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东山中学2010届高三上学期期中考试(数学文)


梅县东山中学 2010 届高三上学期期中考试 数学(文科)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分。 1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B{x | x ? 1} ,则 A ? (CU B) ? ( A. {x | 0 ? x ? 1} 2.如果 cos ? ? B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} )

>
D. {x | x ? 1} )

1 ?? ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos ? ? ? ? =( 5 2? ?

A. ?

1 5

B.

1 5

C. ?

2 6 5

D. )

2 6 5

3.命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1≥0 C. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1≥0

B. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

4.已知 a, b ? R, 且a ? b ,则下列不等式中成立的是( ) a 1 1 A. ? 1 B. a 2 ? b 2 C. lg( a ? b) ? 0 D. ( ) a ? ( ) b 2 2 b 5.不等式 ax2 ? x ? c ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} ,则函数 y ? ax2 ? x ? c 的图象大致为 ( )
y y y y

-2

0

1

x

-2

0

1

x

-1

0

2 x

-1 0

2

x

A

B

C )

D

? ? ? ? 6.已知向量 a ? ( x,1),b ? (3,6), a ? b ,则实数 x 的值为( 1 A. B. ? 2 C. 2 2
7. 若 0≤x≤2,则 f(x)= x?8 ? 3x? 的最大值( A. 5 B.
4 3 3

D. ?

1 2

) D.2
f ( x) ? f (? x) ?0的 x

C.

16 3

8. 设奇函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, f ? 2? ? 0 , 且 则不等式 解集为( )
1

A. ? ?2, 0? ? ? 2, ??? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ???

B. ? ??, ?2? ? ? 0, 2? D. ? ?2, 0? ? ? 0, 2?

1 a 9.已知不等式 ( x ? y )( ? ) ? 9 对任意正实数 x , y 恒成立,则正实数 a 的最小值 x y

为 ( ) A. 8

B.

6

C.

4

D.

2

10.在 f ?m, n? 中, m, n, f ?m, n? ? N ? ,且对任意 m, n 都有: (1) f ?1,1? ? 1, (2) f ?m, n ? 1? ? f ?m, n? ? 2 ,(3) f ?m ? 1,1? ? 2 f ?m,1? ; 给出下列三个结论:① f ?1,5? ? 9 ; 其中正确的结论个数是( )个 1 D. 。 。
y

② f ?5,1? ? 16 ;

③ f ?5,6? ? 26 ;

A. 3 B. 2 C. 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分。 11.函数 f ( x) ? log2 (1 ? x 2 ) 的定义域为

0

?e x x ≤ 0, ? ? 1 ? ? 12.设 g ( x) ? ? 则 g ? g ? ?? ? ? ? 2 ?? ?ln x, x ? 0,
13.如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 的图象,则其解析式是 。

?
2

)

?

?

3

6
0 -3

? 3

5? 6
x

?x ? y ? 1 ? 0 ? 14.在平面直角坐标系中,若不等式组 ?ax ? y ? 1 ? 0 ( a 为常数) 所表示的平 ?x ? 1 ? 0 ?

面区域的面积等于 3,则 a 的值为_____________。 三、解答题: 15 题 12 分,16 至 17 题各 13 分,18 至 20 题各 14 分,共 80 分。 15.若 tan ? ?
1 ,求下列各式的值。 2 2 sin ? ? 3 cos ? (1) ; 2 sin ? ? cos ?

(2) 4 sin 2 ? ? 2 sin ? ? cos? ? 1 。 16.已知函数 f ( x) ? 2x3 ? x 2 ? 3x ? 1 。 (1)求证: f (x) 在区间 (1,2) 上存在零点;

2

(2)若 f (x) 的一个正数零点附近的函数近似值如下表格所示,请用二分法计 算 f ( x) ? 0 的一个近似解(精确到 0.1)。

f (1) ? ?1
f (1.375) ? 0.18359

f (1.5) ? 1
f (1.3125 ? ?0.13818 )

f (1.25) ? ?0.40625
f (1.34375 ? 0.01581 )

17.已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? 2 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) ( x?R) 。

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 [?
, ] 上的值域。 12 2

? ?

