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课时5 投影变换、切变变换


课时 5

投影变换、切变变换

【学习目标】 掌握投影、切变变换的几何意义及其矩阵表示. 【教学过程】 1.问题情境: 问题 1:若将一个平面图形 F 垂直投影到 x 轴上,投影前后可以看作一个平面几何变换.如 何用矩阵刻画该变换? 问题 2:如图所示,观察该平面几何变换有何特点?如何用矩阵刻画该变换?

2.学生活动



3.数学建构: (1)投影变换:将平面图形投影到某条直线(或点)的变换称为投影变换. (2)投影变换矩阵:像 ?

?1 0? ?1 0? ?,? ? 这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点) ?0 0? ?1 0?

上的矩阵称为投影变换矩阵. (3)切变变换:保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变,且点沿坐标轴 运动的变换叫做切变变换. (4)切变变换矩阵:像 ?

?1 k ? ? (k∈R,k≠0)这样的矩阵称为切变变换矩阵. ?0 1 ?

1

4.数学运用: 例 1. (1)研究矩阵 ?

?1 0? ? 所确定的变换; ?1 0?

(2)求圆 x2+(y-2)2=1 在(1)中矩阵对应的变换作用下得到的曲线方程.

例 2.研究直线 y=mx+1(m∈R)在矩阵 ?

? 1 0? ? 对应的变换作用下得到的图形. ? ? 1 0?

例 3.如图所示,已知矩形 ABCD 在变换 T 的作用下变成平行四边形 A′B′C′D′,试求变换 T 对应的矩阵 M. y y C′ 3 D C D′2 2 1 1 B′ A B1 x A′ 1 x

例 4.求曲线 y=|x|在矩阵 ?

1? ? 1 ? ? 对应的变换作用下变成的图形. 2 ?0 1 ? ? ?

2

【反馈练习】 班级_________姓名__________ 1.在平面直角坐标系中,投影到直线 y=-x 上的变换对应的一个矩阵为 . 2.椭圆 x ?
2

?1 0? y2 ? 1 经矩阵 ? ? 变换后的曲线方程是 4 ?1 0?



3.矩阵 ?

?1 3? ? 的作用是把平面上的点 P(x,y)沿 x 轴方向平移 ?0 1 ?

个单位.

4.点(1,2)经过平行于 y 轴的切变变换后变为点(1,-5),则该切变变换对应的矩阵 为 .
?

5.向量 a 在矩阵 ?

? ?1 ?2? ?1? 的作用下变为与向量 ? ? 平行的单位向量,则 a = ? ?0 1 ? ? ?1?



6.直线 x+y=5 在矩阵 ?

?1 1 ? ? 对应的变换作用下变成了什么图形?请作出此图形. ?0 0 ?

1? ? 1 ? 2 ? 2? 7.研究△ABC 在矩阵 ? ? 对应的变换作用下所得到的图形,其中 A(1,1),B(2,3), ?? 1 1 ? ? 2 2 ? ? ?
C(3,-1).

8.研究直线 x+y=2 在矩阵 ?

?1 1? ? 对应的变换作用下所得到的几何图形. ?0 1?

3

9.已知经过点 A(1,2),平行于向量 ? ? ? ? 的直线 l,考察下列矩阵将直线 l 变成什么?

? ?

?1? ?1?

(1) ?

?1 1 ? ?; ?0 0 ?

(2) ?

? 1 ?1? ?; ? ?1 1 ?

10.求直线 y=3x 经矩阵 ?

?0 1 ? ?0 1? ? 变换 后,再经过矩阵 ?0 1? 的变换,最终得到什么图形? ?1 0 ? ? ?

11.已知矩形的顶点 A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1),求矩形 ABCD 在下列 矩阵作用下变换得到的几何图形:

? 1? 1 (1) ? 2?; ? ? ? 0 1?

(2) ?

?1 0 ? ?. ?2 1?

12.研究函数 y=cosx 在矩阵 ?

?1 0 ? ? 变换作用下得到的图形,并画出示意图. ?1 1 ?

4


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