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中等数学2013.01


2  

中 等 数 学 

有 关 正 方 形 共点 问题 的解 题 思 路 
武 炳 杰 
( 复旦大学数学科学学院 o 9级 ,0 4 3  20 3 ) 中圈分类号 : 2 .  O13 1 文献标识码 :A   文章编号 :10 6 1 (0 3 0 —00 O  05- 4 6 2 1 ) 1 0 2一 3<

br />
( 本讲 适合初 中)   正 方形 是一个 很 常见 的 图形 . 文 旨在  本

△ E B △ B C  K  I.

所 以 ,J:I B . A C= K 

通过一些几何变换和基本 图形 , 针对三角形 、   四边形 各边 向外作 正方形 的 问题及 多个正 方  形共顶点的图形做一些分析 , 尤其针对如何 
处理 中点 、 直及 共 点的关 系 , 处理 相关  垂 提升
问题 的能 力.  

而在 直 角 梯 形 D K 中 , 是 D 的 中  JE   E

点, M 且 N上 A , MN是 中位线. B故  
从 而 , 是  的 中点 ,   也是 A B的 中点 .  
2 用 中位 线性质 证 明线段垂 直且 相等 

1 由正 方形产 生旋 转 9 。   O 的全等 三角形 
例 1 如 图 l 四 边 形 A F 四 边 形    , D C、

当涉 及到 正 方 形 中心 时 , 转 9 。 全  旋 0的 等三 角形 则需 要 利 用联 结 各 边 中点来 产 生 ,  

运用 中位线的性质转移直角及等量以达到证 
明的结论 .   首 先给 出下 面一个 基本 图形.  
例 2 如 图 2, △ A C两 边 A A 在 B B、 C上 

CE B G均为正方形 , 是 D   E的 中点 , N_  M i -
A . 明: B证 Ⅳ是 A B的中点.  
F  

分别向外作正方形 A D 、 B E 正方形 A F . C G 设  日、 M 分 别 是 B C 、 C 的 中 点. 明 : K、 E、 G B 证  
MH上 MK. MH=MK  且 .
】   A Nl    B 
图1  

K 

(04 全国初 中数学联赛 ) 20 ,  



【 分析】 由正方形 的两个对 角点 向过另  顶点的直线作垂线 可以得 到两个旋转 了  9。 0 的全等三角形 , 利用这个基本图形便可迎 


一 F  
B  M  C 

图2  

刃而解. 进一步 , 可知点 M到 A B的距离即是  A B长度的一半 , 则  是定点.   证明 如图 1分别 过点 D、 、   , c E作 A   B 的垂线 , 垂足分别为 l, ,、 、 
易知 , DA △ AC, △ J  I  
收稿 日期 :0 2— 9—1  21 0 2

证明

(9 1太原市初 中数学竞赛 ) 19 ,   如 图 2 易 知 △ A C逆 时 针旋 转  , E
所 以 , C- B 且  E l G, -
EC =BG.  

9 。 得 到 了△ A G O便 B.  

又 、 、    分别是 船 、G B C 、C的中点, 则 

3  

21 0 3年第 1 期 

M : E。 = B? H C K-G M  ̄ 
因此 , MH上 MK, 且 
  MH
f{

过 此基本图形可 继续 考虑四 

边 一 形  
甫 形 


方 证 明 : 组 对边 上正 7彤  麓.r 形 两 . ̄t .l .  .I  - a J   j 刚比~ …  
H  

喜 器  譬  

等 且 

1 蔼 条 线 与 正方 形 的 边 关 系不  孜

十引来到嘉嚣 刚 ” 作 理得两萎且寺     为 对直相   垂
n^ 矗 P K0 nr ,{      ^ r囊     + 曼 、、 r 1 群作MM』   Mq、  ’
。n 

方形 中
  等  所 以 , 丝


盖 盖 直相    且  
j   何 

EDG顺时 针旋转  

构亲三N, 满条的形   造盖f. 出足件图. 二3 电 作 a Ⅱ 图 取

八 A . DF 


从而 ,F与 E A G垂直且相等?  

3 利 用倍长 中线证 明线 段垂直 且相等 

中位线转移线段 的作用 , 由   从而买  俐碹眦悄  
9。 0 


#于 翟 I明:n一  ’=  占 的中点为 t 1 i   A   JL .   让  

廿 与 

形 



形A   伽

A F   C
,  

DH  

罔3  

形 的 

要 萼 竺    淼
使得 D H? H= I  
联结 D   、 ? G、    

1 由于 D G所在的△ A G由正方  D

一 姜  悄  

MR MS 和 MQ,  ̄ 

移 另 个 方 产 全 _ ‘ 到 一 正 形内 生  二   寺  肜

直且相等 则△ M   Q S删 针 旋   顺时针疑转  。 肥  古 臼 




 

等   角第  器嚣三形三
边向外作的正方形 中心 ,j 口 以得到力   出 

F  

直且相等的 
 ̄1   1    ) 4 1
恫  


为分向作方,、  一 边别外正形     甲竹 军雾 L力
喃…

八雠

的三 边 A B c B、 c、A

C  

 ̄ 到 EG _ AF. _ 1 方 G i Y:G AF,1 . ̄ lE   正 形 的 中心其实是对  f 析】 意 注
伯 姥 

B  

中连 这产生了很多对笙寺二 彤 ’   心线 甏 反院 
, ,

奄 器 嘉 箸蒡 霎    主 


两对边 所 △  面 对   相等且垂直一 以, 转9。 0 后可得△  G ?  

墨  

A   D G  簇
也州引  

4  

中 等 数 学 

故△ D I G 为等腰直角三角形 , 斜边上的 
中线 H G垂直且 等 于斜 边 的一半 D . H 
4 利用基 本 图形构 造三 角形 的垂 心 、 重心证  明三线 共点  例 6 在 / A C中 , kB 以 C、 C为边 分别  B

D 

c  

向外 作 正 方 形 A E 正 方 形 B G A 与  C F、 C H, H
B F交 于点  证 明 : K上 A . C B 

图7  

从 而 , H、 D、 G三点共 线.   因此 , G、 F、 E三线共 点. D C B  

证 明  如 图 6 联 结  , △ G E 作  , 以 C
口 GCED.  


2如图 8在 R △ A C中, . , t B 已知 / A B C  9 。B 0 ,C:口A ,C:b 以 其各 边 为边 向外 作  .
正方 形 , 到一 个 凸六 边 形 D F H 得 E G L则这 个  六边 形 的面积 S=  

D 

l    冬I 6

易知 , G D 相 当 于 △ C A逆 时 针 旋  △ C B 转 9 。故 c 0. D上  , H 且 B与 B C及 另 一对 

H 

i  

网8  

与c D都互相相等且垂直 于是, B D △ C  相 当于 由△ H A逆时 针旋转 9 。 到. B 0得  
因此 ,H上 B   A D.

提 示 : A C △ A M  △ D N  △ B   E B .

答案 :a + a +2  2 z 2 b 6.  
3 六个 正方 形 A、 C D、 ,如 图 9放  .  、 、 E、 置. 若三个 正方 形 A、 C的面 积 之 和 为 5 ,  、 。  

同理 .F上 A . B D  故 K为△ A D 的垂 心 , D_ A . B K l B  - 所 以 , C K三 点共线 . D、 、   从 而 , K_ A . C l B  _

三个 正方形 D, F的面积 之 和为 S , E、 :求  .  

练 习 题 
1 如 图 7, 知 正 方 形 A C 正 方 形  . 已 B D、 AF E G是共 点 同向 的. 明 : G、F、E 三线  证 D C B
共点.  

(9 8加 拿大数 学奥林 匹克 训练 题 ) 18 ,  
提示 : 结 D . 联 B 由基本 图形知 
D G上 B . E 
图9  

于 是 , C 、 四点共 圆. D、 、    
所 以 , D C= D C= 5 .   H   B 4   o

提示: 仿例 6 通过旋转 9 。 . 0 产生平行 四  边形, 利用边长平方和等于对角线平方和.  
答案 :. 3  

同理 , E F= 5 .   H 4。  

21 第 1 0 3年 期 

5  



组 对 边 相 等 的 四边 形 的性质 及 应 用 
沈 文 选 
( 湖南 师范大学数学 奥林匹克研究所 ,10 1  408 )
中图分类号 : 2 .  013 1 文献标识码 :   A 文章编号 :10 0 5—6 1 ( 0 3 0 —00 0 5 4 6 2 1 ) 1 0 5— 0 

( 本讲适 合 高 中)  


组 对边 相等 的 凸 、 、 四边 形有 如 下  凹 折



系列有 趣 的 结论 . 本文 先 将 其 作 为 性 质 介 

绍, 再举出例题.  
1 知识 介绍 

性 质 l 在 凸 或 折 四边 形 中 , 组 对 边  一

相等且平行 的充分必要条件是该四边形的四 
个 顶 点为 平行 四边形 的 四个顶 点 .   性 质 2 在 凸 或 折 四边 形 中 , 组 对 边  一

() a 

(   b)
网1  

() c 

由中位线定理知 

相等且不平行 、 另一组对边平行 的充分必要  条件是该四边形的四个顶点为等腰梯形的四  
个 顶 点.   性质 3 在 四边 形 ( 、 、 ) , 组  凸 凹 折 中 一 对 边相 等且 不平 行 的充分 必要 条件是 另 一组  对 边 中 点 的 联 线 与 相 等 两 边 所 在 直 线 成  等角 .   性 质 3的 证 明 如 图 l 在 四边 形 ( 、   , 凸   凹 、 ) B D 中 ,B 与 D 折 AC A C相 等 且 不 平 行 ,  
收稿 日期 :0 2—1 9 修回 日期 :0 2—1 2 1 0—1 21 1—1  2

M   B= C= P P= ÷D N  
二  二 

甘 直线 M N与直线 B 、D成等角. AC  
性质 4 在 四边形 ( 、 、 ) ,   凸 凹 折 中 一组  对边相 等 且不平 行 的充分必 要条 件是 以相等  的边各 自为弦 、 一 组 对边 所 在 直 线 的交 点  另 ( 或对 角 线 的 交 点 ) 一公 共 点 的相 交 两 圆  为
为等 圆.  

性质 4的证 明  因为两 弦所对 的 圆周角 

相等 , 以, 所 由正弦定理即证.  

4 如 图 l 在 A  B 中 , 知  A= . 0, AC 已  

9 。 A的平分线为 A 以 A A 0,   D, B、C为边 向   外作正方形 , 中心分别为 、 证 明:D、F     A B、 C E三线共点.   提示: 仿例 6 将两个 三角形旋转 9 。可  . O, 证这三条线段恰是拼成的△ E G的三条高 , F   所 以, 共点于垂心.   网l 0  

21 第 1 0 3年 期 

5  



组 对 边 相 等 的 四边 形 的性质 及 应 用 
沈 文 选 
( 湖南 师范大学数学 奥林匹克研究所 ,10 1  408 )
中图分类号 : 2 .  013 1 文献标识码 :   A 文章编号 :10 0 5—6 1 ( 0 3 0 —00 0 5 4 6 2 1 ) 1 0 5— 0 

( 本讲适 合 高 中)  


组 对边 相等 的 凸 、 、 四边 形有 如 下  凹 折



系列有 趣 的 结论 . 本文 先 将 其 作 为 性 质 介 

绍, 再举出例题.  
1 知识 介绍 

性 质 l 在 凸 或 折 四边 形 中 , 组 对 边  一

相等且平行 的充分必要条件是该四边形的四 
个 顶 点为 平行 四边形 的 四个顶 点 .   性 质 2 在 凸 或 折 四边 形 中 , 组 对 边  一

() a 

(   b)
网1  

() c 

由中位线定理知 

相等且不平行 、 另一组对边平行 的充分必要  条件是该四边形的四个顶点为等腰梯形的四  
个 顶 点.   性质 3 在 四边 形 ( 、 、 ) , 组  凸 凹 折 中 一 对 边相 等且 不平 行 的充分 必要 条件是 另 一组  对 边 中 点 的 联 线 与 相 等 两 边 所 在 直 线 成  等角 .   性 质 3的 证 明 如 图 l 在 四边 形 ( 、   , 凸   凹 、 ) B D 中 ,B 与 D 折 AC A C相 等 且 不 平 行 ,  
收稿 日期 :0 2—1 9 修回 日期 :0 2—1 2 1 0—1 21 1—1  2

M   B= C= P P= ÷D N  
二  二 

甘 直线 M N与直线 B 、D成等角. AC  
性质 4 在 四边形 ( 、 、 ) ,   凸 凹 折 中 一组  对边相 等 且不平 行 的充分必 要条 件是 以相等  的边各 自为弦 、 一 组 对边 所 在 直 线 的交 点  另 ( 或对 角 线 的 交 点 ) 一公 共 点 的相 交 两 圆  为
为等 圆.  

性质 4的证 明  因为两 弦所对 的 圆周角 

相等 , 以, 所 由正弦定理即证.  

4 如 图 l 在 A  B 中 , 知  A= . 0, AC 已  

9 。 A的平分线为 A 以 A A 0,   D, B、C为边 向   外作正方形 , 中心分别为 、 证 明:D、F     A B、 C E三线共点.   提示: 仿例 6 将两个 三角形旋转 9 。可  . O, 证这三条线段恰是拼成的△ E G的三条高 , F   所 以, 共点于垂心.   网l 0  

6  

中 等 数 学 

性 质 5 在 四边 形 ( 、 、 ) ,   凸 凹 折 中 一组 

P、 Q两点 , 即直线 P Q为这两 圆 的等幂轴.  

对边相等且不平行的充分必要条件是以相等 
的两边 为割线段 ( 点 在不 同的 圆上 ) 以这  端 , 两条 边 所 在 直 线 的 交 点 为一 公 共 点 的相 交  两 圆 的公 共 弦平 分 这 相 等 两 边 所 在 直 线 的 
夹角.   性 质 5的证 明 如 图 2 两 圆O 0 、     , 。 o0

交 于 P、 Q两点 , A、 O0 上 , 点 C在 。 点  、 D在  o0 上 ,B与 DC交 于 点 P 联 结 Q Q   : A . A、 B、
Q Q. C、 D 
3  

注意到, 同弧上的圆周角相等.  
则  X G= X G, A   D  
XBG= 
() b 
图2  

xCG.  

