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全国高中数学联赛模拟试题(二)


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全国高中数学联赛模拟试题(二)
(命题人:江厚利 审题人:李潜)

第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1、已知集合 A
A? B ? ?
? ? y ?3 ? ??x, y ? ?

a ? 1? x? 2 ? ?

,B

?

?? x , y ? ?a

2

? 1 x ? ? a ? 1 ? y ? 15

?

? .若

,则 a 的所有取值是 (B)-1,
1 2 5 2

(A)-1,1 (C)±1,2

(D)±1,-4,

D

2、如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M、N 分别 B 在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, A N ①AA1⊥MN; M ②A1C1∥MN; D1 ③MN∥平面 A1B1C1D1; ④MN 与 A1C1 异面. A1 B1 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为 图1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0 ,1 ? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则
lim an Sn
3 4

C

C1

n? ?

的值为 (B)
5 4

(A)

(C)

7 4

(D)

9 4

4、首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有 (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个 5、对一切实数 x,所有的二次函数 f ? x ? ? 实数.则 (A)
1 3 b ? a a ?b ? c

ax

2

? bx ? c (a<b)的值均为非负

的最大值是
1 2

(B)
x
2 2

(C)3

(D)2

6、双曲线

?

y b

2 2

? 1 的一个焦点为

a

F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意

一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)相切
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(C)相离

(D)以上情况均有可能

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1、已知复数 z 1
? 2 ? i ,2z2 ?
z1 ? i

?2 i ? 1? ?

.若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、
z1
2

∠C 依次成等差数列,且 u

? cos A ? 2 icos

C 2

,则

u ? z2

的取值范围

是 . 2、点 P(a,b)在第一象限内, 过点 P 作一直线 l,分别交 x、y 轴的正半轴于 A、 B 两点.那么,PA2+PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 值范围是 . 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 5、 ? 在
x ? 2

?

2 n ?1

的展开式中, 的幂指数是整数的各项系数之和是 x



6、集合 A、B、C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,?,n}.则满足 条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 .

三、 (20 分)
设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证:所有的点 Bp 在同一条直线上.

四、 (20 分)
对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这 一数列中的一项的充要条件是存在整数 m≥-1,使 a1=md.

五、 (20 分)
求最大的正数?,使得对任意实数 a、b,均有
?a b
2 2

?a

? b?

2

≤ ?a 2

? ab ? b

2

?

3



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第二试
一、 (50 分)
如图 2,⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D,切边 AC 于点 C,M 是边 BC 上 一点,AM 交 CD 于点 N.求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC.
A

二、 (50 分)
求出能表示为 n 整数 n.
?

?a

? b ? c? abc

2

(a、b、c∈Z+)的所有正
B

D

N M O

C

三、 (50 分)
在一个 ?2 n
?1 ? 2

图2

? ?

n

?1

? (n≥2)的方格表的每个方格内填入 1 或-1,如

果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积,则称这 种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数.

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1、 ?
? 2 , 5 ? ? 2 ? ?

1 D

2 B

3 D

4 D

5 A

6 B



2、 ?

ab a



? 2

3、 ?

??

3? ? ?; ? 2 2 ? ,

4、

1 18



5、

3

2 n ?1

?1



6、7n.

2

三、证略. 四、证略. 五、 ? max
? 27 4



第二试
一、证略; 二、1,2,3,4,5,6,8,9. 三、1 种(每空填 1) .

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