18.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别不少于 45 个与 55 个,所用原料为 A、B 两种规格金属板,每张面积分别为 2m 2 与 3m 2 。用 A 种规格金属板每张 可造甲种产品 3 个,乙种产品 5 个;用 B 种规格金属板每张可造甲、乙两种 产品各 6 个,问 A、B 两种规格金属板各取多少张,才能完成计划,并使总 的用料面积最省?(14 分) 19.已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3ax ?1, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ' ? x ? 是 f ? x ? 的导函 数。 (1)若 f (x) 在 x ? 1 处的导数为 4,求实数 a 的值; (2)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (3)设 a ? ?m2 ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图象与直 线 y ? 3 只有一个公共点。

20.设 x ? 3 是函数 f ( x) ?

e 3 ( x 2 ? ax ? b) , (a ? 0, x ? R) 的一个极值点。 ex

(1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x) 的单调递增区间; 25 (2) g ( x) ? (a 2 ? )e x ,若存在 x1 , x2 ? [0,4] 使得 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 1 成立, 设 求 4 实数 a 的取值范围。

参考答案
3

一、选择题。 (10 ? 5 分=50 分) 1-10 B D C D C B B D C A

10、解:由 f ?1,1? ? 1, f ?m, n ? 1? ? f ?m, n? ? 2 ? f (m, n) ? f (m,1) ? (n ? 1) ? 2
又由 f ?m ? 1,1? ? 2 f ?m,1? ? f (m,1) ? f (1,1) ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,所以

f (m, n) ? 2 n?1 ? (n ? 1) ? 2 , f ?1,5? ? 9 ; f ?5,1? ? 16 ; f ?5,6? ? 26 都对,选 A
二、填空题。 ? 5 分=20 分) (4 11、 {x | ?1 ? x ? 1} ; 12、
1 ; 2

13、 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) ;

14、? 5 ;

14、解:依题意知,不等式组所表示的平面区域一定是三角形(如下图),且其高 为 1,又因为其面积为 3,所以三角形的底边为 6, 故直线 ax ? y ? 1 ? 0 过点
(1,?6) 所以 a ? (?6) ? 1 ? 0 ? a ? ?5

三、解答题。 (共 80 分) 15、 (12 分)
1 2 sin ? ? 3 cos? 2 tan? ? 3 解:(1)? tan ? ? ,? ? ? 2 2 sin ? ? cos? 2 tan? 1
(2)? tan ? ?

2?

1 ?3 2 ? ?1 ;??(4 分) 1 2? ?1 2

1 2 2 , ? 2 sin ? ? cos ? , ? 4 sin ? ? cos ? ;??(6 分) 2 1 2 2 2 又? sin ? ? cos ? ? 1,? sin ? ? ??(8 分) 5 1 3 ? 4 sin 2 ? ? 2 sin ? ? cos ? ? 1 ? 4 sin 2 ? ? 4 sin 2 ? ? 1 ? 8 ? ? 1 ? ?(12 分) 5 5 16、 (13 分)

解:(1)证明:? f ( x) ? 2x 3 ? x 2 ? 3x ? 1
? f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 7 ? 0 ,? f (1) ? f (2) ? ?7 ? 0 ;??(3 分)
且 f ( x) ? 2 x 3 ? x 2 ? 3x ? 1 在 (1,2) 内连续 所以 f (x) 在区间 (1,2) 上存在零点;??(5 分) (2)由(1)知, f ( x) ? 2x ? x ? 3x ? 1 在 (1,2) 内存在零点,
3 2

由表知, f (1) ? ?1 , f (1.5) ? 1 , ? f (1) ? f (1.5) ? 0 ,

? f (x) 的零点在 (1,1.5) 上,??(6 分)

? f (1.25) ? ?0.40625,? f (1.25) ? f (1.5) ? 0
? f (x) 的零点在 (1.25,1.5) 上, ? f (1.375) ? 0.18359,? f (1.25) ? f (1.375) ? 0
4