() c 

故△ X B∽ △ X . A DC  

此时 ,M、N分别为这两个三角形的中  X X
线, 从而 ,  
xM  XN  ,  

由  Q 8= Q C 或  Q D)  A   D ( C ,

Q A= Q D( B   C 或  Q C , D )  知 △ Q 8∽ △ Q D( A C 或△ Q C . D )  
则A B=C 甘 △ Q 8 △ Q D D A  C  § Q A=Q C§  Q  ̄= Q A A   C  铮  Q C= Q C= Q A= Q B P   A   C   P 

A — M 丽   ,  
其中,M、N分别为。 、 A D oⅣ的半径.  
显然 , ≠l 否则与 题设 不符. k ,  

于是 , 点  位于 P Q上 ,   即 点  对。 、 OⅣ的幂相等 
昔 A 一 M2 N M2 X :D l—X  

铮  与直线 A C B、D成等角.  
性 质 6 折 四边 形 相交 两 边 相等 且不 垂 

直( 或凸 四边形对角线相等且不垂 直) 的充 .  
分 必要条 件是 以另 一组 对 边 或两 对 角 线 ( 或 


铮 ( k ) M =( ~k ) N 1~   A 1  D  
车  AM =DN  车  AB =CD.  

组对边 ) 自为弦、 各 相交两边 ( 或对角线)  

的交点为一个公共点的两圆的另一个交点在  以相交两边 ( 或对角线 ) 自为直径 的两 圆 各  
的公 共 弦上.  

2 应用 

例 1 两 圆 ,.  交 于点 A、 过 点    、 B,

性质 6的证 明 如 图 3 在折 四边 形    , A C 中,B与 C BD A D交于点 G △ A G的外接  , D 圆与△ B G的外接圆的另一个交点为  设  C


的一条直线分别与圆 J 、 交于点 c D, r  , 、 过 
点  的另一条直线分别与 圆 厂 、 交于点     E , 直线 C 、, F分别与圆 , 、 : ., 交于点 P Q 、.   设  、 Ⅳ分 别是 弧P Q B、 B的 中点. C   若 D=

Ⅳ分别为A 、D的中点 ,   与oJ交于  BC o 7 v

21 0 3年第 1 期 

7  

E, F 证明 : 、 、 Ⅳ四点共圆. C F  、  
(0 0 中国数学 奥林 匹 克 ) 2 1,   证明 如图 4联结 E . , D 

另 一点  , 则  为定 点.   由 B A 应 用性 质 4, C= D, 知△ A D 的外  P 接 圆与 △ P C的外接 圆为 等 圆. B  

联结 M 、 F M M 、 C M M . A M 、 D、 P M 、 E、 B  
由 D M = B M = B M。   A   P   C 知 
DM =BM.  

同理 , M : . A MC 

注意 到 , F= E, D B 则△ F M  △ E M. D B  
所 以, MF=ME, 且  F MD= E .   MB 

同理 , F   MA= E .   MC 
嘲 4  

于是 , E   MF= B D= C A 即等    M   M , 腰△ M F 等腰△ M D、 E 、 B 等腰△ M A的顶角  C

在 凹 四边 形 C E D F中 , 应用性 质 5 知 A   , B 平分  C F  B.
, ‘ 、 , 、  

相等. 从而, 其底角也相等, 有 
MEF =   MB = D   MC   A.

由  、 别是 弧P Q 的 中点 , C   Ⅳ分 B、 B 知 M、

F N分别平分/ B F   B C C 、 F.  
故 A C 刚 共 点 于△ B F的内心 , B、M、 C .   从 而 , 圆 ,,  中 , 在 、 由相交 弦定理 有 
G ?M =A ?B =NI I   ,I II ?F.

因此 , 、 E、    、 Q及  、 C、 别 四点  E、 尺分
共 圆.   于是 , MQ   ME   MR . / B= B= P 

从 而 , P、 M 四点 共 圆. Q、 R、  

于是 , 由相交 弦定 理 的逆 定 理 , C、   知 F、


例 3 圆心为 D 、 :的两个 等 圆交于    。D P、 Q两点 , 0是公共弦 P Q的中点 , P任作  过 两条割线 A 、D A C B C (B、D均不与 P Q重合 ) ,  
点 A、 C在 o D。 , 上 点  、 在 O D D  上 , 结  联 A B M、 D、 C, N分 别 为 A B D、 C的 中点. 已知 点 

Ⅳ 四点 共 圆.   例 2 给定 凸 四边 形 A C B A 且  B D, C= D,

B C不平行于 A . D 设点 E F分别在边 B 、D , CA   的内部 , 满足 B D , E= F 直线 A C与 B D交 于  点 P,F与 B E D交于点 Q 直线  与 A , C交 
于点 R 证 明 : . 当点 层、 动 时 , P R的外  F变 △ Q 接 圆经 过除 点 P外 的另一 个定 点. … 

D 、:  D 不在两圆的公共部分 内, 点  、 Ⅳ均不 
与 0重 合. 明 : 、 0三点 共线.。 证   N、 [   证明
02 0 B. D、 2  

如 图 6 联 结 A B 0A、 。   , C、 D、 1 0 C、

( 4 届 I O  第 6 M )
证明 如图 5 .  
C  


、 、 、 、

/" I   三 』 一一 一L 一  一 _ 一  J —一 ,一  一 .





0.o7 。-。 。 \         J
网6  

E ̄O 与oD 为等圆知  h .  
图5  

C Ol=0 B, O1=DO2 2 A .  

由B C与 A D不 平 行 , △ A D 的外 接  知 P

应用性质 4 知 A D . , C= B  分别在 四边 形 A B 四边 形 0 0  、 C D、 。 2C 

圆与 △ P C B 的外接圆除交于点 P外 , 必交于 

8  

中 等 数 学 
C =     BC 【 D. 4  

四边形 0 0 D     A中应用性 质 3 知 直线 MN与  ,

A 、 B成等 角 , CD 直线 O N与 0 C 0 B成 等  .、  角, 直线 O M与 0A 0 D成等角. 。 、    注意到 , 同时与两相交 ( 或平行) 直线成  等角的直线是相互平行的.  
从而 , O O 三直线 重合 . MN、N、M   故  、 0三 点共线 . N、  

(07 I O中国国家队培训题 ) 20 , M   证明 如图 8 过点 A作与 B , C切于点 c  
的o 0 , 。O0。 C 与 D交 于点 Q 联 结 A . Q并延 

长与o0 交于点  ,   联结 e Q并延长与o0  
交于 点 F, 结 C C . 联 F、E 

例 4 在锐角△ A D的边 A 、D上各  P PP
取一 点 B、 四边 形 A C 的两 条 对 角线 交  c, BD

于点 Q △ A D、 B C的垂心分 别为  、 , P △ P  


证 明: 若  。 经 过△ A Q的外接 圆和    B

△ C Q 的外 接 圆 的 交 点  , 它 必 定 经 过  D 则

△ B C的外接圆和△ a D的外接圆的交点  Q Q y 点  与 Q不重合 , 与 Q不重合 ) ( y .   ( 2 第 9届俄罗斯数学奥林匹克 )  
证明 如图 7 .  

上  ,

网8  

则  A D= A C= A B= A D. Q   F   C   B   于是 , 、 B、 四点 共 圆. A D、 Q  
罔 7  

注 意到 ,A= B, D D 则  a D : D 8  Q   Q.

由点  、 y均与 Q不重合 , A 知 D与 B   C
必相交, 交 于 点 尺 设 .则 在 完 全 四 边 形  A P R 中, B CD 注意 到 , 以完 全 四边 形 的三 条对  角线 为直径 的 圆共 轴 , 完 全 四 边形 的 四个  且

从而, A C= C .   Q      
又  Q C= Q B, A   C 则 
A Q= C Q  C   B .

① 

这说 明, 过点 B Q C的圆( 、、 即oD )   与 
A C切 于点 

三角形的垂心在这条根轴上  , ]即知点 日 、 。   均在以A 、D为直径的两相交 圆的公共  CB
弦所在 的直线 上.  

延长 C 至点 P, MP=C 则 四边形  M 使 M,
CP A B为平行 四边形.  

应用性质 6 即知点  也在这条公共弦  , 所在的直线上时 , 这两个圆为等圆; 又应用性  质 6 即知点 y , 在这条公共弦所在的直线上.   例 5 锐 角八 A C的外接 圆在点  、     B 曰 处的切线交于点 D, 是 A   B的中点. 证明:  

注意到式①, 应用性质 5 即知  ,
AE =FB.  

此 时 , F=C C C A,E=C . B 

故  C E= C B= B A B   E   C 
=10   8 。一 C P. B  

21 0 3年第 1 期 

9  

即知 E、 P三 点共 线. B、   同理 , A、 点共 线 , F、 P三 又可 推证 
AC : F   B叩 .  

这 两条 对角 线相 等.  
提 示 : 用性 质 3 应 .  

2 已知 A . 日是 △ A C中  B

的平 分 线 ,  

在 等腰 梯形 C P 中 , FB  
F M = 船 P= Q E  C     C. 故  A M = F C   伽 一 FA   C 
=  

在边 A A B、C上 截 取 B D:C M 是 D 的 中  E, E

点, Ⅳ是 B C的中点. 证明 : N / H  M /A .
提 示 : 用性 质 3 应 .   3 在 等腰 △ A C中 ,B=A . 如  . B A C假
( ) 是边 B 1M C的 中点 , D是 直 线 A 上  M 的点 , O lA   且 B_ B; -

Q E一 B E= B Q= B D  C   C   C   C.

【 】 例应 用调和 四边形 性质可 简捷  注 此
推 证.  

例 6 已知△ A C的  B内的旁切圆与 B   切于点 D, c内的旁切圆与 A   B切于点 
E, Ⅳ分 别 为 B D M、 C、 E的 中 点. 明 : 证 MN平  分△ A C的周 长 , 与  A的平分 线平 行. B 且   ( 2 届 世界 城市 ( 第 1 冬季 ) 学竞 赛 ) 数   证明 如 图 9 设 MN分 别 与 A A , C、B交  于点 G F, 、 L为 G F的中点.  

() 2 Q是边 B C上不 同于 B、 C的任意 点 ;   () 3 点  在 直 线 A B上 , 点  在 直线 A   C

上, 使得 E Q F是不同的三个共线点. 、、  
证 明 :Q.  O 1 - 当且仅 当 Q E=Q . F  ( 3 第 5届 I   MO)
提 示 : Q_ E O lA   O l F, B_ B - _

甘 B、 0、 四点 共 圆  E、 Q
甘  O EQ= O C= O C   B   A  铮 A、 0、 E、 F四点共 圆  筒  O C=A E F A O=/ O C Q 

甘 0 Q F C四点共圆。 、、、   对△ A F及截线 B C应用梅涅劳斯定  E Q
理得 
B   酗  图9   C  

B A

. . :】       B   F C  EQ  A

: 丝 Q  F . F C‘  

由题设知 D E分别为旁切 圆o,、   、   o, 的 切点. 则 
l  

故Q E=Q F甘 B E:F   C

甘 四边 形 B O E Q的 外 接 圆 与 四边 形  QC O F的外接圆相等( 直径均为 d  )
铮 di  O Q=O s n E Q=di  O Q s A F   n
甘  O Q= o Q E   F 

E ÷( + A— )= . B=   C  c  c  
厶  

于是 , 由性 质 3知 
g BF = MG   M   C

铮 O  E. QL F  
参考文献 :  
[ ] 裘宗沪 1   冷岗松. 国际数学奥林 匹克 试题解答 [ . M]  
北京 : 开明出版社 ,0 6 20.  

A A 且 ML与  A的平分 线平行. F= G,  

又 由性 质 3知 B F=C 即  G,
BM +BF =C +MC =AF +A +MC. G C  

从而 , MN平 分△ A C的周 长. B  

[ ] 周家集训队教练组. 2  数学奥林 匹克 试题集锦 (04  20 )
[ . M] 上海 : 东师范大学 出版羊 , 0 . 华 十2 4 0   [ ] 沈文选 . 3 完全四边形 的优 美性质 [ ] 中等数学 ,0 6 J. 2 0 
() 8.  

练 习 题 
1 在 凸 四边 形 中 , . 已知 经 过 一 组 对 边 中 

[ ] 国家集训 队教 练组. 4  数学 奥林 匹克试题集 锦 (07  20 )
[ . M] 上海 : 华东师范大学出版社 . 0 . 2 7 0  

点的直线同两条对角线所成的角相等. 证明:  

中 等 数 学 

用特殊换元解 一类三元不等式  
张 伟 军 
中圈分类号 : 12 3 0 2 .  文献标识码 :   A

黄 生 汉 
文章编号 :10 6 1 (0 3 O 0 1 0   05— 4 6 2 1 ) l一 00— 2

( 上海市闵行区第二中学 ,0 2 0  ( 南省绥宁县第一 中学 , 2 0 ) 20 4 ) 湖 4 6 0  2

常见约束条件是 :、 、 ∈ R   n bC  ,

证明

应 用换 兀  知 ,  

口+ + : , b Ck  
证明关于 0 bc 、、 的三元不等式.  
在△ A C中 , B  
tn a

① 

式⑤ 

§3    鱼   互 ≤f 三+ J ++Y+ ++ 2 y   1 上+   Y+z   \    
 ̄  - o Y 


孚a + 詈a + 导a   ? t ? t -孚 t at at n nn n n 詈 导
② 


xz   + ÷ 惫≥ .   ++ 一 .   +    x专 南v 一 z2 vx z   +
 

=. 1   由式① 、 自 ② 然产生换元  口 Vb   ,= ,   v    一 c     = : 一
口 = 



上式 左边 
= — — — ~

(  ) y x+ , zy+ )  +   ( , )’ ( z 
y z  22 z x  22 x y  22

+ ~

 

— ——L~

 



③  一  




y —一 xzx+y一 xz — ) —( +x zz— )+ y( — )+ y   一  — (+ —y z

其 , c ,c  c詈 、 中 =t ,。 =t,     0 =t 0    ,  ,
B、 C是 △ A C的三个 内角 . / B  



壶 簪  ’  
丢 (   )  11 )  I ++   =l       

将变换③代入式①得 
+  + x y  '   y z



上: 1
. 



