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高考数学核心考点集锦课件:第10讲 平面向量


第3讲 平面向量

◆一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用. ◆重点考查向量的垂直、平移、夹角和模的运算等. ◆平面向量和三角函数、函数等知识交汇的综合性问题也会重点考查.

1.(2011· 广东)若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c· (a+2b)=( A.4 解析 D. 法二 B.3 法一 C.2 D

.0

).

由题意得 a· c=b· c=0,所以 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0,故选

∵a∥b,∴(a+2b)∥a.又∵a⊥c,∴(a+2b)⊥c,故 c· (a+2b)=0,

故选 D. 答案 D

?1 1? 2.(2010· 安徽)设向量 a=(1,0),b=?2,2?,则下列结论中正确的是( ? ?

).

A.|a|=|b| 解析

2 B.a· b= 2

C.a-b 与 b 垂直

D.a∥b

由题知|a|= 12+02=1,|b|=

?1?2 ?1?2 2 ? ? +? ? = , 2 ?2? ?2?

1 1 1 1 1 a· b=1× +0× = ,(a-b)· b=a· b-|b|2= - =0,故 a-b 与 b 垂直. 2 2 2 2 2 答案 C

3.(2011· 辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则 |a+b-c|的最大值为( A. 2-1 解析 B.1 C. 2 ). D.2

设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则 x2+y2=1,a-c=(1-x,-y),

b-c=(-x,1-y),则(a-c)· (b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=x2+y2-x -y=1-x-y≤0,即 x+y≥1.又 a+b-c=(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2= ?x-1?2+?y-1?2,① 法一 如图.c=(x,y)对应点在 AB 上,而①式的几何意义为 P 点到 AB 上

点的距离,其最大值为 1.

法二

|a+b-c|= ?x-1?2+?y-1?2

= x2+y2-2x-2y+2 = 3+2?-x-y?= 3-2?x+y?, 由 x+y≥1,∴|a+b-c|≤ 3-2=1,最大值为 1. 答案 B

4.(2011· 课标全国)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命 题:
? 2π? ?0, ?; p1:|a+b|>1?θ∈ 3? ? ? π? ?0, ?; p3:|a-b|>1?θ∈ 3? ? ?2π ? ? ,π?; p2:|a+b|>1?θ∈ 3 ? ? ?π ? ? ,π?. p4:|a-b|>1?θ∈ 3 ? ?

其中的真命题是( A.p1,p4

). C.p2,p3 D.p2,p4

B.p1,p3

解析

∵|a|=|b|=1,且 θ∈[0,π],若|a+b|>1,则(a+b)2>1,

1 1 a· b ∴a2+2a· 2>1,即 a· b+b b>- ,∴cos θ= =a· b>- , 2 2 |a|· |b|
? 2π? 1 ∴θ∈?0, 3 ?;若|a-b|>1,同理求得 a· b< , 2 ? ? ?π ? 1 ∴cos θ=a· ,∴θ∈?3,π?,故 p1,p4 正确,应选 A. b< 2 ? ?

答案

A

5.(2011· 江西改编)已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角 为( π A. 6 解析 ). π B. 3 π C. 2 2π D. 3

由(a+2b)· (a-b)=|a|2+a· b-2|b|2=-2,得 a· b=2,

1 π 即|a|· |b|cos〈a,b〉=2,cos〈a,b〉= .故〈a,b〉= . 2 3 答案 B

6.(2011· 天津)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2, → → BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB|的最小值为________. 解析 建立平面直角坐标系如图所示, P(0, C(0, B(1, A(2,0). 设 y), b), b), 则

→ → → →2 PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|PA+3PB| =25+(3b- → → 24b 3 4y) =16y -24by+9b +25(0≤y≤b).当 y= = b 时,|PA+3PB|min= 2×16 4
2 2 2

5. 答案 5

平面向量的有关概念 (1)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (2)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (3)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影. 平面向量的线性运算 (1)向量的加法、减法法则及数乘. (2)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (3)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2, 其中 e1,e2 是一组基底.