? f (x) 的零点在 (1.25,1.375) 上,
? f (1.3125 ? ?0.13818,? f (1.3125 ? f (1.375) ? 0 ) ) ? f (x) 的零点在 (1.31251.375) 上, ,

? f (1.34375 ? 0.01581,? f (1.3125 ? f (1.34375 ? 0 ) ) )
? f (x) 的零点在 (1.31251.34375 上,???(10 分) , )
由于 | 1.34375? 1.3125|? 0.03125? 0.1 ,且 1.3125? 1.3,1.34375? 1.3 ,所 以 f ( x) ? 0 的一个精确到 0 .1 的近似解是 1.3 。 ??(13 分)

17、 (13 分)解:(1) ? f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? 2 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

)

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ? ? sin( 2 x ? ) ????(4 分) 6 2? ? ? ;???(6 分) ? f (x) 的最小正周期为 T ? 2 ? (2)由(1)知, f ( x ) ? sin( 2 x ? ) 6 ? ? ? ? 5? ? x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6 ? ? ? ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增, 6 12 3 ? ? 在区间 [ , ] 上单调递减; ???????????(8 分) 3 2 ? ? ? ? f ( x) max ? f ( ) ? sin( 2 ? ? ) ? 1 ; ???(10 分) 3 3 6 ?
又? f (?

?
12

)??

3 ? 1 ? 3 ;??(12 分) ? f ( ) ? ,? f ( x) min ? f (? ) ? ? 2 2 2 12 2 3 , ] 上的值域是 [? ,1] ???????(13 分) 12 2 2

所以函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

18、(14 分) 解:设 A、B 两种金属板各取 x 张、 y 张,用料面积为 m 2 ,则约束条件为

5

?3x ? 6 y ? 45 ?5 x ? 6 y ? 55 ? ,目标函数 z ? 2 x ? 3 y ;?????????????(5 分) ? * ? x ? 0, x ? N ? y ? 0, y ? N * ?
作出上不等式组所表示的可行域,如下图阴影阴影部分所示:

????????(7 分) 作直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 , 把直线 l0 向右上方平移至 l 的位置时, 即直线 y ? ? 过可行域上的点 M 时,此时 z ? 2 x ? 3 y 取最小值; 解方程组 ?

2 z x? 经 3 3

?5 x ? 6 y ? 55 ,得 M 点的坐标为(5,5) ?3x ? 6 y ? 45
2

此时 z min ? 2 ? 5 ? 3 ? 5 ? 25 ;???(13 分) 答:两种金属板各取 5 张时,用料面积最省为 25 m 。????????(14 分)

19、 (14 分) 解:(1) ? f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 1,? f ?( x) ? 3x 2 ? 3a
? f ?(1) ? 3 ? 3a ? 4 ,? a ?
1 ; ???????????(2 分) 3

(2) ? g ( x) ? f ?( x) ? ax ? 5 ? 3x 2 ? ax ? 3a ? 5

? g (a) ? (3 ? x)a ? 3x 2 ? 5 ,

? 对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,即
对于 ?a ? [?1,1], 都有 g (a) ? 0 ; 解法 1:上述条件等价于在 a ? [?1,1] 上 g (a) max ? 0 ;?????????(4 分) 明显的,当 x ? 3 时,不满足条件; 当 x ? 3 时, g (a ) 在 a ? [?1,1] 上上单调递增, 则 g (a) max ? g (1) ? 3x ? x ? 2 ? 0 ,解得: ?
2

2 ? x ?1, 3

所以 ?

2 ? x ?1; 3

当 x ? 3 时, g (a ) 在 a ? [?1,1] 上上单调递减,

6

则 g (a) max ? g (?1) ? 3x 2 ? x ? 8 ? 0 ,解得: 所以 x 不存在; 综上所得,实数 x 的取值范围是 (?

? 1 ? 97 ? 1 ? 97 , ?x? 6 6

2 ,1) ; ????????????(8 分) 3

解法 2:又由 g (a ) 是关于 a 的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的端点 得到;所以只需 ? 解得: ?

? g (1) ? 0 ? g (?1) ? 0

即?