丢t + 孚 t 3 ( 导 t +  一 a a a n n n .  

即  戈 Y+ = y. + 名 xz  

④  故式⑤成立 , 且当 n 6 c   时, = : = 上式 
等号成 立.  

式④关于 、 、 Y 具有升幂降幂 的功能 ,  
用处很大. 换元③ 的好处是将关于 n bc   、、 的
三元 不等 式 转 化 为 关 于 、 、 三 元 不 等  Y 的 式 , 决 了对 题 目人手难 的困难 . 明 的关 键  解 证

【 】 注 原不等式是代数型 , 换元③将其转 
化 成△ A C中的不等 式  B
t   an

是结合等式 + + = y 作恒等变形. Y z xz  
例 1 设正实数 0bc 、, 满足 口 b c 1 + + =.  
证明 :  

a  n n≥ ? “  T    .  + ¨  √  -t “ 3 ya 导






侈 2 设 a bc∈ R+0+ + =1证 明 : 4 ,、 , b c .  
i+   +   ≤  ’  

一 +一‘ 2 十 +)  一‘ 一 (+ ‘J1  一 +一 , ‘  l     ≤   旦. - 旦一‘ \ 一 C⑤ 一b   口   l 、
1 a+ 1 b+ 1          


(04 日 20 , 本数学奥林匹克)  
收稿 日期 :0 2— 5—3  21 0 1

证明 应用换元③知 
1   vz 2 
. 

1  
一  

‘ 

21 0 3年第 1 期 

l  l

同理  + n2 ’ 1  

小 , 小  . 南  

6+6 c+c a-2  

≤ 

.  

⑥ 

故原 不等 式 

( 2 第 5届 I   MO)

§ + + ≥ 而 南      
§

证明 式⑥左边不等式 显然成立 , 当 且   abc ,、 三个数 中有零时 , 不等式⑥显然成立.  
下 面设 a> , > C 0 0 b O, > .  

铮 2 7+1 ( 。  yz + 7 xY +     

)+  

7 xY + ( 42    

+ Y )   yz     ≥3 44   一 4   + 3 xYz    

应用换元③ , 式⑥右边变形为 

2 7+1 (y+y + 7x z 

甘7    f

4 yz   4 一1 x Y z f 4      

x  ;I 了 zx 0 + +、   ) >
/  

+ +  -     一 ‘’≤ -z -5 - ; 2
+  +

z x y  



x Z

孑一  

咎 1 (y+ + )- 4 7 x + ,+ ) 3x     5  ̄ (  )     <  

铮 1( x ∑  5x  3∑ y ) 一4 z y
≤ ( x ∑  7∑ 2 ) 铮6 X ) z≤ ∑  +5   ∑ 2, ) 7 (+ l  .
由舒尔不 等式及均值不 等式知上 式成  立. 当 =     时,  = = 不等式中等号成立.  

詈 _ ++]  [ 3       ( )+  
4 【   一 ++)+ (   。    】

? 6 一)  (  ≥   Q
上式 显然 成立 . 当  =Y=z   时 , 等  = 不

顺便指 出, 利用换元③也可解复杂的不 
等式问题.   例 5 设正实数 abc ,、满足 
口  +b +c +( b+ ) ≤4  2 2 a+ c  .
+  +

式中的等号成立.  

【 将所证 的不等式 配成代数 和非负  注】
是证明不等式的一种策略.  
例 3 设正实数 ,、满足 a+ + = . 明: abC 6 c 3证  
+   +   ≥口 z+6  2   + ?  +6   ‘ ‘+
. 

器  

( 0 , 国数学 奥林 匹克 ) 21 美 1  

证明 应用换元③可将不等式变成 


证明 题设不等式变形为 
( a+b +( c 2 C ) ) b+ ) +( +0 ≤4 .  



yy 2Z +2 z  


( +  )    +  

应用换元③得 
+6   r
6 +c  


铮 ( )+ 4  Y + , + 22   + ,  ) (   )      )



c + a -  r


> 1x   +    + 2 z   8(a z 戈 , x 2 ) y  , 4 y4
1 ( 4  +xyz + Y )+ 3 xY 24  22 2  

qx    y

qy    z

z    %,

其中, r , o A O< ≤2x=ct  



y= c   。



c = c 
,  

∑I(   + x + (+)  X/+ )2    y + 6 0
乱  + + x + 2  (2  ) (  ) 6  1 y y + ]   xz  
> 1  Y + Y  + Y  )  t8 ( 4   242   24 ,

A、 B、 C为△ A C的三个 内角.     B  

其  “ 表示 中,∑” 轮换 和. 对称   当 a= = = 时, b c l 不等式等号成立.  
例 4 设 a bc ,、 是满 足 a+b+ =1的非  c

6= r   

负数. 明: 证  

m  ( 去+ c  +   = 寺 于,r1 1去, 是= 一 +) 口        I 去, )  


+ 


中 等 数 学 



道 国 ! 竞 赛题 的 两种 新 证法 I 『 l 、  
黄 全 福 
( 安徽省安 庆市怀宁县江镇中学 ,4 12  2 64 )

中 圈 分 类号 :0 2 .  13 1

文献标识码 :   A

文章 编 号 :10 6 1 (0 3 O 0 1 0   0 5— 4 6 2 1 ) 1— 0 2— 2

题目

在 凸四边形 A C 中 , BD 已知 
CB+ A   DBA=3 . 0。 

与D B交 于点 E,H与 c D A交 于点 F  . 为方 便 , 记 
/ A B = t A B =B  C O, D   J,
C AB = 。 DBA =Y.      

A DB +   ACB =  

且  D :曰C  .

证明 : 段 D C D 线 B、 A、 C可 以围成 一 个 直  角三 角形. … 

则  C H = C E+ E H B   B   B 


( 9 第 届丝绸之路数学竞赛(00 ) 2 1 )  这是一道构思巧妙 、 有一定难度 的平面  几何题 , 笔者给出两种不同于文 [ ] 1 的证法.   证法 1 如 图 1作 正△ A H,   , B 联结 C   H

(0 + 3 。  )+( 2 。 Y  10 一 )
1 0。+O —Y. 5 t   DAB = +1 0。一     5  .



又  +, 3 。   +   O—   一 故  )= 0 = 卢 l Y=  ,
CBH =   DAB.  

结 合 C D B A 于是 , B= A,H= B,  
△ CH △ DB B   A 
C =DB, BHC = H     A D= B  

同理 ,H=C   A D= B C= . D A, H   A   
故  C D = A B+/ A D+ B   H   H H   HC


6 0。+ 4Y=9 。   - 0.  

图1  

从而 ,C D  =C   D 2=D  4C   即  H2 H - 4 B - A,

收稿 日期 :0 2— 5—2  21 0 4

由线段 D C 、 C能 围成一 个直 角三 角形. B、 D A  

c =

寺 ++   去 


故 + +   持  


2 老)4 歹 一 2] 一   +  
+   +  

争 (  + )    十 字 
寻丢 + 
a=b=c= I

≥ 

一  



= 

+ 

) .  

√  3

B,  ̄ 不等式等号成立?  

中 等 数 学 



道 国 ! 竞 赛题 的 两种 新 证法 I 『 l 、  
黄 全 福 
( 安徽省安 庆市怀宁县江镇中学 ,4 12  2 64 )

中 圈 分 类号 :0 2 .  13 1

文献标识码 :   A

文章 编 号 :10 6 1 (0 3 O 0 1 0   0 5— 4 6 2 1 ) 1— 0 2— 2

题目

在 凸四边形 A C 中 , BD 已知 
CB+ A   DBA=3 . 0。 

与D B交 于点 E,H与 c D A交 于点 F  . 为方 便 , 记 
/ A B = t A B =B  C O, D   J,
C AB = 。 DBA =Y.      

A DB +   ACB =  

且  D :曰C  .

证明 : 段 D C D 线 B、 A、 C可 以围成 一 个 直  角三 角形. … 

则  C H = C E+ E H B   B   B 


( 9 第 届丝绸之路数学竞赛(00 ) 2 1 )  这是一道构思巧妙 、 有一定难度 的平面  几何题 , 笔者给出两种不同于文 [ ] 1 的证法.   证法 1 如 图 1作 正△ A H,   , B 联结 C   H

(0 + 3 。  )+( 2 。 Y  10 一 )
1 0。+O —Y. 5 t   DAB = +1 0。一     5  .



又  +, 3 。   +   O—   一 故  )= 0 = 卢 l Y=  ,
CBH =   DAB.  

结 合 C D B A 于是 , B= A,H= B,  
△ CH △ DB B   A 
C =DB, BHC = H     A D= B  

同理 ,H=C   A D= B C= . D A, H   A   
故  C D = A B+/ A D+ B   H   H H   HC


6 0。+ 4Y=9 。   - 0.  

图1  

从而 ,C D  =C   D 2=D  4C   即  H2 H - 4 B - A,

收稿 日期 :0 2— 5—2  21 0 4

由线段 D C 、 C能 围成一 个直 角三 角形. B、 D A  

c =

寺 ++   去 


故 + +   持  


2 老)4 歹 一 2] 一   +  
+   +  

争 (  + )    十 字 
寻丢 + 
a=b=c= I

≥ 

一  



= 

+ 

) .  

√  3

B,  ̄ 不等式等号成立?  

21 0 3年第 1 期 

I  3

仔细观察图 1对照 已知条件不难发现 , ,  
此 题 隐含 了一个 重要 条件 :B= D=B . A A C  事 实上 , A A 则 A B . 时 , 若 B< D, B< C 此  
ADB +   ACB <   CAB +   DBA,  

A C= c s , B = cs . 2 o  D 2 o 』  B

则 A   D   4 cs + O  ) C + 曰 = (o  CS  


2 ( + O 2 ) 1 CS / ] [ 1 CS a +( + O 2 )      3

= 4 o ( + ) CS - ) 4+ cs  / ?O ( /   3   3

与 已知矛盾 .  

= 2 § O(  ) 4+ √ CS  一 .  
观察 △ A D知  P
PD 
—  

① 

若 A A 同样 导 出矛盾 . B> D,   证法 2 如 图 2 设 A , C与 B D交 于点 P  .
C  

AD 
一  

1  


1 

s ( 5 。  )一s   A D—s  0 一   i 10 一 n i n P i3。 ‘ n

P 2i(5 。 p)= s (0 + . D= s 10 一 n 2i 3。  ) n   同理 , C= s (0 + . P 2i 3 。  ) n  
D 

在△ P C中利用余弦定理得  D
DC =PC +PD 一2 PC? PDe s o  DPC 

图2  

= [i (O + + i (O + ]   4 s  3 。  ) s  3 。  ) + n n

4 3 i(0 + ? n 3 。 卢   √ n 3 。  )s (0 + ) s i
易 知 , A D=3 。 D C=10 .   P 0, P   5。   令A A B B= D= C=1  ,
A B= C   C B= . A    



4卜[ + ÷o   c s (  
4+ √ CS 口 . 2   O(  一 )

+ 一) 卢 卢  ) )   ]
(  

A B: D A= . D   B /  3

比较式① 、 ②得 A   D   D   C + B = C.  
因此 , 由线 段 D C D B、A、 C能 围 成一 个 直 
角三 角形 .  
参考文献 :  
[] 王 1 琪 题 目翻译 并解答. 9 丝绸之路 数学竞  第 届

由-/3+(o。  ):9 。 i0 ),O + = 0  f0 0 3  3 。 (-   -; 3 + # 。 【3 。 ( +  


fi 3 。  )+ i (0 + s (0 + n s   3 。  )=l  n ,
J  

【O(0 + 3 。  ) CS 0 =   CS3 。 d+ 0 + = O 9 。 0  
由等腰△ A D、 B 等腰△ B C易得  A

赛 (0 0 f ] 中等 数 学 .0 1 增 刊 ) 2 1 )  . J 21( .  

, 声    
中 国期 刊全 文数 据库 。  

明  ,■

1 为适 应我 国信 息化 建设 的 需要 , 大 本刊 及 作 者知 识 信 息 交流 渠道 , . 扩 本刊 已进 入 C K  NI

2 为促进科学文化知识的传播 , . 推进文献信息服务事业单位 的发展 , 本刊 已进入《 中文科  技期刊数据库》  。
3 为 实现科技 期 刊编辑 、 . 出版发 行 工作 的 电子 化 , 动科 技 信 息 交流 的 网络化 进 程 , 刊  推 本 已加入 “ 万方数据— — 数 字化期 刊群 ”  。

本刊所付稿酬包含数据库、 网上发行使用费和本刊编辑部的使用权 。如作者不同意所著  文章被收录, 请在来稿 中声明, 本刊将做 适当处理。  

本刊编辑部 

l  4

中 等 数 学 

另解一道中国国家集训队选拔考试题  
万 喜 人 
( 湖南图书馆培训楼万喜学校 ,10 ) 40 1   1 中图分类号: 2 .  013 1 文献标识码 :   A 文章 编号 :10 0 5—6 1 (0 3 O — o 4-0  46 21) l o l 1

题 目 如 图 1在锐角△ A C中,   , B 已知  A>6 。H为 △ A C的垂 心 , 0, B 点  、 分别  J 7 v
在边 A A B、 C上 , H   MB= H C= 0 ,   N 6 。0为 

HM  lb  CK  i
HN  HC  CH ‘  

又  MH =1 0   B N 2 。一 AC= KC     H,

△H MN的 外 心 , D 与  在 直 线 B 的 同  点 C

则△ H MN∽ △ C H K 
C  =   HMN 

侧, 使得 △ D C为正三角 形. 明 : 0 D B 证 H、 、  
三 点共线 .1 _    J
D 

= 》/ B D= C D=6 。 H   K 0 +/ H N:/ B   M MN
BHO =   BHD.  

