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精品 2.2.1对数与对数运算


1.指数式与对数式的关系:
x a ? 1 当a>0, 时, a ? N ? x ? loga N.

指数式

?对数式

幂底数←a→对数底数 指 数←x→对 数 幂 ←N→真 数

常用关系式:

loga 1 ? 0, loga a ? 1, a

>
loga N

?N

2.对数的运算性质:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么: (1)

loga (M ? N) ? loga M ? loga N;

(2)
(3)

M log ? loga M ? loga N; a N

loga M ? n loga M(n ? R).
n

判断以下式子正误:

(1). log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N (2). log a M N ? log a M log a N

(3). log a ( MN ) ? log a M ? log a N
n n (4). log a M ? (log a M )

注意

不要产生上面的错误:

例:计算下列各式的值:

(1) log2 6 ? log2 3 1 (2) log5 3 ? log5 3 2 log5 2 ? log5 3 (3) 1 1 log5 10 ? log5 0.36 ? log5 8 2 3

(65页)

例3 用 (1)

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
(2)

xy log ; a z
7 5

log
a

x

2 3

y z

.

例4 求下列各式的值: (1)

log2 (4 ? 2 );
x

(2)

lg 5 100.

练习1:课本68页练习1、2题
4 练习2:已知2 ? 3, log 4 ? y, 求x+2y的值. 3

3.换底公式

logc b ?a ? 0, 且a ? 1; c ? 0, 且c ? 1; b ? 0?. loga b ? logc a
探 究
利用换底公式证明下列各式
(a ? 0, a ? 1; b ? 0, b ? 1)

(1) loga b ? logb a ? 1
n

证明: (1) log a b ? log b a ?

lg b lg a ? ?1 lg a lg b

n (2) log am b ? loga b m n lg b n lg b n 证明: (2) log a bn ? ? ? log a b lg a m m lg a m
m

练习:课本68页练习4题

换底公式的综合利用 例:已知 log18 9 ? a,18b ? 5 ,用a,b来表示 log36 45. 解:?log18 9 ? a,18b ? 5, ?log18 5 ? b,

log18 9 ? log18 5 log18 (9 ? 5) log18 45 ? ? ?log36 45 ? 1 ? log18 2 log18 36 log18 (18 ? 2) a?b a?b ? ? 18 2 ? a

1 ? log18

9

练:1.已知 3a ? 2, 用a表示 log3 4 ? log3 6. 2.已知 log2 3 ? a,log3 7 ? b, 用a、b表示 log 42 56.

1.熟练指对数式互化
x a ? 1 当a>0, 时, a ? N ? x ? loga N.

2.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么:

loga (M ? N) ? loga M ? loga N; M log ? loga M ? loga N; a N loga Mn ? n loga M(n ? R).

要记住这些公式 并能熟练应用

3.换底公式及恒等公式
logc b ?a ? 0, 且a ? 1; c ? 0, 且c ? 1; b ? 0?. loga b ? logc a n n log b ? log a b loga b ? logb a ? 1 am m

小结:
本课学习的是对数的性质及运算 法则,要求理解推出这些运算法则的 依据和推导过程,会用语言叙述,要 记住这些公式并能熟练应用。

指对数式互化:

2 ? 1024
10

0.3 ? 0.027
3

log 2 16 ? 4

log 3 x ? 6

1 10 ? 10 log x 64 ? ?6
?1

1

求解对数方程:

2 (1) log8 x ? ? 3

3 (2) log x 27 ? 4

(3) log 2 (log5 x) ? 0 (4) log3 (lg x) ? 1

2

求值:

(1) log 1 27
3

(2) log a 1 ( 5 ? 2)

(3) lg 0.001 (5) log 3 81

(4) log(

5 ? 2)

3


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