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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(34)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


课时作业(三十四) [第 34 讲

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.已知点 P(3,1)、Q(4,-6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A.(-24,7) B.(7,24) C.(-7,24) D.(

-24,-7)

)

?x-y≥-1, ? 2.[2011· 陕西长安一中五测] 设变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ?y≥2, ?
=2x+4y 的最大值为( ) A.10 B.12 C.13 D.14 3. [2011· 广东卷]

则目标函数 z

?0≤x≤ 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y

2, 给

→ → 定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· 的最大值为( OA A.4 2 B.3 2 C.4 D.3

)

?x+2y-5>0, ? 4.[2011· 浙江卷] 设实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7>0, ?x≥0,y≥0, ?

若 x,y 为整数,则 3x+

4y 的最小值是( ) A.14 B.16 C.17 D.19 能力提升 5. [2011· 湖南十二校二模] 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1, f′(x)为 f(x)的导函数, b+1 已知 y=f′(x)的图象如图 K34-1 所示.若两个正数 a、b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值 a+1 范围是( )

图 K34-1 1 1 A.?5,3? ? ? 1 B.?-∞,3?∪(5,+∞) ? ? 1 C.?3,5? ? ? D.(-∞,3)

?y≥1, ? 6.已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ?x+y≤m, ?
-1],则目标函数最大值的取值范围是(

如果目标函数 z=x-y 最小值的取值范围是[-2, )

A.[1,2] B.[3,6] C.[5,8] D.[7,10]

?x≥0, ? 7.[2011· 岳阳质检] 已知 x,y 满足约束条件?y≥0, 若 0≤ax+by≤2,则点(a, ?x+2y≤2, ?
b)所形成的区域的面积是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

?x≥0, ? 8.[2011· 江西“八校”联考] 已知点 M(a,b)在由不等式组?y≥0, ?x+y≤2 ?

确定的平面区

域内,则点 N(a+b,a-b)所在平面区域的面积是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 9.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、20 元,生产甲产品每件需 用 A 原料 2 kg、B 原料 4 kg,生产乙产品每件需用 A 原料 3 kg、B 原料 2 kg.A 原料每日供 应量限额为 60 kg,B 原料每日供应量限额为 80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产 品多超过 10 件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( ) A.500 元 B.700 元 C.400 元 D.650 元

?2x+y-6≤0, ? 10.设不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2 ?

表示的平面区域为 M,若函数 y=k(x+1)+1 的图象

经过区域 M,则实数 k 的取值范围是________.
?3≤2x+y≤9, ? 11.[2011· 课标全国卷] 若变量 x,y 满足约束条件? 则 z=x+2y 的最 ? ?6≤x-y≤9, 小值为________.

?x+y≥1, ? 12.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1 ?2x-y≤2, ?
值,则 a 的取值范围是________.

,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小

13. [2010· 陕西卷] 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a, 冶炼每万吨铁矿石的 CO2 排放量 b 及每 万吨铁矿石的价格 c 如下表: a b(万 t) C(百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万 t)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万 t),则购买铁矿石的 最少费用为________(百万元). 14.(10 分)设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长}. (1)求出 x,y 所满足的不等式; (2)画出点(x,y)所在的平面区域.

15.(13 分)[2010· 广东卷] 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午 餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐 含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐 需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且 花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

难点突破

?x+y≥1, ? 16.(1)(6 分)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ?2x-y≤2, ?
得最小值,则 a 的取值范围是( A.(-1,2) B.(-4,2) C.(-4,0] D.(-2,4) )

目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取

?2x-y-3>0, ? (2)(6 分)不等式组?2x+3y-6<0, ?3x-5y-15<0 ?
A.2 B.4 C.5 D.7

的整数解的个数是(

)

课时作业(三十四) 【基础热身】 1.D [解析] 由已知(9-2+a)(12+12+a)<0,即(a+7)· (a+24)<0,解得 a∈(-24,- 7),选 D. 2.C [解析] (1)不等式组所表示的平面区域,如图中的△ABC,根据目标函数的几何 z 1 z 意义, 为直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距,故目标函数在点 C 处取得最大值,点 C 是直线 4 2 4 3 5 3 5 x-y=-1,x+y=4 的交点,解这个方程组得 C?2,2?,故 zmax=2× +4× =13. ? ? 2 2

→ → 3.C [解析] z=OM· =(x,y)· 2,1)= 2x+y,画出不等式组表示的区域(如图), OA ( 显然当 z= 2x+y 经过 B( 2,2)时,z 取最大值,即 zmax=2+2=4.