证 法 2 如 图 1联结 O O . , B、 C   故 D、 H 三点共线  0、
牟  —  ̄B )t  ̄ 1l


、  



 

 ̄zB  ̄ OH 
= —


△ n   5 ̄C 1 cH 0I -  
。 。

BD? BHsn i 

DB H  O ? i  H BHsn

BHO 

。 D? s   。C   i n

DC H

明 ? Hs   C i n

,  0

s i n/ DB H  s   BH   i n o
圈 1  

s   D H—s   C o‘ i n C i n H  
由证法 1 得 
BHO =  BMN =1 0。一 8   A肘 Ⅳ.  

① 

(02 中国国家集训队选拔考试) 21 ,  
本文介 绍两 种证 法.  

证法 1 如图 1联结 H 、 D 易知  , OH .
D、 H三 点共线 甘  B O= B D, 0、 H   H  
且  B HO = B   HM + MHO    

同理 , CI   C M = 8。   A M.   l O= N 10 一 N  
所 以 ,i  n B   s   A  A s   HO i n MN N 
81 1    1 C   Sn Ho l  A M —A 。 N M  

=10 一 B t一/ M H+(0 一 MV ) 8 。 / Mt B 9 。 / It t  =1 。 6 。 (0 一 B C + 0 一 『Ⅳ 8 一 0 一 9 。 / A ) 9。 / 7   0 V
=  

又  A HN = C   NH 一   C H  A
●  

:  

DBC 一  

CBH =  

DBH.  

B AC +1 0   M N 2 。一 H  B AC +   A NM =   B MN.  

同理 , A M = D H    H   C. 则 n D H s   A N s  B   i i n H  
s   i n   DC —sn H i 
BHO  CI ‘ lO  

=  

而/  B xD C为 正 三 角 形 , 可 把 △ D H  则 B

At   I M

绕点 D逆时针旋转 6 。 X C 0 至/  K位置 , D 联结 
I. l 显然, D K是正三角形. K △ H  
由  B MH=/ C H, MB   N H  N   H= C
MB H∽ △ N H C 
收稿 日期:0 2 0 一l 21 — 5 5  



AN  sn i  A —sn M i 

从而 , 式①成立 , 进而命题得证.  
参考文献 :  
[] 21 1 0 2中国国家集训队选拔考 试 [ ] 中等 数学 , 1  J. 2 2 0
( . 7)  

21 0 3年第 1 期 

1  5



道数学奥林匹克题 的另解  
冯 有 兵 
( 江西师范大学附属中学 ,30 6) 3 04  

中图分类号 :O 5 .  17 1

文献标识码 :A  

文章编号 :10 6 1 (0 3 0 一 0 5一 l 05— 4 6 2 1 ) l 0 1 O 

题 目 设 m是正整数 , =  一1数轴  T 2 t , 上  个点所成的集合为 P ={ , , / . n   12 …, } t '  只蚱 蜢在 这 些 点 上 跳 跃 , 每步 从 一 个  点跳到与之相邻的点. m的最大值 , 求 使得对  任 意 、 ∈ P , , ,  从点 跳 202步到 点 ,的跳   1 , 法种数为偶数 ( 允许中途经过点 、)…  y. ( 第九届 中国东南地区数学奥林匹克 )   解 首先 , m≥1 , 若 1 则存在两点 1 与  20',   1 两者 仅有 1 跳法 , /≤1. 3 种 故 / 0 1 ,   其次说明当 m= 0时, 1 对任意 xy∈ P , , l  o 从 到 )的跳法种数为偶数. ,   女 图 1记 A( , , 202, ( , . Ⅱ , 0 ) 8( 1 ,) <,  , )




一 u 201     2

r寺2 l+ +) 24  [o (   一 8  2   o]
?  

但此 时还应 除去重 复计数 的与 ,= , , 0  Y=1 2   4均相 交 的折 线数 . 0   注意 到 , 与两 直 线 均 相 交 的折 线 只能 先  与 Y=0相 交 , 与 ,=104相 交 , 则 , 再 ,  2 否 若  其先 与 Y=104相交 ,  2 有  折线 长度 > 2×1 2 202    4>  1 , 0 矛盾 .   故均相交的情形与 


( ,  ) B ( 1 , 4 )  0 一   l202 20 8一, )

的折线构成一一对应 ,  
S 4:c 0 -24 - +)   1 ( o y x] 2  8
.  

因此 , 符合条件的跳法总数为 
S=S 一.  3+ . t s 2一    

下 面说 明 S ;&( o )  -S( o ) 。 m a2 , = 3m d2.  

注意到 , . 的组合数上标相差 l 2. S、  s   4 0   于是 , 只需说 明 
A (, ) .    o
图 1  

c 0    ̄  l 2 m d ) j  0 )  1 E 2 0 ( o   ( <1 6 , 2 h 0 + 4 2 } 0


则由点  折线 数 


Y的跳法数等于从 一  的 
[ C-    2o  ̄


即 丽  
丽+ 0 ? 2 七 丽 (o2. (   2) (0   一 0 ) rd    1 4!21~ 12 ! -     4  ) o 。

S =C- 。 一‘   l   。  一  ̄2   t



‘    一
. 

但注意到 , 此时折线可能与 Y 0及 Y   = = l0 4相 交.  2   与 Y 0相交 的情形与点 A ( ,  ) =   0 一 到  B 2 1 ,) (  2Y 的折线数构成 一一对应 ( 0 将折线  与 = 0的第 一个交点前段作关 于 = 0的对  称) 故 S =  ̄2o 一‘ ¨ , 2 C [    

. 

这仅 需 
! (  1 ? 20 2一后 ! ?20 2一j  2 )  ) 与 (  1 .一l 4 ! } 0 中的 2的幂次相等 ,   即

争+ 】 】  ) [  
=  

同理 , y 1 2 相交的情形数为  与 =  4 0 0 S =C - o2 2×1 2  + ) } 3  { 1 一[   4-( y ]   ̄ 22 o2 l
收稿 日期 : 1 — 9— 6 2 2 0 2  0

】 + 【  

】① )   ,

其 中, 表示不超过实数 的最大整数. [  ]   易知 , ≥1 时 , 面的和式均为 0 故  当  1 后 , 式①等价于 

l  6

中 等 数 学 



道数 学 竞 赛 题 的 另解  
查 晓 东  阮 宇 平 
文章编号 :10 0 5—6 1 (0 3 O 0 1 4 6 2 1 ) l一 0 6一O  l

( 江苏省 天一 中学 ,11 1 ( 2 40 ) 江苏省 天一 中学高 ̄ ( ) ,1 11    - 3 班 24 0 )
中图分类号 :016 1 5 .  文献标识码 :   A

笔者在文 [ ] 1 中看 到 一 个 赛题 的解 答 ,   感 觉 其技巧性 太 强 , 容易想 到. 不 学生 阮宇平  给 了笔者一 个 新 的 思路 , 过 思 考 给 出 如 下  经
解 答.  

则 { ; , {   {     .

题 目 证明 : 对于每个质数 P 存在无穷  ,
多个 四元数 组 ( yzt ( y t  , ,,) 、  为互 不 相 

等的正整数 )使得  ,
( + t) Y + t)  + t)   p  (  p  ( p   为完 全平 方数 .  ¨

则 

( 8届丝绸之路数学竞赛 (09 ) 第 20 )  证明 若 x , , , ) 。Y   t 是满足条件 的一  。。0 个 四元数组 , ( 。ky, z, t)k∈ N+  则 | ,2ok ok 。( l } 2 2 )
u =

9 "l P3 2


显然 也是 .  



故 只需证 对任 意 的质数 P,   ( + t)y + t ( + t) 1(   p (2 p    p  -1 n∈ Z)   ) ,     有 正整数 解.  

{-9 u32 =,- 3uP P=. 3p 2   [

接下来证明: 对任意的质数 P U + t= ,2 p    
至少有 三组不 同的正整 数解.  
() 2 1 P= .  

一 2, ’ ’  \   ( ’   一   2,   2却 ) J


取 t 6, ( = 得  一M ( ) +“ = 2 ) 7.  

收稿 日期 :0 2—0 21 9—1  2

[  
= 

】 )  
提出, 故上式 成 

为偶数 , m的最大值为 l. 0  

【 】 注 上述证明中未考虑 J 不存在的情  s   形. I 不存在, 若s   只需说明   为偶数 ,  1  。 0 2 。 4 利 
用 / 分解式 容易说 明其 为偶数 , 7 , ! 结论仍 然 
成 立.  
参考文献 :  
[ ] 第 九届 中国东 南地 区数学 奥林 匹克 [ ] 中等数学 , 1 J.  
2 1(1. 0 2 1 ) 

][ +  
I 04 将 整数    2, 1  

立 , S -S ( o   ) 即 。   m d2 . =  

同理 ,2 3r d2 ,Ⅱ 1 2 S + 4 S ;S ( o ) 县 S 一S 一 3 S  o

l  6

中 等 数 学 



道数 学 竞 赛 题 的 另解  
查 晓 东  阮 宇 平 
文章编号 :10 0 5—6 1 (0 3 O 0 1 4 6 2 1 ) l一 0 6一O  l

( 江苏省 天一 中学 ,11 1 ( 2 40 ) 江苏省 天一 中学高 ̄ ( ) ,1 11    - 3 班 24 0 )
中图分类号 :016 1 5 .  文献标识码 :   A

笔者在文 [ ] 1 中看 到 一 个 赛题 的解 答 ,   感 觉 其技巧性 太 强 , 容易想 到. 不 学生 阮宇平  给 了笔者一 个 新 的 思路 , 过 思 考 给 出 如 下  经
解 答.  

则 { ; , {   {     .

题 目 证明 : 对于每个质数 P 存在无穷  ,
多个 四元数 组 ( yzt ( y t  , ,,) 、  为互 不 相 

等的正整数 )使得  ,
( + t) Y + t)  + t)   p  (  p  ( p   为完 全平 方数 .  ¨

则 

( 8届丝绸之路数学竞赛 (09 ) 第 20 )  证明 若 x , , , ) 。Y   t 是满足条件 的一  。。0 个 四元数组 , ( 。ky, z, t)k∈ N+  则 | ,2ok ok 。( l } 2 2 )
u =

9 "l P3 2


显然 也是 .  



故 只需证 对任 意 的质数 P,   ( + t)y + t ( + t) 1(   p (2 p    p  -1 n∈ Z)   ) ,     有 正整数 解.  

{-9 u32 =,- 3uP P=. 3p 2   [

接下来证明: 对任意的质数 P U + t= ,2 p    
至少有 三组不 同的正整 数解.  
() 2 1 P= .  

一 2, ’ ’  \   ( ’   一   2,   2却 ) J


取 t 6, ( = 得  一M ( ) +“ = 2 ) 7.  

收稿 日期 :0 2—0 21 9—1  2

[  
= 

】 )  
提出, 故上式 成 

为偶数 , m的最大值为 l. 0  

【 】 注 上述证明中未考虑 J 不存在的情  s   形. I 不存在, 若s   只需说明   为偶数 ,  1  。 0 2 。 4 利 
用 / 分解式 容易说 明其 为偶数 , 7 , ! 结论仍 然 
成 立.  
参考文献 :  
[ ] 第 九届 中国东 南地 区数学 奥林 匹克 [ ] 中等数学 , 1 J.  
2 1(1. 0 2 1 ) 

][ +  
I 04 将 整数    2, 1  

立 , S -S ( o   ) 即 。   m d2 . =  

同理 ,2 3r d2 ,Ⅱ 1 2 S + 4 S ;S ( o ) 县 S 一S 一 3 S  o

21 0 3年第 1 期 

l  7



道 安 徽 预 赛题 的 推 广  
霍 进 一 
( 安徽省合肥市第一 中学高三 (5 班 ,36 1 1 ) 20 0 )  

中图分类号 : 7 .4 O14 1 

文献标识码 :   A

文章编号 :10 0 5~6 1 (0 3 0 0 1 4 6 2 1 ) 1— 0 7—0  1

题 目  已知 m ∈ N+ 凡=   求所 有 的 n , 2.   次实 系数 多项 式  )满 足  ,



 

)- ( f ):   0,

厂一   一 ) (  )   .   多项式 . )   +l再 利 用反证 法 证 明唯 一  厂 = ( , 引理 2 n   为正奇数, n次复系数多项式  性, 但要猜 出答案并不是 一件容易事 ( 不少  厂 满足式① , 凡= , 戈 ; . (  ) 则 1且  )     考生都 以为只有  )   + 符合要求 ) 于  = 1 . 引理 2的证 明 由引理 1知    是, 笔者想到 : 能否有一种做法 , 可以从 多项  式满足 的性质人手 , 直接推导出厂 . (    ) 针对 条件 中 的 “ n=2 , 以 自然 地 想   ’可 到: n  时, 当 ≠2 满足条件式①的多项式是否 
存在?   因此 , 了下 面更 一 般 的推广 : 有  
一  

戈 + ) , () 1   1 =    + .   ①  (02全 国高 中数学联赛安徽赛 区预赛 ) 21,   命题组提供 的解法是先猜出符合条件的 

即 厂一) 书; (   )   当n 为奇数时,   一 )   )   同理,   一 不可 能为零多项式 , , 因此  

) -( . 兰 f )  

特别地 , ( ) 0 -0 :   厂 设数 列 {  满 足 a = a =  +1 a} 。 0,  a .   归纳 可证 : 对任 意 的 k∈ N,  
a )=a.   k  

由此 知存 在无穷 多个  ∈ R, 得  使 厂 )  . ( =   因此 , ( 兰 n=1 _ )  , 厂 .  

推广 求所有 的 n∈ N+ 使得 存在 n   ,   次复系数多项式 f ) 满足式① , ( , 且找 出所 
有这 样 的多项 式 . ) 厂 . (  
解 先 证 明下面几 个 引理.  

引理 3 若 尼= l 2 为偶数 , 几次复系数多  项 式 f( 满 足 式 ① ,  ) 则存 在 z 多项 式  次 g  , ( )使得  ) g   + )_ (  1 = ( ) 1 = ( 1, Rg x + )     +   恒 成立 .   引理 3的证 明  由引理 1 知此 时  ,
一  

引理 1 已知 n∈ N+若 n次复系数多    . 项式  ) 满足式① , 则 
~  

)  

)  ,

n为偶数 ;  



 

) 一 )  ;   ,

为奇数 .  

引理 1的证 明  注 意 到 ,   (  )+1= (  ) 一   一  +1  )

) f ) -( .  

