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2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高二试题及参考答案


2010 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高二年级)
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;第 9 小 题 4 分一档,第 10,11 小题 5 分为一个档次.请严格按照本评分标准的评分档 次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷 时可参考本评分标准适当划分档

次评分. 一,填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分.直接将答案写在横线上. )
1.数列 {a n } 满足: a1 = 1, a 2 = 3 ,且 a n + 2 =| a n +1 | a n ( n ∈ N ) .记 {a n } 前 n 项的
*

和为 S n ,则 S100 =

89

.

2.在△ ABC 中,已知 ∠B 的平分线交 AC 于 K.若 BC=2,CK=1, BK =

3 2 ,则 2

△ ABC 的面积为

15 7 16

.

3. n < 100 , 设 则使得 (a + b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为 98 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的 取法种数为 327 .

( z + 1) 2 的最小值为 5 . 若 x, y , z 均 为 正 实 数 , 且 x + y + z = 1 , 则 S = 2 xyz
2 2 2

3+ 2 2

.

6.设椭圆

x2 + y 2 = 1 的左,右焦点分别为 F1 , F 2 , M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4
2 3
.

∠F1MF2 = 2θ ,△ MF1 F2 的内心为 I,则 | MI | cos θ =

7.对于一切 x ∈ [2, ] ,不等式 ax x + x + 1 ≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为
3 2

1 2

10 ≤ a ≤ 1

.

8.将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小 于 58.所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 .

二,解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
9.已知数列 {a n } 中, a1 = 1, a 2 =

1 ,且 4

a n+1 =

(n 1)a n n an

(n = 2,3,4,) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ∈ N ,有
*

∑a
k =1

n

2 k

<

7 . 6

解 (1)由已知,对 n ≥ 2 有

1 a n +1

=

n an n 1 = , (n 1)a n (n 1)a n n 1

两边同除以 n,得

1 1 1 = , na n +1 (n 1)a n n(n 1)
……………………4 分



1 1 1 1 = ( ), na n +1 (n 1)a n n 1 n
n 1

于是,

n 1 1 1 1 1 1 = ∑ ∑ ka (k 1)a k =2 k 1 k = (1 n 1) , k =2 k +1 k



1 1 1 = (1 ), n ≥ 2 , (n 1)a n a 2 n 1 1 1 1 3n 2 1 = (1 )= , an = ,n ≥ 2 . (n 1)a n a 2 3n 2 n 1 n 1 1 ,n ∈ N*. 3n 2
……………………8 分

所以

又 n = 1 时也成立,故 a n = (2)当 k ≥ 2 ,有
2 ak =

1 1 1 1 1 < = ( ) ,………………12 分 2 (3k 4)(3k 1) 3 3k 4 3k 1 (3k 2)

所以 n ≥ 2 时,有
n 1 1 1 1 1 1 1 a k2 = 1 + ∑ a k2 < 1 + ( ) + ( ) + + ( ) ∑ 3 2 5 5 8 3n 4 3n 1 k =1 k =2 n

11 1 1 7 = 1+ < 1+ = . 3 2 3n 1 6 6

又 n = 1 时, a1 = 1 <
2

7 . 6

故对一切 n ∈ N ,有
*

∑a
k =1

n

2 k

<

7 . 6

……………………16 分

10.设 P = x + 6 x + 11x + 3 x + 31 ,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

解 P = ( x + 3 x + 1) 3( x 10) .
2 2

所以,当 x = 10 时, P = 131 是完全平方数.
2

……………………5 分

下证没有其它整数 x 满足要求. (1)当 x > 10 时,有 P < ( x 2 + 3 x + 1) 2 , 又 P ( x + 3 x) = 2 x + 3 x + 31 > 0 ,所以 P > ( x + 3 x) ,
2 2 2 2 2

从而 ( x 2 + 3 x) 2 < P < ( x 2 + 3 x + 1) 2 . 又 x ∈ Z ,所以此时 P 不是完全平方数. ……………………10 分

(2)当 x < 10 时,有 P > ( x 2 + 3 x + 1) 2 .令 P = y 2 , y ∈ Z , 则 | y |>| x 2 + 3 x + 1 | ,即 | y | 1 ≥| x 2 + 3 x + 1 | , 所以 y 2 2 | y | +1 ≥ ( x 2 + 3 x + 1) 2 , 即

3( x 10) 2 | x 2 + 3 x + 1 | +1 ≥ 0 .

解此不等式,得 x 的整数值为 ± 2,±1,0,3,4,5,6 ,但它们对应的 P 均不是完全平 方数. 综上所述,使 P 为完全平方数的整数 x 的值为 10.

……………………20 分

11.已知直线 y = x 与椭圆 C:

x2 y2 + = 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F , 16 11

倾斜角为 α 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 α 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程. 解 (1)直线 MN 的倾斜角为 α ,记 ∠MFO = θ ,则 α + θ = π ,

| MN |=

2ab 2 2ab 2 = 2 . a 2 c 2 cos 2 α a c 2 cos 2 θ

而 AB 与 MN 所成的角为

π
4

+ θ ,则四边形 MANB 面积

S MANB =
2

1 π sin θ + cos θ .…………5 分 | AB | | MN | sin( + θ ) = 2 | OA | ab 2 2 2 4 a c 2 cos 2 θ
2 2

而 a = 16, b = 11, c = 5 ,A 点坐标为

4 33 4 33 ,且 | OA |= 4 66 , 9 , 9 9

从而, S MANB =

352 33 sin θ + cos θ 352 33 sin α cos α , = 9 9 16 5 cos 2 θ 16 5 cos 2 α 4 33 4 33 + 9 5
或 arctan

其中 0 < α ≤ arctan

4 33 4 33 + 9 5

≤ α < π .……………10 分

(2) f (α ) = 记

sin α cos α 4 33 , f (α ) 只可能在 α ∈ arctan 而 , π 时才 16 5 cos 2 α 4 33 9 5

可能取到最大值.对 f (α ) 求导数得到:

f ′(α ) =

(cos α + sin α )(16 5 cos 2 α ) (sin α cos α )(10 cos α sin α ) . (16 5 cos 2 α ) 2

令 f ′(α ) = 0 ,则有

(1 + tan α )(16 tan 2 α + 11) (tan α 1)(10 tan α ) = 0 .
化简得到 所以 而

……………………15 分

16 tan 3 α + 6 tan 2 α + 21 tan α + 11 = 0 .

(2 tan α + 1)(8 tan 2 α tan α + 11) = 0 . 1 8 tan 2 α tan α + 11 = 0 无实根,则 tan α = . 2 1 4 33 ,符合 α ∈ arctan ,π . 2 4 33 9 5
1 5 x+ . 2 2
……………………20 分

经检验 tan α =

故所求直线 l 的方程为: y =

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