?3x 2 ? x ? 2 ? 0, ?????(6 分) 3x 2 ? x ? 8 ? 0. ?

2 ? x ?1 3 2 ,1) ;?????????????(8 分) 3

故实数 x 的取值范围是 (?
2

(3)? a ? ?m ,? f ( x) ? x 3 ? 3m 2 x ? 1,? f ?( x) ? 3x 2 ? 3m 2 , 当 m ? 0 ,明显的 f ( x) ? x 3 ? 1 与 y ? 3 有且只有一交点; 当 m ? 0 时,令 f ?( x) ? 3x 2 ? 3m 2 ? 0 ,解得: x ? m或x ? ?m , 令 f ?( x) ? 3x 2 ? 3m 2 ? 0 ,解得: ? m ? x ? m ;

? f (x) 在 (??,?m)和(m,??) 上单调递增,在 (?m, m) 上单调递减,
若 x ? ?? 时, f (x) 无限大;且 y ? f ? x ? 与 y ? 3 只有一个公共点, 只要满足: f (?m) ? ?m3 ? 3m3 ? 1 ? 3 ,解得: m ? 3 2 所以 0 ? m ? 3 2 ;
2 2 当 m ? 0 时, 令 f ?( x) ? 3x ? 3m ? 0 ,解得: x ? ?m或x ? m ,

令 f ?( x) ? 3x ? 3m ? 0 ,解得: m ? x ? ?m ;
2 2

? f (x) 在 (??, m)和(?m,??) 上单调递增,在 (m,?m) 上单调递减,
若 x ? ?? 时, f (x) 无限大;且 y ? f ? x ? 与 y ? 3 只有一个公共点,
3 3 只要满足: f (m) ? m ? 3m ? 1 ? 3 ,解得: m ? ?3 2

所以 ? 3 2 ? m ? 0 ;????????????(13 分) 综上所述, 实数 m 的取值范围是: (?3 2 , 3 2 ) ???(14 分)
7

20、 (14 分) 解:(1)? f ( x) ?
e 3 ( x 2 ? ax ? b) e 3 (? x 2 ? 2 x ? ax ? a ? b) , ( x ? R) ,? f ?( x) ? , ex ex e 3 (?32 ? 2 ? 3 ? 3a ? a ? b) ? 0 , ? b ? ?2a ? 3 ;??(3 分) e3
, 令

? f ?(3) ?

?a ? 0

f ?( x) ?

e 3 (? x 2 ? 2 x ? ax ? 3a ? 3) ?0 ex

,



x 2 ? (2 ? a) x ? (3 ? 1)a ? 0
解得: ? 1 ? a ? x ? 3 , 所以 f (x) 的单调递增区间是: [?1 ? a,3] ;??????????(6 分) (2) 由(1)可得,函数 f ? x ? 在 [0,3] 上单调递增,在 [3,4] 上单调递减,

e 3 (13 ? 2a) ? f max ( x) ? f (3) ? a ? 6 ,且 f (0) ? ?(2a ? 3)e ? f (4) ? e4
3

? 函数 f ? x ? 在 x ??0, 4? 的值域为 ? ? ? 2a ? 3? e3 , a ? 6 ? ,??(8 分) ? ?
又 g ?( x) ? (a ?
2

25 x )e ? 0 4

? g (x) 在 [0,4] 上单调递增,故

? 25 ? 25 ? ? g ? x ? 在 x ??0, 4? 的值域为 ?a2 ? , ? a2 ? ? e4 ? ,????(9 分) 4 ? 4? ? ?
若存在 x1 , x2 ? [0,4] 使得 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 1 成立, 等价于 | f max ( x) ? g min ( x) |? 1 或 | g max ( x) ? f min ( x) |? 1 ,??(11 分) 又? a ?
2

25 ? a ? 6, 4

? 2 25 3 ?(a ? ) ? (a ? 6) ? 1 于是: ? ,解得: 0 ? a ? ; ????(13 分) 4 2 ?a ? 0 ?
所以实数 a 的取值范围是: (0, )

3 2

????????????(14 分)

8


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