因此 ,  

) 的奇 次项 系数 全为 0 可 设  ,
+… +ax +a , 2  0 

=  

+1 _ ( )=   )+1 厂  

)=a1 2  +a12 X 2  -

j ((  )   ) ((   - ( ) =   I一 + 厂 )厂 一 ) f  ) 0
) f  ̄ 或  一 ; - ( ) - ()  ) f  .   当n 为偶数时, 一    )+ ( 首项不为  / )
一  

其中 , f 0 a≠ . 2  
取 g )= 2  一1 +a1 ( ( af ( ) 22 一1  + - )  
… + 2 一1 +a. a( ) 0  

0 不 可能 为零 多项式 , , 因此 ,  
收稿 日 : 1 1 — 2 期 2 2— 0 1  0

于是 ,  

) ( +1 . =g  )  

记 (   +l贝  )= (  ) .  )= ,0 g ( )  

1  8

中 等 数 学 

对一道几何题 的赏析  
刘 伟 仪 
( 华中师范大学第一附属中学高 三(9 班 ,3 2 3  2 ) 40 2 ) 中图分类号:013 1 2 .  文献标识码 :   A 文章编号 :10 6 1 (0 3 0 0 1 2 0 5— 4 6 2 1 ) 1— 0 8—0 

笔者在研究叶中豪先生提出的一道几何 
题时 , 发现 了一 系 列 的 优 美 性 质 ( 文 中 引  在
理 中提及 ) .  

题 目 已知△ A C的费马点为 尺, A B、   B △ R   △ B C △ C A 的九 点 圆 圆 心 分 别 为 点 D、 R 、 R  

E  证明 : D F为正三角形. 、 △ E  

本题条件简单 , 证明却有一定难度 , 涉及 
到多个基本图形及引理.  
证明 先 给 出几个 引理.  

引理 1 如 图 1 记 △ B C △ C A、   , R 、 R  

△ AB R 的外 心分别 为 0 、 0 , 心分 别 为  。0 、 。垂 日 、 、 3 则 B、  C、 四点 共 圆 于 o 0     1 . - 1 0 、 Hi : ( =123 , 三 圆共 点于  i ,,)且 引理 1的证 明 结论 几乎 是 显 然 的 ,只    需 注意 
ARB =   BRC =   CRA =1 0。 2 .   AT = C   收稿 日期 :0 2—1 2 1 0—1  9 AO, =1 0。. C 2  
l   冬l 1

则  B     C 2   A 3 Ol C= OA= OB=10 , 2。  
BHl =     C C A= Hz   a - 8 =6 . I3 1 0。  

故 B 0 、 、 四点共圆o0 (= ,,) 、 C/ L   i l23 .  
设 O 0 与 O0 交 于点  则     

由 

( )=   )   )  ( )



P   +1 P ( ( )=   )+1  

g h h x ) h g ( ) . ( ( ( ) )= ( (  ) )  

恒成 立.  

令 Y h  . g h y )= ( ( ) 对  = ()故 ( () h g ) ) ,

由引理 2 知 P  ; 且 t 1 , ( )  , = .  
因此 , 2 且  )=h ( . n=  ,  ’ )  

无穷多个 成立.  
所 以 ,(  )=   )+1 g x +1 g ( .   回到原题 .  

综上 , 使得 满足条件的多项式存 在 的 / 7 ,  
只能是 /=   m ∈ N+ , 7 2( , )且这 样 的多项式 只  可 能是  )=h ( , 中 ,  )= +1‘  ’ )其  (   .  

设 n 2fm∈ N+ t =  ( ,为正奇数) .   由引理 3 知存在 t , 次多项式 P ) ( 使得 
) =P( ’ )  h ( ,  )

【 】 注 本文是笔者在 中国科 学技术大学 
王 建伟 老师 的指导 下完成 的.  

1  8

中 等 数 学 

对一道几何题 的赏析  
刘 伟 仪 
( 华中师范大学第一附属中学高 三(9 班 ,3 2 3  2 ) 40 2 ) 中图分类号:013 1 2 .  文献标识码 :   A 文章编号 :10 6 1 (0 3 0 0 1 2 0 5— 4 6 2 1 ) 1— 0 8—0 

笔者在研究叶中豪先生提出的一道几何 
题时 , 发现 了一 系 列 的 优 美 性 质 ( 文 中 引  在
理 中提及 ) .  

题 目 已知△ A C的费马点为 尺, A B、   B △ R   △ B C △ C A 的九 点 圆 圆 心 分 别 为 点 D、 R 、 R  

E  证明 : D F为正三角形. 、 △ E  

本题条件简单 , 证明却有一定难度 , 涉及 
到多个基本图形及引理.  
证明 先 给 出几个 引理.  

引理 1 如 图 1 记 △ B C △ C A、   , R 、 R  

△ AB R 的外 心分别 为 0 、 0 , 心分 别 为  。0 、 。垂 日 、 、 3 则 B、  C、 四点 共 圆 于 o 0     1 . - 1 0 、 Hi : ( =123 , 三 圆共 点于  i ,,)且 引理 1的证 明 结论 几乎 是 显 然 的 ,只    需 注意 
ARB =   BRC =   CRA =1 0。 2 .   AT = C   收稿 日期 :0 2—1 2 1 0—1  9 AO, =1 0。. C 2  
l   冬l 1

则  B     C 2   A 3 Ol C= OA= OB=10 , 2。  
BHl =     C C A= Hz   a - 8 =6 . I3 1 0。  

故 B 0 、 、 四点共圆o0 (= ,,) 、 C/ L   i l23 .  
设 O 0 与 O0 交 于点  则     

由 

( )=   )   )  ( )



P   +1 P ( ( )=   )+1  

g h h x ) h g ( ) . ( ( ( ) )= ( (  ) )  

恒成 立.  

令 Y h  . g h y )= ( ( ) 对  = ()故 ( () h g ) ) ,

由引理 2 知 P  ; 且 t 1 , ( )  , = .  
因此 , 2 且  )=h ( . n=  ,  ’ )  

无穷多个 成立.  
所 以 ,(  )=   )+1 g x +1 g ( .   回到原题 .  

综上 , 使得 满足条件的多项式存 在 的 / 7 ,  
只能是 /=   m ∈ N+ , 7 2( , )且这 样 的多项式 只  可 能是  )=h ( , 中 ,  )= +1‘  ’ )其  (   .  

设 n 2fm∈ N+ t =  ( ,为正奇数) .   由引理 3 知存在 t , 次多项式 P ) ( 使得 
) =P( ’ )  h ( ,  )

【 】 注 本文是笔者在 中国科 学技术大学 
王 建伟 老师 的指导 下完成 的.  

21 0 3年第 1期 
BT = C   BH, :6 . C 0。   ’  

引理 3的证 明  如 图 2 取 △ D D D 的  ,    3 内 心 , 其 中 , 。 0 、 3 别 是 △ B C、 , 0、 :0 分 R  
△ C A、 A B 的外 心. R △ R   由题 设得 0 F - A .   l B  -

因此 , B A=6 。   T 0,  
BO  +  A BT =1 0。 A 8 .  

所 以, 点  也 在 oD 上 . ;   从 而 , 圆共点 于  三

由 DD_ B   ,_ R,0 0 垂直平 分 A   上    R
0 0 F=L A R= 13 B
=  

引理 2 如图 1 △ D D D 是正三角形. , :  ;  
引理 2的 证 明 将 点  对 应 的 复 数 记   
为  .  
/ A 3  oR

RO3   02
FO3   ,= RO3   ,

由引理 1 知△ A ; , O B是顶角为 10 的等  2。
腰 三 角形.  

j   垂 直平 分 职 . 0,   同理 ,   垂 直 平 分 E 0, R,0 ,垂 直 平 分   

则0 一 (; B 一 即 ; A= 0 一 )e 丁,  
0 : +e B ; A  T —
. 

DR   .

1+ e3    

同理 ,  :C+ T 0, B+e C D e  A _—  T
; ,
.  

故 I =I D E=I F=I 即 R、 ,、 四点  R, D、 E
共 圆.  

2 i g  

0 :一e : 丁D  所以,;   0 =
2 I    

回到原 题   如 图 l 由引理 l知点 0、 ( =12,) , ,   i , 3    均 在 o0 上.    

’  

1 一e   丁

故△ 0 0 D 为 正三 角形. :  ;   引理 3 如 图 2 R为 △ A C 内一 点 ,     , B D 为 过  、 C三 点 的 圆弧 的 中 点 , 为过 A、  、    


由引理 2 知△ 0 0 D 为正三角形. , :  ;   又  R= 0 O cs 2 。 0 0 , 2 2 ;o 10 = 2  且   
R上 A , 2   A , C 0 D 上 c 

C三 点 的圆弧 的 中点 , F为过 A、 日三点  R、

的圆弧的中点. R D F E四点共 圆. 则 、、、  

因此 , R / :     /o D .  
故 四边 形 HR     2O D 为平行 四边 形.  

从而 ,D 的中点即  0 的中点 E     : .  
同理 , D分别 为 R   R : 中点. F、 O 、O的   故 由爱 可尔 斯 定 理 , 对 于 点 正 三 角形  知

R和正△ 0  D 有正△ D F : ; E.  

【 编者注 】 爱可尔斯 (co ) Ehl 定理 两个  s
D,  

正三角形对应顶点连线段的中点是一个正三 
角形 的三个 顶点. ’  

图2  

2  0

中 等 数 学 

21 02年全国高 中数学联赛天 津赛 区预赛 
中图分类号 :G 2 . 9 4 4 7  文献标识码 :   A 文章编号 :10 6 1 (0 3 0 0 2 0   05— 4 6 2 1 ) l一 0 0— 4





选择 题 ( 每小题 6分 , 3 共 6分 )  
) .  

二、 填空 题 ( 小题 9分 , 5 每 共 4分 )   7 函数 Y=1 O ( ∈[ c丁 ) 图  . +CS   一丁 c 的 ,] 像 与  轴 围成 的 区域 面积是  .  
8 已知 六边形 A C E . B D F是 边长 为 2的正 

1 数列 {  的前 n项 和 S . n}  =凡 2 .  一 n 则 
n + 1=( 3 07  

( 3   ( ) 5 ( ) 4 ( 3  A)6 B 3  C 3   D) 3

2 已知 > . .   1则 
(   ) .  

一(  ) 的值是  I   n
( 负数  C)

六边 形 , 条抛 物线 经 过 A、 C、 四点. 一 B、 D 则  该抛 物线 的焦点 到准线 的距 离是  .   .   9 已知 复数 满 足 II , z Ⅱ+bi . z :1 且  =     ( 、 为 实数 ) 则 n+ 口b . b的最 大值是  1. 0 函数 
Y= I —lI+ l 一2I+… + I 一l             0I  

( 正数  A)

( 零  B)

( 以上 皆有 可能  D)

3 在△ A C中, . B 若  A   B为锐角 , 、 且 
sn / i 1+sn B :sn C . i  i   

的最小值 是 
) .   ( ) 腰 三角形  B等

.  

则 对△ A C的形 状描 述最 准确 的是 ( B   ( 直角 三角形  A)

(  - ? n   一 (l 一   卜y )  
l. 2 若对一切正实数 、 不等式  Y


() c 等腰 直 角三角 形

( 以上均不 对  D)
s x- 9 n Y - co 2 > a i       4 - sx


4 设椭 圆 与  轴 交 于  、 . 8两 点 , 于椭  对 圆上 不 同 于 A、 的任 意一 点 P, 线 A   直 P与 

P的斜率之积均为 一 . ÷ 则椭圆的离心率  都成立 , 则实数 0的取值范围是 
为(   ) .  

.  

三、 解答 题 ( 每小题 2 0分 , 6 共 0分 )   1. 3 已知 双 曲线 的两 个 焦 点 坐标 分 别 为  F ( 20 和  ( ,)双 曲线 的一条 切 线 与    一 ,) 20 ,

(3(3(z 。  A B c  ) ) ) ) 去       0 0 0 1(2
s 在 正 四面体 A C 中, ~分 别是  . BD M、
B 、 A的 中点 . 直线 A 和 B 所 成 角 的  CD 则 M N

轴 于Q寺,,斜 为2 交 ( 0且 率 . )  
() 1 求双曲线的方程 ;   () 2 若切线与双曲线的切点为 P 证明: ,  
FP   FP .   Q= 2 Q 

余弦值是 (  

) .  

( ( (了 (鲁 A B c D  ) )   )     2
6 在半径为 1 . 的球面上有不共面的四个 
点 A、 C D, B、 、 且 
AB =CD = .   BC :DA =Y. A =BD =   C  .

1. 4 电脑每秒钟 以相 同的概率输出一个  数字 l 2将输出的前 几 或 . 个数字之和被 3 整  除的概率记为P.  证明 :  

( )  = 1 P) 1P ÷( 一   ;  

则  +     =( Y+   ( 2 A)  ( 4 B) 

) .   ( 8 C)  ( 1  D) 6

( )22 ÷ . 2Po >     l

21 0 3年第 1 期 

2l  
— — — —

l. 5 已知三次 函数 
)= x 础   +c a b C∈ R) 4  + +6 ( 、、   满 足 



} 



——  

--- - -k 

而A = ( B+ )   ÷    c ,  
— —

N ÷ ( B+ )  B= A   ,
1  ≤ ) ( ≤ ≤1-l  ≤1 . )  

}  



—   —

— —} —  

求 a bC ,、 的所有可能取值.  

故 ?= +) +) . 劢商 -   ?   =    ̄B ( (    吉 A
 ̄.A I   .I M :l — l-  


参 考 答 案 


则 

与 删 所 成 



1.   C.

角的余弦值是 
— AM
. 

当 n>1时 , =  一   = n一   a S S 2 3
因此 ,3 1= 4 a +a7 3 .  
2.   B.

2  

了‘  
6 .C.  

设 Y=I . n 则  =   e.  

构 造 一个 长方 体 , 使得 四 面体 A C 的  BD

故原 式 :(   一   0 e) Y= .  
3 A. .  