两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a∥b?a=λb(λ≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 平面向量数量积的应用 (1)若 a=(x,y),则|a|= = x2+y2. a· a

(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)若 a=(x1,y1),b=(x2 ,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 cos θ= x1x2+y1y2 2. x2+y2 x2+y2 1 1 2 a· b = |a||b|

两个非零向量 a 与 b 的夹角为锐角,则 a· b>0;反之不成立,因为 a 与 b 的 夹角为 0 时,a· b>0;两个非零向量 a 与 b 的夹角为钝角,则 a· b<0;反之也 不成立,因为 a 与 b 的夹角为 π 时,a· b<0.

平面向量的运算
高考对本部分的考查,主要是小题,即利用平面向量的运算去 解决向量的模、向量的坐标或平面几何中的向量的线性表示等,而大题多 为向量与解析几何、三角函数、平面几何中相结合的应用问题.题目多为 中低档题,一般不会出现高难度的问题.

→ → → → ? AB AC ? → → → AC ? + ?· =0,且 AB · =1, 【例题 1】?已知非零向量AB与AC满足 BC → → 2 ?→ →? |AB| |AC| ?|AB| |AB|? 则△ABC 为( ). B.直角三角形 D.等边三角形

A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 解析

→ → ? AB AC ? → → → ? + ?· =0, 因为非零向量AB与AC满足 BC 所以∠BAC 的平分线 → →? ? ?|AB| |AC|?

垂直于 BC,所以 AB=AC. → → AB AC 1 π 又 cos∠BAC= · = ,所以∠BAC= ,所以△ABC 为等边三角形. 3 → → 2 |AB| |AC| 答案 D

→ → → (1)在△ABC 中:①若 D 为边 AB 的中点,则有CA+CB=2CD; → → → → → → → ②若MA+MB+MC =0,则点 M 为△ABC 的重心;③HA· =HB· = CB AC → → ? AB AC ? → → ? + ?(λ≠0)所在直线 HC· =0,则点 H 为△ABC 的垂心;④向量 λ BA ?→ →? ?|AB| |AC|? 过△ABC 的内心(∠BAC 的平分线所在的直线). (2)运用向量的加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或四边形, 使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”.

【变式 1】?(1)已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量.若向量 c 满足 (a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是________. → → → (2)(2010· 湖北)已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得 → → → AB+AC=mAM成立,则 m=( A.2 解析 B.3 C.4 D.5 ).

(1)法一 由题意,得|a|=|b|=1,a· b=0.

又(a-c)· (b-c)=0,所以|c|2=c· (a+b)=|c|· |a+b|· θ,其中 θ 是 c 与 a+b cos 的夹角,所以|c|=|a+b|cos θ= 2cos θ.又 θ∈[0,π],所以|c|的最大值是 2, 故填 2.

法二

设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),

则 a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y). 又(a-c)· (b-c)=0,所以(1-x)· (-x)-y(1-y)=0,从而得到圆:
? 1? ? 1? 1 ?x- ?2+?y- ?2= ,所以向量 c 的起点即坐标原点在这个圆上,终点也在 2? ? 2? 2 ?

这个圆上. 又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长, 所以|c|的最大值是 2. 故填 2.

法三

因为(a-c)· (b-c)=0,所以 a-c 与 b-c 互相垂直.又 a,b 是两个

互相垂直的单位向量,所以 a,b,a-c,b-c 构成的四边形是圆内接四边 形,c 为其对角线. 所以当 c 是直径时,|c|达到最大值,这时圆内接四边形是以 a,b 为邻边的 正方形,所以|c|的最大值是 2.故填 2. → → → (2)∵MA+MB+MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心. → → → ∴AB+AC=3AM. ∴m=3. 答案 (1) 2 (2)B

平面向量的共线与垂直问题
高考对该内容多以选择题、填空题的形式考查向量平行、垂直 问题的坐标运算,有时在解答题中作为条件出现.

