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高中数学(人教A版)选修2-2同步课后巩固:第一章 导数及其应用 单元测试题


第一章
个选项中,只有一项是符合题目要求的)

单元测试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四

1.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图像如图所 示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

/>A.1 个 C.3 个 答案 A

B.2 个 D.4 个

解析 设极值点依次为 x1,x2,x3 且 a<x1<x2<x3<b,则 f(x)在(a,x1), (x2,x3)上递增,在(x1,x2),(x3,b)上递减,因此,x1、x3 是极大值点,只有 x2 是极小值点. 1 1 2.在区间[2,2]上,函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=2x+x2在同一点处取得相 1 同的最小值,那么 f(x)在[2,2]上的最大值是( 13 A. 4 C.8 答案 D 5 B.4 D.4 )

2 3.点 P 在曲线 y=x3-x+3上移动,设点 P 处的切线的倾斜角为 α,则 α 的 取值范围是( π A.[0,2] 3 C.[4π,π) 答案 B 1 4.已知函数 f(x)=2x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 3 A.m≥2 3 C.m≤2 答案 A 1 解析 因为函数 f(x)=2x4-2x3+3m, 所以 f′(x)=2x3-6x2. 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=3,经检验知 x=3 是函数的一个最小值点,所以 27 函数的最小值为 f(3)=3m- 2 .不等式 f(x)+9≥0 恒成立,即 f(x)≥-9 恒成立, 27 3 所以 3m- 2 ≥-9,解得 m≥2. x 5.函数 f(x)=cos2x-2cos22的一个单调增区间是(
?π 2π? A.?3, 3 ? ? ? ?π π? B.?6,2? ? ? ? ? π π? D.?-6,6? ?

) π 3 B.[0,2]∪[4π,π) π 3 D.[2,4π]

) 3 B.m>2 3 D.m<2

)

π? ? C.?0,3?
? ?

答案 A

解析 f(x)=cos2x-cosx-1, ∴f′(x)=-2sinx· cosx+sinx=sinx· (1-2cosx). 令 f′(x)>0,结合选项,选 A. 6. 设 f(x)在 x=x0 处可导, 且 lim
Δx→0

f?x0+3Δx?-f?x0? =1, 则 f′(x0)等于( Δx B.0 1 D.3

)

A.1 C.3 答案 D

x+9 7.经过原点且与曲线 y= 相切的切线方程为( x+5 A.x+y=0 B.x+25y=0 C.x+y=0 或 x+25y=0 D.以上皆非 答案 D

)

8.函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a2-3b<0 时,f(x) 是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数 答案 A 1 9.若 a>2,则方程3x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰好有( A.0 个根 C.2 个根 B.1 个根 D.3 个根 )

答案 B 1 解析 设 f(x)=3x3-ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当 x∈(0,2)时,
?8 ? 11 f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,又 f(0)f(2)=1?3-4a+1?= 3 -4a<0, ? ?

f(x)=0 在(0,2)上恰好有一个根,故选 B. 1 5 10.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t s 后距离为 s=4t4-3t3+2t2,那 么速度为零的时刻是( A.1 s 末 C.4 s 末 答案 D
2 ? ?x , x∈[0,1], 11.设 f(x)=? 则?2f(x)dx 等于( ?2-x,x∈?1,2], ?0 ?

) B.0 s D.0,1,4 s 末

)

3 A.4 5 C.6 答案 C 解析 数形结合,如图.

4 B.5 D.不存在

2 1 2 ? f(x)dx=? x dx+? (2-x)dx ?0 ?0 ?1

2

1 ?1 1 ? +?2x-2x2??2 = 3x3?0 ? ?1 1 1 =3+(4-2-2+2) 5 =6,故选 C. sinx sinx1 sinx2 12.若函数 f(x)= x ,且 0<x1<x2<1,设 a= x ,b= x ,则 a,b 的大 1 2 小关系是( A.a>b C.a=b 答案 A xcosx-sinx 解析 f′(x)= , x2 令 g(x)=xcosx-sinx,则 g′(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx. ∵0<x<1,∴g′(x)<0,即函数 g(x)在(0,1)上是减函数,得 g(x)<g(0)=0,故 f′(x)<0,函数 f(x)在(0,1)上是减函数,得 a>b,故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线 上) 1 13.若 f(x)=3x3-f′(1)x2+x+5,则 f′(1)=________. 2 答案 3 2 解析 f′(x)=x2-2f′(1)x+1,令 x=1,得 f′(1)=3.
? π π? 14.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π-x),且当 x∈?-2,2?时,f(x)=x+sinx, ? ?

) B.a<b D.a、b 的大小不能确定

设 a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 a、b、c 的大小关系是________.

答案 c<a<b 解析 f(2) = f(π - 2) , f(3) = f(π - 3) ,因为 f′(x) = 1+ cosx≥0 ,故 f(x) 在

? π π? π ?- , ?上是增函数,∵ >π-2>1>π-3>0,∴f(π-2)>f(1)>f(π-3),即 c<a<b. 2 ? 2 2?

15.已知函数 f(x)为一次函数,其图像经过点(2,4),且
? f(x)dx=3,则函数 f(x)的解析式为________. ?0
1

2 8 答案 f(x)=3x+3 解析 设函数 f(x)=ax+b(a≠0),因为函数 f(x)的图像过点(2,4),所以有 b =4-2a. ∴?1f(x)dx=?1 (ax+4-2a)dx
?0 ?0

1 1 =[2ax2+(4-2a)x] |1 0= a+4-2a=1. 2 2 8 2 8 ∴a=3.∴b=3.∴f(x)=3x+3. 16.(2010· 江苏卷)函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2 k)处的切线与 x 轴的交 点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N*.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. 答案 21 解析
2 2 ∵y′=2x,∴过点(ak,ak )处的切线方程为 y-ak =2ak(x-ak),又该

1 切线与 x 轴的交点为(ak+1,0),所以 ak+1=2ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1= 1 16,其公比 q=2,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应出写文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(10 分)如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围成图形为面积相 等的两部分,求 k 的值.