六条棱分别是长方体某个面的对角线. 此时,  

若 AL > ,   +  詈则 B  
sn A >C SB. i   >C SA. i  O   sn B O   

长体体角长√± , 好 方的对线为   其   恰
等 于外 接球 面 的直径.   故  y +。 8   z: .  
二 、 2   7.  .

故 s  i A+s   n i n
>sn A? O   +sn B? O   i  C SB i  C SA 

作 出四条直线 Y=2 : 一c 丌 Y= , , 7 = , 0  ,

=s ( B i A+  =s   . n i C  n
矛 盾.  

则所给函数的图像落在上述四条直线所围成  的长方形 内部 , 且关 于 Y轴 对称. 在第 一象 限 

同理 , 若  A+ B< , 推 出矛盾 .     也  
所 以 , A+ B: 。        
4 D. .  

内 部 , 图 关 点詈1 中 对 的 分函 像 于 (, 心   数 ) 成
称, 因此 , 这部分 函数 图像与  轴 、 轴所 围  Y 成区域的面积等于相应长方形面积的一半.  
从 而, 整个 函数 图像 与  轴 围成 的区 域  面积 为前 述长方 形 面积 的一半 , 2 . 即 兀  
8.   .  

不妨 设 A( ,)B( ,) P( Y . 10 , 一10 ,  ,)  

则一 斜 为 .  斜 为 . z 率   ,的 率       的 _ z

依 意 l十:吉  题 得一 I一 .  . ?  _
由此 得椭 圆方 程 为  + y 2 =1 .  

建 立平 面坐标 系 , 得  使

A 一 , )B 一 ,)C 1 )D 2 ) ( 2√ ,( 1 ,( , ,( , . 3 0 0    
则 可求 得该 抛物线 方程 为 
:   一1.  

故离心率为  .  
√2  

5.   C.

不 妨设 正 四面体 的棱 长为 1则  .
A B
?
- .  --

故抛物线焦点到准线的距离为  .  
9.   .  

A lA D ÷ , B= ,B?B=  
——   + l — + _ ——  

. 

4 1 .  
 





÷

由 II   z =1

ll   z _1  

a +b :1      

AC? B =— , A   AC? =0  DB .

( a+b ≤2 a +b)= . ) (    2  

2  2

中 等 数 学 

故凸 6  , + ≤ 且当 口 6   时, :: 等号成立.  

相切 , 联立方 程组  则

从而, + 的最大值是为  . 口 b  
1 . 5  0 2 .

l 』寺 _’   1  
y:2  一1,  

注 意到 ,  
l 一1I+ l 一1         0I  

只有唯一一组解. 故关于 的方程 
一  

:?  

① 

≥ I 一1   一 0 I 9, ( )一( 1 ) =  

且等号当  ∈[ , ] 11 时成立. 0   同理 , 2 +l 9I , , I  一 l  一   ≥7 …  
I 一5l+ l 一6 I 1.        ≥  

有 两个 相等 的实根 , 其判 别式 △= , 0 即 

(  (一)  ?。 嘉 一j (1 )  )4 1 一一=  
b一a + = .   4  1 0   ②  由双 曲线 的两个焦 点坐标 得其 半焦距 为 
c=2  .

且等号分别当  ∈[ ,] …, 29 ,  ∈[ ,] 5 6 时成 
立. 因此 ,  
y≥9 +7+… +1=2   5,

且当 ∈[ ,]   56 时等号成立.   故所求最小值为 2. 5  
1. . 1÷  

则 口 b- .  +  -   - 4

与式②联立解得 口 = , = .   1b 3     因此 , 双曲线方程为  一 = ,   1 且式① 
关 于  的方 程变 为 

一  



l (古 i ) m 一    鱼 )  直




1  

: 2  .

lr i a

代人 Y= x—l得 Y= . 2 , 3   这表 明 , 点 P 23 . 切 ( ,)  



 



.  

1 n+1    

l  

n∞   Z   Z ‘ - 几。   + 丁    
1 . 一 ,] 2 [ 33 .   依题意知 
c。s

因此 , 直线 F P的斜率为  .
, 

3—0  

3  

2 n  号     +  …i≤

t Q =, a n = 丢      
其 中 ,: t 2是切 线 P Q的斜率.  

对一 切正实 数 、 立. 不 等式 的左 端 必  Y成 则 小 于或等 于右端 的最小 值 3 .   令 t i 故  =s  . n


又点  与 P的横坐标相同, 则 

FP /  ̄  t   F P 了    z /y t a L   Q=1= 1 t n
t   FP a n ,Q:t   FP   a n 2Q =  FP   FP . = > ,Q= 2 Q 

t+ t 2 t 一 ,] .   a< ( ∈[ l1 )  ̄  

取t :一1得 口 一3  , ≥ ; 取t , 口 . :l得 ≤3  

当 口∈[ 3 3 时, 一 , ] 易证对任 意 的 t   ∈ [ 11 均有 一  a< 成立. 一 ,] t+ t 2  ̄   因此 , 口的取值范围为[ 33 . 一 ,]   三 、3 解 法 1 设 双 曲线方 程 为  l.
一  

解法 2 设双曲线方程为  一 = .   1   由半焦距 c 2 知 口 +   4 = ,   b= .  
又设 点 P(。Y) 则过 P的切 线方 程为  x ,。.
0  
— —



1  .

YY , o   
l  ?

2 一 

n‘ b    ‘

口 

D  

由其直 , (吉,y2 l 于与 线=  ) =— , 一 即 x  2

与 给 切 方 Y2 一)   所 的 线 程 =( 丢,   即

21 0 3年第 1 期 

2 x—Y=1比较 知 
0=2a Y   b .  , o   

证 法 3 n个数 字共有 2    种可 能情形 .  

下面计算其和被 3 整除的种数, 这等于多  项式  ) (   ) =  +  的展开式中 , ,     …等 
项 的系数 之和 , 即 

将 代 萼一o 1 口一 1 其 人   :, 2b . Y 得4 = 
与a b=  +   4联立解 得 a =lb 3   , = .   因此 , 曲线方程 为  一 =1 双   .   从 而 , 点 坐标为  切
( 。Y ) 2   b )=( , )   ,o =( a ,  23 .  

÷ 1+ )  ),   )  + )  

①  

其 , 一+ i 次位, 其 中 =丢字为 单根 是  ∞ 三  
共轭 复数.  

余下同解法 1 .  
情 形.  

。  

l . 法 1 这 凡个 数 字 共有 2 可 能  4证  种

故式① = 2 + ( 1 】 ÷【 2 一 ) .     
因此 , 所求的概率为 

设其中数字和被 3 整除的有  种. 则不 
被3 整除的有 2 一 种.      对于  + 个数字的情形 , 1 若其和被 3整  除, 则前 n 个数字之和不被 3整除 ; 反之 , 对 
于 前 n个 数 字 之 和不 被 3整 除 的每 种 情 形 ,  

【 2  . ?(   +一

可 证川 丢1  p: . 验 p =(p及  ÷ 一 。   。  
1. 题意,  =± , ÷时, 5由 当 1± 均有 


有唯一的第 n 1 + 个数字可使前 n 个数字  +1
之 和被 3整 除. 因此 ,  
+ l= 2 一 .      

1  ≤

) . ≤1  

故 一1 ≤4+a+b+ ≤1  c ,


)  

1 4一 b c , ≤ a+ — ≤1  
  1≤  + a + b 1  

②  ③ 

这表明 , 概率 p = 满足递推关系式    



+ ≤1 c ,  

P = 1 p) 川 ÷( -    
p   一



- 一 + c. ≤ 号 一  号 ≤ 

④  

: ̄P2 1 =  2 0 

÷ ( ) 一) = ÷(    一 p   _ 一)(一)  = 号们. > (   p÷ 。  

1  

①+ ②得 一 ≤8 2  ̄2 从而,≤ 一 ; 2 +b , < b 3  ③+ ④得 一 ≤l 6 2从而 ,≥ =一 . 2 +≤ , 6 3  
因此 , b=一 . 3  

代入不等式① ~ ④得 
口斗 c=0,a +c=0  
.  

p 2 5 ? 2l > -  0

证 法 2 若 输 出 的前 几个 数 字 之 和 被 3  

从而 , c . a= =0  

整除 的概 率为 P ,   则不 被 3整 除 的概 率为  1 p. -  要使输 出的前 n+1 个数字之 和被 3   整除 , 则必须使前 n个数字之和不被 3整除 ,  

下面证明: ) 4  3 满足条件.   = x一x   事实上, 一1   , 若 ≤ ≤1则令 
:CS ( ∈ R) O  t t .   故  )   CS ) = O    t


且此时第 n 1 + 个数字也随之确定.  
所以, 由条件概率的公式得 

4 o 3 一3 o   =c s3 c st c st o  t
.  

P = 1 p)   ÷( -  .  
余下 同证 法 1 .  

又 一1 cs t , 一1   <  ̄ o  ≤1则 3 ≤ 综 上 , 0, : 一 ,= . a= b 3c 0 

) . ≤1  

( 丁龙云 提供)  

中 等 数 学 

21 02年全 国高中数学联赛湖北赛 区预赛 
中图分类号:G 2 .9 44 7  文献标识码 :   A 文章编号 :10 6 1 (0 3 0 —0 2 0  0 5— 4 6 2 1 ) 1 04— 4





填 空题 ( 每小题 8分 , 6 共 4分 )  

最 大时 , P=


. 


1数(=  -   )√ 函  
2 已知 3 i t 2i =1  .  nO+ s   s n ,

的域 数.则  值为

8 设 [ 表 示 不 超 过 实 数  的 最 大 整  .  ]

[  

] =  

3 s  t CS ) 2 s 卢+ O ) 1 (i O+ O  一 (i n   n CS   .  

二、 解答 题 ( 5 ) 共 6分  

则 CS ( + O     )= 2  

.  

9 (6分) .1 已知正项数列 {  满足  a}

3 已知数列 {  满足  . a}

V nn + nn  a + a + a 1 02


n 数 为   a  N+, . l 』, 。 偶 ; 1E  a+ : 等
【Ⅱ + ,a 为奇数. 3  1    
若 a +a + 3 2 , a = I 2 a = 9则 I


4 /rnI 口 +  aa++ 2 3 i 川

,  

且 a = ,  8 求 {  的通项公式. , 1a = . a }  
1.2 O (0分 ) 已知正 实数 a b 足  、满
口  +b  =1   .

.  


4 设集合 S 12…, } . :{,, 1 , a, , } 2 A={ a a       
是 5的子集 , 且满 足 
a1< a 2<a3 a3一 a , 2≤ 5.  

且  a +  +1= ( b+1 。 。 b m a+ ).  

求 m 的取 值范 围.   1. 2 1 ( O分 )已 知 E( n) 抛 物 线  m, 为 .  

则 满足 条件 的子集 A的个 数为 
5 过原 点 0的直线 l . 与椭 圆 

y 2x p> )内一定 点, E作斜率分别  _ =p ( 0 2 过
为 k、 的两条 直线 ,  k 与抛 物 线 交 于点 A、   B、 C D, 、 且  、 别是 线段 A C Ⅳ分 B、D的 中点.  

c + 1口 b 0 : 鲁= (> > )    
交于  、 Ⅳ两 点 , P是 椭 圆 C上 异 于  、 的  Ⅳ

( ) 凡= , kk =一 时, 1当 0且 l 2 1 求△ E   MN 面积的最小值 ;  
( ) k +k = 2   2 若 1 2  ( #0,为常数 ) 证 明 : ,   直线 MN过定点 .  

任一点. 若直线 删 、N的斜率之积为 一 1 P _ _
,  

则椭 圆 C的离 心率 为 

6 在A A C中 , A B 2A 3  . B 设  = C= ,C= , 0为△ A C的内心. B 若  :   +   , p g 则 
卫 :  
g — —
一 . 

参 考 答 案 

 

、【  10 .,

7 在长方体 A C AB CD 中, . B D—   .. . 已知 
A 1B C   ,B = . 当长方体的体积  C= ,  = A . J 则 P

取 A=   ) 0 则  ,( t . > A +( A一1 + A一1=     4   7 0

21 0 3年第 1 期 

=  △=( A一1 一 A 7 4 ) 4 ( A一1 /0 )   >

一  

当a =   9时, a 依次取 1 、1对应的  则   0 1,
a 能取 2+1= 3 3种 ;  
当 a =1 . 0时 , a 取 1 , 应 的 a 则 : 1对 ,能  取 1种.  

≤ A ≤ 

1 0 ≤    ≤吉 A

)【  ∈0 ,
2.一   .  

所以, 子集 A的个数 为 
5 6+ ( 5+… + )+ 1 6 3+ = 8 . 1 7× 0+ + 1 15  
5.   .  

由 3i a+   s Z  n 【(i +   ) - (i 卢+ O / :     s   CS   2 s 卢 CS3 :   3 n O n  )= 1

当Z 为  轴 时 , M( ,)N( ,) 则 一a0 , a0 .  
故 取 P( , ) 0b.   于是 , = ,P = 一 .      Ⅳ    

fcs a+ cs J: , 3o 2 2o 2 3     9

① 
② 

j 【s  2n =  3i2 s  o n a一 i
.  

将式① 、 ②两边平方相加得 
cs ( 。  卢+a 2 )= 一1 下
.  

因, =   此(  .  
e =  = 

3 5  . .

若 a = k 1 k N) 则  ,2 + (∈ ,
a 2=6 k+4, 3=3 a k+2  .

6 . 喜 
取A c的中点 D, 则  =了 3删
.  

由 a + 2 3 9: 1 a +a =2  k=   a = . 2 15  

若 a = k k∈ N+ ,   2( ) 则 

又 A— = 一OD +A— —  —- — O — - - -÷   -  -- D 
。  :  :

f |偶 ; 【 i数   }   , 为
3 k+1 ,k为奇数 .  

= 一_ (   3 A  


A) 7   — + A  B   C

又 a +a +a = 9 故 k不 可能 为整数 .   2 3 2,  
= 一

4.1 5  8.

手 一 )~  (   +A   ? C
c+  
t  

由于子集 A要满足条件 
al<a 2<a a3一a 3, 2≤ 5,  

’  
=  

B,  

t  

于是 , 采用 分类 法求解 . 可   当 a =k 1 ≤6 时 , 当 a   ( ≤k ) 则  =k+1  ,


从而, 妻. 卫=  
口  Z 



7时 ,, a 均有 5种可 能 , 故有 5 7一 ) ; ( k种  

7.  