4.B [解析] 可行域如图所示:

? ? ?x+2y-5=0, ?x=3, 3 联立? 解之得? 又∵边界线为虚线,且目标函数线的斜率为- , 4 ? ? ?2x+y-7=0, ?y=1. ∴当 z=3x+4y 过点(4,1)时,有最小值 16.

【能力提升】

5. [思路] 根据函数的导数的图象,可以得出函数的单调区间,再根据函数的单调性,求 出 a,b 所满足的不等式组,确定点(a,b)表示的平面区域,再根据求解目标的几何意义求 解其取值范围. C [解析] 根据导数与函数单调性的关系,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,故 f(2a+ b)<1=f(4),即 2a+b<4 且 a>0,b>0,点(a,b)所表示的平面区域如图.求解目标的几何意 义是区域 OAB 内部的点与点 P(-1,-1)连线的斜率,显然这个斜率值介于 PA,PB 的斜率 1 1 之间,而 PA 的斜率为 ,PB 的斜率为 5,故所求的取值范围是?3,5?. ? ? 3

[点评] 本题在知识网络的交汇处命制,这类试题需要考生对各个部分的知识有较为全 面的掌握,需要有较强的分析问题、解决问题的能力.本题要注意区域 OAB 不包括边界. 6.B [解析] x,y 满足的区域如图,变换目标函数为 y=x-z,当 z 最小时就是直线 y =x-z 在 y 轴上的截距最大时.当 z 的最小值为-1 时,直线为 y=x+1,此时点 A 的坐标 是(2,3),此时 m=2+3=5;当 z=-2 时,直线 y=x+2,此时点 A 的坐标是(3,5),此时 m =3+5=8.故 m 的取值范围是[5,8].目标函数的最大值在点 B(m-1,1)取得,即 zmax=m-1 -1=m-2,故目标函数最大值的取值范围是[3,6].正确选项为 B.

7.B

[解析] 点(x,y)所在的区域是一个三角形区域,其顶点是(0,0),(2,0),(0,1),由 即

?0≤0≤2, ? 于 ax+by 必然在这三个点上取得最大值或最小值,故 a,b 满足不等式组?0≤2a≤2, ?0≤b≤2 ?
? ?0≤a≤1, ? 在坐标平面 aOb 上,此不等式组表示一个矩形区域,其面积是 2. ? ?0≤b≤2. ? ?a+b=u, [解析] 令? ?a-b=v, ?

8.C

?a=u+v, 2 则有? u-v b= ? 2 ,

由 点 M(a , b) 在 由 不 等 式 组

?x≥0, ? ?y≥0, ?x+y≤2, ?
分.

?u+v≥0, ? 确定的平面区域内,得?u-v≥0, ?0≤u≤2, ?

所以点 N 所在平面区域为图中的阴影部

1 所以该平面区域的面积为 S= ×4×2=4. 2

9. D

?4x+2y≤80, ?y-x≤10, [解析] 设每天生产甲乙两种产品分别为 x, 件, x, 满足? y 则 y x≥0, ?y≥0, ?x,y∈N .
2x+3y≤60,
*

利润 z=30x+20y.

不等式组所表示的平面区域如图,根据目标函数的几何意义,在直线 2x+3y=60 和直 线 4x+2y=80 的交点 B 处取得最大值, 解方程组得 B(15,10), 代入目标函数得 zmax=30×15 +20×10=650. 1 1 10.?-4,2? [解析] 作出平面区域, 如图. 因为函数 y=k(x+1)+1 的图象是过点 P(- ? ? 1 1,1), 且斜率为 k 的直线 l, 由图知, 当直线 l 过点 A(1,2)时, 取最大值 , k 当直线 l 过点 B(3,0) 2 1 1 1 时,k 取最小值- ,故 k∈?-4,2?. ? ? 4

11.-6 [解析] 作出可行域如图阴影部分所示, ? ?y=-2x+3, 由? 解得 A(4,-5). ? ?y=x-9 当直线 z=x+2y 过 A 点时 z 取最小值,将 A(4,-5)代入,得 z=4+2×(-5)=-6.