解析 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1,所以,抛物 x ?? 1 1 1 ?x 线与 x 轴所围图形面积 S=? (x-x )dx= ? 2 - 3 ??1 = - = . ? ??0 2 3 6 ?0
1 2 2 3

?y=x-x2, ? 又? 由此可得抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标 x3=0, ? ?y=kx, ?1-k 2 x3??1-k 1 S 2 ??0 = (1-k)3. x4=1-k,所以2=?1-k (x-x -kx)dx= ? x - 6 3 ?? ? 2 ?0

3 1 1 4 3 又 S=6,所以(1-k) =2,∴k=1- 2 . 18. (12 分)已知函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1]上单调递增, 在区间 [1,2)上单调递减. (1)求 a 的值; (2)若点 A(x0,f(x0))在函数 f(x)的图像上,求证:点 A 关于直线 x=1 的对称 点 B 也在函数 f(x)的图像上. 解析 (1)由函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1]单调递增,在区间[1,2) 单调递减, ∴x=1 时,取得极大值,∴f′(1)=0. 又 f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0?a=4. (2)点 A(x0,f(x0))关于直线 x=1 的对称点 B 的坐标为(2-x0,f(x0)), f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1

=(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1 =x40-4x30+ax20-1=f(x0), ∴A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图像上. 19.(12 分)设 x=-2 与 x=4 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求常数 a,b; (2)试判断 x=-2,x=4 是函数 f(x)的极大值还是极小值,并说明理由. 解析 f′(x)=3x2+2ax+b. (1)由极值点的必要条件可知:
?12-4a+b=0, ? f′(-2)=f′(4)=0,即? ?48+8a+b=0, ?

解得 a=-3,b=-24. 或 f′(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4) =3x2-6x-24, 也可得 a=-3,b=-24. (2)由 f′(x)=3(x+2)(x-4). 当 x<-2 时,f′(x)>0,当-2<x<4 时,f′(x)<0. ∴x=-2 是极大值点,而当 x>4 时,f′(x)>0, ∴x=4 是极小值点. 20.(12 分)已知 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3,最小值为- 29,求 a,b 的值. 解析 a≠0(否则 f(x)=b 与题设矛盾), 由 f′(x)=3ax2-12ax=0 及 x∈[-1,2],得 x=0. (1)当 a>0 时,列表: x f′(x) (-1,0) + 0 0 (0,2) -

f(x)



极大值 b



由上表知,f(x)在[-1,0]上是增函数, f(x)在[0,2]上是减函数. 则当 x=0 时,f(x)有最大值,从而 b=3. 又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3, ∵a>0,∴f(-1)>f(2). 从而 f(2)=-16a+3=-29, 得 a=2. (2)当 a<0 时,用类似的方法可判断当 x=0 时 f(x)有最小值. 当 x=2 时,f(x)有最大值. 从而 f(0)=b=-29, f(2)=-16a-29=3, 得 a=-2. 综上,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29. 21.(12 分)(2010· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R), g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 解析 (1)由题意得 f′(x)=3ax2+2x+b.因此 g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+ 1)x2+(b+2)x+b.因为函数 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),即对任意实数 x, 有 a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],从 1 1 而 3a+1=0,b=0,解得 a=-3,b=0,因此 f(x)的解析式为 f(x)=-3x3+x2. 1 (2)由(1)知 g(x)=-3x3+2x,所以 g′(x)=-x2+2. 令 g′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2,则当 x<- 2或 x> 2时,g′(x)<0, 从而 g(x)在区间(-∞, - 2], [ 2, +∞)上是减函数; 当- 2<x< 2时,g′(x)>0,

从而 g(x)在[- 2, 2]上是增函数. 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x=1, 2,2 时 5 4 2 4 取得,而 g(1)=3,g( 2)= 3 ,g(2)=3.因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2) 4 2 4 = 3 ,最小值为 g(2)=3. 1-x 22.(12 分)已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ ,x≥0,其中 a>0. 1+x (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的取值范围. 分析 解答本题, 应先正确求出函数 f(x)的导数 f′(x), 再利用导数与函数的 单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解. ax2+a-2 a 2 解析 (1)f′(x)= - = , ax+1 ?1+x?2 ?ax+1??1+x?2 ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=0,即 a· 12+a-2=0,解得 a=1. ax2+a-2 (2)f′(x)= , ?ax+1??1+x?2 ∵x≥0,a>0,∴ax+1>0. ①当 a≥2 时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)的单调增区间为[0,+∞). ②当 0<a<2 时, 由 f′(x)>0,解得 x> 由 f′(x)<0,解得 x< 2-a a . 2-a a .

∴f(x)的单调减区间为(0,

2-a a ),单调增区间为(

2-a a ,+∞).

(3)当 a≥2 时,由(2)①知,f(x)的最小值为 f(0)=1; 当 0<a<2,由(2)②知,f(x)在 x= =1. 综上可知,若 f(x)的最小值为 1,则 a 的取值范围是[2,+∞). 2-a a 处取得最小值,且 f( 2-a a )<f(0)


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