当 a 依 次取 8 9 1 、1时, 应 的 a   、 、0 1 对 ,  
能 取 4+ 3+2+1=1 . 0种  

记从 一 个 顶 点 出发 的 三 条 棱 长 分 别 为 
a、 C  b、 .

当a=   7时 , a 依次取 89 1 、1对  则   、、 1, 0
应 的 a 能取 4+3+ 3 2+1 0种 ; =1  

根据题 意 知 
a  +b  =1.   b  +C  =2.  
a  +c p =t>O    

当a =   8时, a 依次取 9 1 、1对应  则   、 1, 0
的 a 能取 3+ 3 2+1 =6种 ;  

中 等 数 学 

( , , .     罔  
则体积  :  
22 √ 
一  

a = (  1  ]  川 [ 4 一 ) 一1a.  
于是 , n>1时 , 当  

a =[4 一 一 ) 一1a一   (“ 1  ] 1    


[ (  ~一 )一 ]( 1 1[    ~一 ) 一 ]  1 1口一    
… =

至王正互  ( ≤p =t ) 1   ≤3 .  
2  



Ⅱ [4一 ) 1a ( 1  .      

设  t )=一t + t t 2   3 + 一 .   由I ( ) 一 t 6 +1=   厂 t = 3 + t   0



Ⅱ [4一 )一 ] ( 1 1.      
r   1, n=1;  

= t 丁 2 ̄ = =  ̄4 > 3
. 

跏  [-2] . n矗( 1 1   { 4) ,   - 
,  

4- 3  ̄ t 3+2 c时 =


取最大值, 此时,  

1 =s =  <  则 0 c s (    冷口 。 i 0 <   n
C S 0+sn 0+1 O  i   
一  


p=  

( S   n0+1      +s    ) 0 — i   CO

8.   2  2 01 .

( S + i (0 0 C  ?n + i0 +  C   s  )o   一O s  s 2) 1 O0 n s S i0 n

因为 20 2= “一   2 , 以 ,  1 2 2 一  所  

(0 0 s 十 ) C   +i 1 8 n  

[  
= 

】  


令 = O 0 s   则  CS + i   n

丢 】  

= s0詈∈1 ]  i +)( , n   ,   





 

cs 。 

i  = n  

.  





1.    



( m一   2 2 2 一 )+(   一1   2 一2 )+
(8  ) ( 一 ) (6 1 +( 一 )   2 一 +  2 + 2— )   1 +
2 +2 +2 +2 + 1        
:  



2 01     2.


2+ 一    2.  

2一  

二、.将等式两边同时除以  9

得 

2 x+1 一 ( ( ) 2 x+1  )
3   l  
一  

/+n : l竺 + l — 2 4/+  3 a + —  
a n+l   an  

。 

√筹小4 a ) ¨+   n / a I +      l.   1    
令 b=   
b 1=4,   l b b + =4   b  =4 ~ b =4 . “ l “  

因 函厂) 可一在1 ] 为 数(=    ÷ (   ,  
上单调递减 , 所以,   , ) ( ≤m< 1 .     )  

Y(:,Y=/4  -1 ÷I )丁 -则 f) ( 3 , 4  ̄ 2 - -


所以 ,  

+1=   即  4,

m [ ̄4 1 ∈3 4 ) .  


,  



21 0 3年第 1 期 

2  7

1记A,l— +( ) 1 zXt n m . . B=( )     : y


所 以, E N面积的最小值为 P. △ M    

代人 y = , 2   得 
Y  一2 tY+2 t n— p =0  p1 p1 m .

(  丽等  2 ) 由
l  

设 A x ,1 ,  2Y)则  ( 1Y )B( ,2.
Yl+Y2: 

( z詈 ”t一  )
知直 线 MN 的方程 为 

l  2 1Y + 一2 )+ m + =t( 1   n 2 

= l2  一 n 2 . t(p 2 )+ m  故 M(t rl p 一t +m,t) t p1.  

Y pl   — _ 一 — t= —   — —

■ 一 pi n1 , ] 【 [ (t一 t+孔 j   )  

( z詈 ”£一   )
, ,

记c =( +( ) zxt o 2 m . "      
同理, ( ; n + ,2. Np 一t mp ) t 2 t 
( ) 凡=0时 , 1当  
E( 0 , p + p I , m, ) M( t m,t) 

( 詈- ̄ m ① ” )t一 ?   p t   2
=  
,  

又 一  z= 1 + 1 +    

l=  ̄ t : T+ 2 t
,  

代人式①得 

N p + ,2 , (; mp ) t t  
IMI pl / +   E =I  ,1 t, t

IN =I2,1 t. E I p  / +;  tl
又 kk = 一1则 t2 l2 , l =一1 t .   故 .   : I IE   s △   E   NI I
1  
:  

y 号   )   一m   (+ y号= 一  t 一) + m    (   ?
当 Y一 _ 0时 , y— = ,  l =  +n m 0 即 
A   1 9  

l  l p   2



 

f  , y   =

I一  号 :  m
为方程 的一 组解.  


:  

≥ 

=p    ,

从 , 删恒定 (一,. 而直 线 过 点m号 )   
学 

当且仅 当I I t = 时, t =I I 1 上式等号成立.      







atat 赛 的 必 胜 宝 典   t -, : 竞 3

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中 等 数 学 

2 1 年全 国高中数学联赛 吉林赛区预赛  02
中图分类号 : 44 7   c 2 .9 文献标识码 :   A 文章编号 :10 6 1 (0 3 0 0 2— 3 0 5— 4 6 2 1 ) l一 0 0  





选 择题 ( 每小题 6分 , 3 共 0分 )  

A =S    

1 已知 等差数 列 {  满 足  . a}
a l>0, a   8 1. 5 8 a3  

() C 数阵中第 行的数字和表明集合 A  
含有几 个元 素 

则前 n项和 J 取 最大值 时, s   n的值为 
(   ) .  

( ) 阵 中所 有 的 凡 个 数 字 之 和 不 超  D数  
过 n 一n+1    

( 2  ( ) l ( )2 ( A)0 B 2  C 2  D)2  3

二、 填空题 ( 每小题 6 , 3 分 共 0分)  
6设 数列 {  的前 n项 和为 . , . a} s 令   
,   丌

2 若集合  .

S ={ , I ( + + ≤1 l x y } 。 ( y l 1    ) +g + ) , x )g (  

. s 1+. s 2+ … +5  
— —   一

s = (, I(+ +2≤ +g + ), 2 { y l 2   )) 2 l x y } x )g , (  
则 . 的 面积与 | s   s  的面积 比为 (  
( A)9 1 9:  ( C)1 1 1 0 : 

,  

) .  

称  为数列 a , …,  均数” 若数列   a , a 的“ .
a ,2 … ,15 均 数 为 202, 数 列 一1  la , a  的 0 0  1 则 , a ,2… ,15 la , a吣 的均数是
— - -   — — —   — — —   — - —

( B)1 0 1 0 :  ( D)12:  0 1

.  
— —

3 若一系列 函数 的解析式相 同, . 值域相  同, 但其定义域不同, 则称这些函数 为“ 同族  函数” 那么 , . 函数解析式为 Y 一 , =   值域为  { , , 9 的同族函数共有 ( 0 一1 一 }  
( 7 A)  ( 8 B)  ( 9 C)  4 设 方程  .

7 已知 P是 △ A C所 在平 面 内一点 , . B 满 
_’ 

足  一  一 C= C 则 △ A P与 △ A C的  P P B. B B 面积 之 比为  .  

)   个.
( 1  D)O

8 方程 2  一1 s . ( )i n戤 +1=0在 区 间 

[ 24 内的所有解之和等于  一 ,]

.  

9 在△ A C中 , . B 已知  为边 A C的中点 ,   A 3B B= ,D=B △ A C的 面积 为 3 则  A C, B .  

lx()0l ()0 o -   -g 一    g } = ̄ ̄ ÷ = 4   o
的根分别 为  、 . (   则   ( 0< I2   A) x  <1 ( 1<   <   C)  l2 2 S={ ,, ,} 12 … n  ) .   ( x  =1 B)12   ( x 2 2 D) l i    >

1. 0 函数f x 的定义域为 D 若对于任意  () ,
1、 2  

∈ D, 当 1  时 , < 2 都有  I≤ )   2, )则 

称 函数f ) D 上 为 “ 减 函数 ” 设 函数  ( 在 非 .

5设 A , , A ( ≥ ) . 。   …,  n 4 为集合  A

) [ ,]上为非减函数, 在 01 且满足以下三 
个条件 :  
() 0 1  )=( )  0 ;

的 /个不 同子集 , 了表示这些子集 , n 7 , 为 作   行/ 1 , 列的数阵, 规定第 行第 列的数为 
f   o, A; j  

n   ∈   1 1 A ,i
则 下列 说法 中 , 错误 的是 (  
Al=  

( 詈= 2 ) )    
( ) 1  )=1   ) 3  一 一 .  

) .  

( 数阵中第一列的数全是 0当且仅 当 A)   () B 数阵中第 n列的数全是 1 当且仅 当  

则 )  =   +-   4) ' 8
三、 解答题 ( 每小题 1 , 6 分) 5分 共 0   l. 1 已知数列 {  满足  a}

21 0 3年第 1 期 
口1:1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5  a 口 a 口 .

2  9

表示 圆盘: 一0 +( 一 )≤498  ( 5) Y 5    9, 0
面积 为 49 8 .  9 n   因此 , 面积 比为 1 2 1 0 :.  
3 C. .  
1×3 X3 =9.      4.   A.

当n 5时, l 0口…口 一 . : ≥ n+ = l 2   1问 存在  多少个正整数 m, 使得 

口0…0 =   口 + +    1 2 m Ⅱ + ; … 口?
l . 1若对任意的 0< 1 2 ()  < 都有 
(   ) 2一 1+ (  )< M 

成立 , 求常数 M 的最小值 ;  
( )怔 整数 凡 , 2叉 ≥3若  , , , ∈ R+    …  ,
且 l  2 + +… + =1 证 明 :   ,  
1  

显然, = .   ÷ 

设 =4 ()    )ox ÷. l-  g   则
2 一】 几   >一 2 ‘  



+  

1   +1   

】  

+;   

一 +1  

+:   

1  2 <   l< < . ) ) 0j   l 2  
5 C. .  

1. 3 在锐角△ A C中, B 已知 A H上 B C于 
点 H, P为 高 A H上 的一 点 , P作 A 的垂  过 B

当  , , A   …, 中一个为 S本身 , 其余 
n—1 子 集 为 S的互 不相 同的  一1元 子集  个

线与△ A H的外 接圆交于点 D、  过 P作  B D,
A C的垂 线 与△ A H 的外 接 圆交 于点 E、  C E.   证 明 : D 、   四点 共 圆 , D、 E、 并指 出所 共 圆 的 
圆心.  

时, 数阵中所有 的 n 个数字之和最大 , 为    且 n 一 +1因此 ,   n . 选项 D正确.   数阵中第 行的数字和表明元素 属 于 
几 个子 集. 因此 , 选项 C错误 .  
二 、 20 . 6.   09 

1. 4 已知数列 {  的通 项公 式为  血}
口  =2 01   2+3n  .

求所有 的正整数 n 使得数 列 {  的前  , 口} n 项能分成两部分 , 这两部分的和相等.  

设A  =S +s +… +  贝  1| 2 s. 0
ro - , ̄   l0 5  0  一   0 一‘    =10 5圳   t -   z

参 考 答 案 
— —

从 而 , 嘶 =   1    0 . A1 20 2Xl0 5  



1 B. .  

i 16   ̄To-   o


由 5 s a3 a =8 1  
5口 +d = (1 2) ( 1 7 ) 8 0 +1 d 


二  

10 6  0  

±   :  !



l+2×l 0 5 。。。  …   ‘ ’ 0   

20 .   09 

j  d= 一  

7. 2:1  .

由 Ⅱ =口 +(   l 凡一1 d ) 

由P a—P B—P B   C= C
= P —PB —PC =PC —PB    A


=+ _( n≥ a ( 1一 .0 ln )言 ) 
j  n≤ 
j 

2P   C为 P的 中点 .  e  

.  

故 △ A P与△ A C的面积之 比为 2 1 B B :.  
8. . 8 

所 以, 数列前 2 项都是正数 , 1 以后各项 
都是 负数.  

因为 Y s    2i7 nc Y 一  与    

的图像 都 

故前 n 项和 5 取最大值时,   n的值为 2. 1  
2.   D.

关于点 ( , ) 中心对称 , 8个交 点 , 10 成 共 所 
以 , 和为 8 其 .  
9  . .  

.表 示 圆 盘 :  一5  +( s 。 ( ) Y一5)  ≤4   9, 面积 为 4 n 9.  

中 等 数 学 

如 图 1 过 点 B作   ,

B lA E_ C于点 E  _ .
设 B  , E=  
AE =)  , . A  
D  E C    

= l …  a 2. 一 ) a 一 ; …一 口 2 口 1 n 1 一   a 一   口 ao   . : (1 …Ⅱ 一 ) 一n 2   1 口   = 1 …0 一   a 一 一 : 1 a 2   a 一   … a 一  0



b  一ln 5 . (i ) >  

则  +   9  Y= ,
SZ4BC  S


图 1  

这表明,b } { 从第 5   项开始构成一个 以  
b =6 首项 、   5为 一1为公差 的等差 数列.   易知 ,1 0 b≠0b ≠0 b≠O  b = ,2 ,3 ,4 . 当 ≥5时 , l   . b+ =b 一1   故 b =b +(O一 )×( )= . 7 5 7 5 0 一1 0  



4  
×  

=  



3?  

故  :   y:

.  

因此 , 满足题 意 的正整数 m = 0或 1 7 .   1 . 1 一方 面 , 2 ()  
(   ) 2一 <2 0>一 ( 1+ 2 (  )      一1   ),

从, =   而   詈.


1}  0. .
由()( ) 1 、3 得  1 )=1 .  