【例题 2】?已知两个不共线的向量 a,b 的夹角为 θ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实数. (1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ; π (2)若 θ= ,求|xa-b|的最小值及对应的 x 值,并指出向量 a 与 xa-b 的位 6 置关系. 解 (1)由题意得,(a+2b)· (a-4b)=0. 即 a2-2a· b-8b2=0,得 32-2×3×1×cos θ-8×12=0,
? π? 1 得 cos θ= ,又 θ∈(0,π),故 θ∈?0,2?, 6 ? ?

因此,sin θ= 1-cos θ= tan θ= sin θ = 35. cos θ

2

?1?2 35 1-?6? = , 6 ? ?

(2)|xa-b|= ?xa-b?2= x2a2-2xa· 2= b+b π 9x -2x×3×1×cos +1= 6
2

? 3? 1 ?x- ?2+ , 9 6? 4 ?

故当 x=

3 1 时,|xa-b|取得最小值 , 6 2
2

3 π 此时,a· (xa-b)=xa -a· b= ×9-3×1×cos =0,故向量 a 与 xa-b 6 6 垂直. 平面向量的共线与垂直问题一般都要通过坐标运算构建方程 或方程组来求解.

【变式 2】?已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥ (a+b),则 c=________. 解析 设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1).

∵(c+a)∥b,∴-3(1+m)=2(2+n),① 又 c⊥(a+b),∴3m-n=0.② 7 7 由①②解得 m=- ,n=- . 9 3 答案
? 7 7? ?- ,- ? 3? ? 9

平面向量与三角函数的综合应用
三角函数与平面向量是高中数学中两个重要内容.三角函数 的变换与求值.化简及解三角形等问题常以向量为载体,是当前高考诸多 考查内容中的必考内容.题型多为解答题,难度中等.

【例题 3】?已知向量 a=( 3sin 3x,-y),b=(m,cos 3x-m)(m∈R),且 a +b=0.设 y=f(x).
? π 2π? (1)求 f(x)的表达式,并求函数 f(x)在?18, 9 ?上图象最低点 M 的坐标; ? ? ? π? (2)若对任意 x∈?0,9?,f(x)>t-9x+1 恒成立,求实数 t 的取值范围. ? ?



? 3sin 3x+m=0, ? (1)因为 a+b=0,即? ? ?-y+cos 3x-m=0,

消去 m,得 y= 3sin 3x+cos 3x,
? π? 即 f(x)= 3sin 3x+cos 3x=2sin?3x+6?, ? ? ? π 2π? π ?π 5π? 当 x∈?18, 9 ?时,3x+ ∈?3, 6 ?, 6 ? ? ? ? ? ? π? ? 1 ?3x+ ?∈? ,1?, sin 6? ?2 ? ?

2π 即 f(x)的最小值为 1,此时 x= . 9

?2π ? 所以函数 f(x)的图象上最低点 M 的坐标是? 9 ,1?. ? ? ? π? (2)由题意可知 f(x)>t-9x+1,即 2sin?3x+6?+9x>t+1, ? ? ? ? π? π? 当 x∈?0,9?时,函数 f(x)=2sin?3x+6?单调递增,φ(x)=9x 单调递增, ? ? ? ? ? ? π? π? 所以 y=2sin?3x+6?+9x 在?0,9?上单调递增, ? ? ? ? ? π? 所以 y=2sin?3x+6?+9x 的最小值为 1, ? ? ? ? π? π? 为使 2sin?3x+6?+9x>t+1 在任意 x∈?0,9?上恒成立, 只要 t+1<1, t<0. 即 ? ? ? ?

故实数 t 的取值范围为(-∞,0).

平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的 数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题,然后利用三角函数基本公式 求解,常用到向量的数量积、向量的代数运算,以及数形结合思想.

