值、最小值确定a,b的值. ? 解答本题可先对f(x)求导,确定f(x)在[-1,2]上的 单调性及最值,再建立方程从而求得a,b的值.

? ? ? ?

[解析] 存在. 显然a≠0,f′(x)=3ax2-12ax. 令f′(x)=0,得x=0或x=4(舍去). (1)当a>0时,x变化时,f′(x),f(x)变化情况 如下表: x
f′(x) f(x)

(-1,0)
+ ?

0
0 b

(0,2)
- ?

? 所以当x=0时,f(x)取最大值,所以f(0)=b =3. ? 又f(2)=3-16a,f(-1)=3-7a,f(-1)>f(2), ? 所以当x=2时,f(x)取最小值, ? 即f(2)=3-16a=-29,所以a=2.

? (2)当a<0时,x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下 表: x (-1,0) 0 (0,2) 0 f′(x) - + f(x) b ? ?
? 所以当x=0时,f(x)取最小值,所以f(0)=b=- 29. ? 又f(2)=-29-16a,f(-1)=-29-7a, ? f(2)>f(-1),所以当x=2时,f(x)取最大值, ? 即-16a-29=3,所以a=-2. ? 综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.

? [例] 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). ? (1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程; ? (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ? ①函数f(x)=x2(x-a)中含有参数a; ? ②在a确定的情况下,求切线方程; ? ③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最 大值. ? 解答本题可先对函数求导,然后根据a的不同取 值范围,讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值.

? ? ? ? ?

[解析] (1)f′(x)=3x2-2ax. 因为f′(1)=3-2a=3, 所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0.
2a (2)令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2= 3 . 2a 当 3 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而 f(x)max=f(2)=8-4a.

2a 当 ≥2,即 a≥3 时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而 3 f(x)max=f(0)=0.
? 2a? 2a 当 0< 3 <2,即 0<a<3 时,f(x)在?0, 3 ?上单调递减, ? ? ?2a ? 在? 3 ,2?上单调递增. ? ?

从而

?8-4a (0<a≤2) ? f(x)max=? ?0 (2<a<3) ?



? [点评]
由于参数的取值范围不同会导致函数在所 给区间上的单调性的变化,从而导致最值 的变化. 可以从导函数值为零时自变量的大小或通 过比较函数值的大小等方面进行参数分界 的确定. (1)当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调 时,其最大值、最小值在端点处取得. (2)当图象连续不断的函数f(x)在(a,b)内只 有一个极大(或极小)值,则可以断定f(x)在 该点处取到最大(或最小)值,这里(a,b)也 可以是无穷区间.

参数对最 值的影响 参数的分 类标准

常见结论

总结升华
【课堂小结】
求函数 y ? f ( x) 在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下: (1)求函数 y ? f ( x) 在(a,b)内的极值; (2)将函数 y ? f ( x) 的各极值点与端点处的函数值 f ? a ?、f ? b ? 比较,其中最大的 一个就是最大值,最小的一个就是最小值.

整理巩固 要求:整理巩固探究问题
落实基础知识 完成知识结构图

当堂检测
要求学生自主完成

课堂评价
小 组
积分

一 组

二 组

三 组

四 组

五 组

六 组

七 组

八 组

九 组

优胜 个人

说明:1.学科班长回扣目标 总结收获; 2.评出优胜小组和优胜个人. 课后完成训练案并整理巩固

2.极值的判定

y

y

y
?

? ?

?

?

?

x0 o x 左正右负极大

o x x0 左负右正极小

x0 o x 左右同号无极值

y

y
y=f(x)

y=f(x)

x
o

a

b

o a
y y=f(x)

b

x

y y=f(x)

o

a

b x

o a

b x

结论:在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.

y

y=f(x)

o a
x1 x2 x3

x4 x5

x6

b

x

例如函数y=f(x)图像如下:

如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极 值点,那么这个极值点必定是最值点。

1 3 例1、求函数 y ? x ? 4 x ? 4 在区间 [0, 3] 上的最大值与最小值。 3

解: y? ? x 2 ? 4 令 y? ? 0,解得 x ? 2或x ? ?2 (舍去) 当x 变化时, y?, y 的变化情况如下表: x 0 (0, 2) (2, 3) 3 2 f ?( x ) - + 0 4 f ( x) 4 ↘ 1 极小值 ? ↗ 3 又由于

f (0) ? 4 , f (3) ? 1

4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 ? 3


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