12. a 1 (-4,2) [解析] 画出可行域,目标函数可化为 y=- x+ z,根据图象判断,当目标函 2 2 a 数的斜率-1<- <2 时,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,这时 a 的取值范围 2 是(-4,2). 13.15 [解析] 设分别购买铁矿石 A,铁矿石 B 为 x,y 万 t,则购买铁矿石的费用为 z =3x+6y.

?0.5x+0.7y≥1.9, ?x+0.5y≤2, 则? x≥0, ?y≥0. ?
? ?0.5x+0.7y=1.9, 画出不等式组表示的平面区域(如图),由? 得 A(1,2). ?x+0.5y=2, ?

易知当 x=1,y=2 时,zmin=3×1+6×2=15.

?x+y>1-x-y>0, ? 1 14.[解答] (1)已知条件即?x+1-x-y>y>0, 化简即 0<y<2, ?y+1-x-y>x>0, ? 1
(2)区域如下图.

? ? ? ?0<x<2. ?

1 -x+ <y<-x+1, 2

15.[解答] 设为该儿童分别预订 x,y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z=2.5x +4y,且满足以下条件

?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54, ?x≥0,y≥0, ?

?3x+2y≥16, ?x+y≥7, 即? 3x+5y≥27, ?x≥0,y≥0, ?

作直线 l:2.5x+4y=0,平移直线 l 至 l0,当 l0 经过 C 点时,可使 z 达到最小值. ? ? ?3x+5y=27, ?x=4, 由? ?? 即 C(4,3), ? ? ?x+y=7 ?y=3, 此时 z=2.5×4+4×3=22,

答:午餐和晚餐分别预定 4 个单位和 3 个单位,花费最少为 22 元. 【难点突破】

?x+y≥1, ? 16.(1)B (2)B [解析] (1)不等式组?x-y≥-1, ?2x-y≤2 ?

所表示的平面区域如图中的区域

a z a z M,目标函数 z=ax+2y 变换为 y=- x+ ,显然 z 是直线系 y=- x+ 在 y 轴上截距的 2 2 2 2 2 a z 倍, 根据这个几何意义, 直线系只能与区域 M 在点(1,0)处有公共点, 即直线系 y=- x+ 的 2 2 a 斜率- ∈(-1,2),故 a∈(-4,2). 2

目标函数所在直线系的斜率和区域边界线斜率的关系是解决目标函数在区域的某点取 得最值的一般方法,但如果具体问题具体分析,本题还有更为简捷的方法,我们知道目标函 数取最值的点只能是区域的顶点或边界线上, 本题中区域的三个顶点坐标分别是(1,0), (0,1), (3,4),目标函数在这三个顶点的取值分别是 a,2,3a+8,根据题目要求这三个值应该 a 最小, 即 a<2,a<3a+8,即-4<a<2. (2)l1:2x-y-3=0,l2:2x+3y-6=0,l3:3x-5y-15=0, 15 3 75 12 且 l1∩l2=A,l1∩l3=B,l2∩l3=C,由 A? 8 ,4?,B(0,-3),C?19,-19?, ? ? ? ? 作出不等式组表示的平面区域,如图所示.

75 可以看出区域内点的横坐标在区间?0,19?内,取 x=1,2,3, ? ?

? 4 ?y< , 当 x=1 时,代入原不等式组,有? 3 ?y>-12, ? 5
y<-1, 12 得- <y<-1.∴y=-2,区域内有整点(1,-2). 5 同理可求得另外有三个整点为(2,0),(2,-1),(3,-1).故不等式组的整数解是(1, -2),(2,0),(2,-1),(3,-1).


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