【变式 3】?已知 θ 为向量 a 与 b 的夹角,|a|=2,|b|=1,关于 x 的一元二次 方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根. (1)求 θ 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求函数 f(θ)=2sin θcos θ-2 3cos2θ+ 3的最值. 解 (1)由已知条件可得|a|2=4,a· b=|a|· |b|cos θ=2cos θ,θ∈[0,π], ∵关于 x 的一元二次方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,
?π ? 1 ∴Δ=|a| -4a· b=4(1-2cos θ)≥0,得 cos θ≤ ,解得 θ∈?3,π?. 2 ? ?
2

(2)f(θ)=2sin θcos θ-2 3cos2θ+ 3=sin 2θ- 3(2cos2θ-1)
? π? =sin 2θ- 3cos 2θ=2sin?2θ-3?, ? ? ?π ? π ?π 5π? ∵θ∈?3,π?,∴2θ- ∈?3, 3 ?, 3 ? ? ? ? ? π? 得 sin?2θ-3?∈[-1,1], ? ?

∴当 θ=

5π 11π 时,f(x)max=2;当 θ= 时,f(x)min=-2. 12 12

平面向量中的函数与方程思想 在综合题的解题过程中,解决一个问题常常需要不止一种数学思想,而是 两种数学思想方法的综合应用,例如函数与方程间的相互转换.

? ? ? 3x 3x? x x? π? 【例题】?已知向量 a=?cos 2 ,sin 2 ?,b=?cos 2,-sin 2?,且 x∈?0,2?. ? ? ? ? ? ?

(1)求 a· 及|a+b|; b 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是- ,求 λ 的值. 2 解 (1)a· b=cos 3x x 3x x · cos -sin · sin =cos 2x,|a+b|= 2 2 2 2

? 3x x ? ? 3x x? ?cos +cos ?2+?sin -sin ?2 2 2? ? 2 2? ?

= 2+2cos 2x =2 cos2x.
? π? ?0, ?,∴cos x≥0.∴|a+b|=2cos x. ∵x∈ 2? ?

(2)f(x)=cos 2x-4λcos x, 即 f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2.
? π? ∵x∈?0,2?,∴0≤cos x≤1. ? ?

①当 λ<0 时,当且仅当 cos x=0 时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾. ②当 0≤λ≤1 时,当且仅当 cos x=λ 时,f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知 3 1 -1-2λ =- ,解得 λ= . 2 2
2

③当 λ>1 时,当且仅当 cos x=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ,由已知得 1-4λ 3 5 =- ,解得 λ= ,这与 λ>1 相矛盾. 2 8 1 综上所述,λ= 即为所求. 2 题后反思:本题通过向量作载体,考查三角函数的化简与性质,体现了函 数的思想以及分类讨论思想.

【试一试】?已知 a=(1,1),向量 a 与 b 的夹角为 (1)求向量 b;

3π ,且 a· b=-1. 4

? C? π (2)若向量 b 与向量 p=(1,0)的夹角为 ,向量 q=?cos A,2cos2 2 ?,其中 A, 2 ? ?

C 为△ABC 的内角,且 A+C= 解 (1)设 b=(x,y), 由 a· b=-1,得 x+y=-1.① ∵a 与 b 的夹角为 ∴a· b=|a|· cos |b|· 3π , 4

2π ,求|b+q|的最小值. 3

3π =-1, 4

∴|b|=1,即 x2+y2=1.②

?x=-1, ?x=0, 由①②解得? 或? y=0 ? ?y=-1.

∴b=(-1,0)或 b=(0,-1). (2)由 b⊥p,得 b=(0,-1). 由 A+C= 2π 2π ,得 0<A< . 3 3

∵b=(0,-1),
? ? C ?cos A,2cos2 -1?=(cos A,cos C), ∴b+q= 2 ? ?

∴|b+q|2=cos2A+cos2C 1+cos 2A 1+cos 2C = + 2 2
?4π ?? 1? =1+ ?cos 2A+cos? 3 -2A?? 2? ? ??

π? 1 ? =1+ cos?2A+3?. 2 ? ? 2π π π 5π ∵0<A< ,∴ <2A+ < , 3 3 3 3
? π? ∴当 cos?2A+3?=-1 时,|b+q|取最小值, ? ?

1 2 ∴|b+q|2 = ,∴|b+q|min= . min 2 2

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