当 0  < 时, < 1 显然成立.  
另一 方面 , 当  0 或  — 1 时 , ( )  
(   ) 2一   2 1+ (  ) .  

在() 3 中取  = 1 得   


所 以 , 的最小 值为 2 M .  
( ) 1 知  2 由( )

丢=   ) 1 . ) 一1     )1 = 
在() 2 中取  :1得  ,

南> (    
1   】  

?.   
1   2 一1 n  

÷=f)1 )21 . - =  1 - (
又函数是非减函数 ,     则  了 5<1 1<


将上面 n 个式子相加得 

+  一   碡 +
圆 , 以 ,E上 E   所 A C;

> T

‘  

1. 3 因为 A lB 且 A、 c E 四点共  H- C, - 日、 、 因为 A 上 B 且  、  、 四点 共 圆 ,   C,  、 D  

) . =  丢
在() 2 中分别 取  = ,     1
,  


得 

所 以 ,D上 D . A B 

而A _ C Pj B  

) ),, = =      ÷ ) ÷= . = )     ÷ 再函是减数11吉   由数非函 ,<<,    得 ) . =  } 所 , ) ÷= + = . 以 + ) 丢÷     丢  
三 、1 记  1.

P  一P  :A B C B 一A   C


( D + B ) A   E   , ①  A   D   一( E + C )  

P D上 A   P   P   A 一D   B A 一 B =D   B ,②  

上 C   P   P   E   E   ③  A C 一 A = C 一 A. ①+ + ② ③得 
2A ( D 一A   E ):0  .

所 以 , D= E  A A.

又D   D 上直径 A E   B,E上直 径 A   C
AD =AD . =AE  AE

b = I …口 一   a 一 一 2n 1   a 2   a 一 ; … 口( ≥ ) n    
顷I . I  =n n …0 . 一口   6 ,  .  一口  一… 一口    ,

D、 E、  D 、 E四点共 圆 , 其圆心为 A  .

1. 4 易知,a } {  为等差数列 , 且 

21 0 3年第 1 期 

3  l

20 国国家队选拔考试  05美
中图分类号 : A 4 7  C2.9 文献标识码 :   A 文章编号 : 0 5 6 1 (0 3 0 — 0 1 0  1 — 46 21)1 03 ~ 5 0

1 给定 整数 n  >I , . ( ) 对正 整数 m, 令  S  ={ , , , n} 12 … m .  

元子集 ;  
( ) 族  中的 任 意两 个集 合 至 多有 一  2集

集族  满足如下条件 :   () 1 集族 .  中的每个集合都是 s  的 m  

个公共元素 ;  
( ) 的任意一个元 素恰 出现在集族  3S

. =   1 n+   n+1 . s 20 2  _ (   )  
厶 

=  l + 4 + ), 2O2 ÷(k    i  
T。=   ,  

要使数列前 n项 能分 为和相 等的两部 
分 , S 能被 2整 除. 则    
所 以 , 兰0 mo  ) n+1 ( d4 . n ( d4 或 -0 mo  )  
( ) -o m d4 . 1 n ( o  )  

从而 ,  应满 足 

21+ ( i ̄0j34      寻 1 ) 21+ ( +  0 2 +i  2 k )
4  一8 I 2 0 4 +9  +4 0 3 +1 l   k k  1 > Z   3 l 2k j  k 4  一8  ̄ 2 0 4 k   1  >
k≥ 2   4

则 n= J k∈ N+ . 4} i ( )   由 a +a =a +a— =… =a +a l 1 n 2 nl 2 2+,  

知从这 2  组数中抽出 k 组作为一部分 , 其余 
的为另一部分 , 可使这两部分的和相等.  
() 2 n+1 ( o ) -0 m d4 .  
则 n= k ( 4 一1 k∈ N+ . )  

n=4 k— l 4 X2       4—1=9 . > i 5 

当 n:9 , 2 5k= 4时 ,  

设第 一部 分 有 i , 二 部 分 有  项  项 第 (  i  n ,  > ,+ = ) 两部分 的和分别为  、    . 若 T= , 1   则 
T -20 2  — ( d3 , 1   1 i   mo  ) 


∑(0 +n 一 2 1+几 =9. 2 1 3) ∑(0 3) 2    2  2 4
因为 24 6= 9 将第 l 9 ÷ 4, 项和第 5 项交  O 换, 所以, 两部分的和相等 , 即将第 2项至第  5 0项分为一部分 , 其余 的分 为另一部分 , 则  两部分的和相等.  
当 n> 5 且 儿= k 时 , 9, 4 一1 可将 n表示为 
n= 5+f 2 )X . 9 k一 4 4  

20 2  - ( o   )   1j j m d3 .  

所 以 ,- ( o  ) 即 i j为 3的倍数 . i j m d3 , -  

又 i   4 —I + = k 为奇数 , i j 故 - 为奇数.  


设 i j 3 2 + ) f N)则  - : (Z 1 ( ∈ .


于是, 9 前 5项 按 照 n=9 5划 分 , 后 
4 k 2) ( 一 4 项按照 ( ) 1 的方法划分. 这样 的两  部分的和相等.  

2 k+3 +1   =2 / , k一3 一2  Z .

又 T ≥口 i l+a +… +a 2  


综上 , n∈{ I N+ u 4 k∈   } 

2 1i ÷( + ),   2 + 1     0
厶 

{J 1k∈ N+ k 2 } 4 一  i f } , ̄ 4 . >  


≤口+   l+ a +   2+ …

+a   4

l  

( 郭  民 提供)  

21 0 3年第 1 期 

3  l

20 国国家队选拔考试  05美
中图分类号 : A 4 7  C2.9 文献标识码 :   A 文章编号 : 0 5 6 1 (0 3 0 — 0 1 0  1 — 46 21)1 03 ~ 5 0

1 给定 整数 n  >I , . ( ) 对正 整数 m, 令  S  ={ , , , n} 12 … m .  

元子集 ;  
( ) 族  中的 任 意两 个集 合 至 多有 一  2集

集族  满足如下条件 :   () 1 集族 .  中的每个集合都是 s  的 m  

个公共元素 ;  
( ) 的任意一个元 素恰 出现在集族  3S

. =   1 n+   n+1 . s 20 2  _ (   )  
厶 

=  l + 4 + ), 2O2 ÷(k    i  
T。=   ,  

要使数列前 n项 能分 为和相 等的两部 
分 , S 能被 2整 除. 则    
所 以 , 兰0 mo  ) n+1 ( d4 . n ( d4 或 -0 mo  )  
( ) -o m d4 . 1 n ( o  )  

从而 ,  应满 足 

21+ ( i ̄0j34      寻 1 ) 21+ ( +  0 2 +i  2 k )
4  一8 I 2 0 4 +9  +4 0 3 +1 l   k k  1 > Z   3 l 2k j  k 4  一8  ̄ 2 0 4 k   1  >
k≥ 2   4

则 n= J k∈ N+ . 4} i ( )   由 a +a =a +a— =… =a +a l 1 n 2 nl 2 2+,  

知从这 2  组数中抽出 k 组作为一部分 , 其余 
的为另一部分 , 可使这两部分的和相等.  
() 2 n+1 ( o ) -0 m d4 .  
则 n= k ( 4 一1 k∈ N+ . )  

n=4 k— l 4 X2       4—1=9 . > i 5 

当 n:9 , 2 5k= 4时 ,  

设第 一部 分 有 i , 二 部 分 有  项  项 第 (  i  n ,  > ,+ = ) 两部分 的和分别为  、    . 若 T= , 1   则 
T -20 2  — ( d3 , 1   1 i   mo  ) 


∑(0 +n 一 2 1+几 =9. 2 1 3) ∑(0 3) 2    2  2 4
因为 24 6= 9 将第 l 9 ÷ 4, 项和第 5 项交  O 换, 所以, 两部分的和相等 , 即将第 2项至第  5 0项分为一部分 , 其余 的分 为另一部分 , 则  两部分的和相等.  
当 n> 5 且 儿= k 时 , 9, 4 一1 可将 n表示为 
n= 5+f 2 )X . 9 k一 4 4  

20 2  - ( o   )   1j j m d3 .  

所 以 ,- ( o  ) 即 i j为 3的倍数 . i j m d3 , -  

又 i   4 —I + = k 为奇数 , i j 故 - 为奇数.  


设 i j 3 2 + ) f N)则  - : (Z 1 ( ∈ .


于是, 9 前 5项 按 照 n=9 5划 分 , 后 
4 k 2) ( 一 4 项按照 ( ) 1 的方法划分. 这样 的两  部分的和相等.  

2 k+3 +1   =2 / , k一3 一2  Z .

又 T ≥口 i l+a +… +a 2  


综上 , n∈{ I N+ u 4 k∈   } 

2 1i ÷( + ),   2 + 1     0
厶 

{J 1k∈ N+ k 2 } 4 一  i f } , ̄ 4 . >  


≤口+   l+ a +   2+ …

+a   4

l  

( 郭  民 提供)  

3  2

中 等 数 学 

中的两 个集 合 中.   试 求 m 的最大 值.  
2 已知 锐 角△ A A A .     ,的外 心 、 心 分 别  垂

另 一方 面 , 由条 件 ( ) 知 l n l , 2 ,     ≤1 
于是 , UI  . l ≤c  

为 0、 点 P 、 1   ) H,  Q ( ≤ ≤3 分别 在线 段 0 i A、   A A ( Ⅲ =A ) , 得 四 边 形 O     … m A i上 使 PHQ
是平 行 四边形 . 明 : 证  
OP  + ’OP +     ≥ 3  . ’OP ~  


故m ≤ ;: nc    
m ≤ 2n 一 1  .

: (n 1 ,   n2 一 )即

利用归纳法 构造一个 m= n一1的例子. 2  

对 n 2 m= , = , 3S  :{ , , 6 , 12 …, }集族  {123 , ,,} {, 5 , ,,} {,,} { 56 ,1 ,}{ 46 } 4 3 2  
符 合条 件.  
假 设 当 n=k时 ,  

3 对于 正整数 n S表示 由所 有 系数 均 为  . ,

不超过 ! 的正整数 的 r次 多项 式 P( 构成  t  )

的集合. 若对 于多项 式 P( ) 戈 和任意正整数  k序列 P 1 , ( ) …中有无穷多项与 k , ( )P 2 , 互  质, 则称 P  ) “ 的” 证 明: ( 是 好 . 集合 J中至  s
少有 7 % 的多项式 是好 的. l   4 已知 1∈ N+ 口 ,2… , ∈ R, . 7 , ,10 , 口 且 

S  ={,, ( 一 ) } 2 12 …,   1k ,  


{ , , , }     …   

满 足条件.  
当 n=k +l时 , = k+1  m 2 ,

. +={,, (.一 ),l 2o,虢 1, s l 12…,2 1ka,  oC +} 觋 i } 09  t  o     其 中 ,  2 0 =(k一1 k ( ) +i  =12 … , +1. ,, 4 )  

) ∑  ,  = = g ) ∑  (
厂 有 一个小 于 2 (  )  的正根 .  

.  

令  。   u{, : , u{ , }…, ={ 0, } Ⅱ   n口 ,   , 
u {4 l0  , +, +}  0^ ,4} 一  ^l   2,

如果 12 是 多 项 式 g( 的根 , 明 : 、   ) 证  


其中, + ={ 1 3…,4 }   l C , , 0… , tⅡ  
+ ={2n , ,4+} 2 0 ,4…   1.  

5 试求 出所 有 由平 面 上有 限个 点构 成 的  .

集合 5 使得对任意三个点 A B c∈ s 总存  , 、、 ,
在一 点 D ∈ s 其 与 A、 C三点 构 成一 个 平  , B、
行 四边形 的四个顶 点.  

经验证 , 集族 

合条件.  

故 由归纳 原理 , m = n一1 以取 到. 知 2 可  

综上 , 所求 m 的最 大值 为 2 n一1 .   2 记 △ AA4 .    的外 接 圆o0半 径 为 R,  
AAA =   AAA =   AAA : 312  , 123 卢, 231  
PCB,  

6 已知 0是不等 边锐 角△ A C的外 心 , . B   点 尸在△ A C内 , B 且满 足 
PAB =  PBC,   PAC =  

如图 1 延 长 A Ⅳ, o0交 于点 H . ,   与    

点 Q在 直线 B C上 , 满足 Q 且 A=Q . P 
证 明 : A P=2 O B    Q   Q.

参 考 答 案 
1首 先估计 m的上 界. .  

考虑集合  U { , , ) ∈S ,  , 、 ∈ = ( { 瓦}l         ≠       i  n } ∈   .   由条件 ( ) 知对 . 3, s  中的任意一个元素 

\ \

   ;
图 1  

i , 有且仅有一对{ , }   { , )       , , 瓦} ∈ 使(  
因此 , UI    = n I =I I m .   S  

由 AH_ AA , I 2 l 3 AH上 23 - A 

21 0 3年第 1 期 
A3 H =  A2 A3   =9 A1 0。一    .

3  3

事实上, 若存在一 个这样 的 g 则 P(   ,  )
不是好 的.  

由 A 、:  、,四点共 圆知  。A 、 A
A3 H1= Al   A3 H1 A2 .  

反过来 , k 设 为任意一个正整数, 其所有  质约数分别为 g , , , . ,q … g 若对所有 q, :    存 

贝  AA H,   A A H  0 3  = 32

同理 , AA HI   AA麒    23 = 23 从而 , 四边 形  日A Ⅳ是 以直线 AA 为  。, :, 对 称 轴 的轴对 称 图形. 故 
Q H=Q H  Q H 。   Q H 凰      ,  H =    。

在  ( o f使得对 a   ( o i , g m dq) 兰 im dg) 有   Pa, ( ) 由中国剩余定理 , 知对所有 
z ( dqq…a )  E口 mo  l2   , 均有 ( , ( ) k P z )=1 .  

由 Q /O  得    / A,
1 = Q H = Q Hl .  1   1 Hl   1 A1   又  1    O A , H = H  l则 

考虑多项式 P  ) g 所得 的余数 , ( 模   其 
中 , 是 一 个 质 数 , 构 造 一 个 次 数 至 多 为  q j 可

g 一 的多项式 P ( , f1 f 其与 P x 模 g所得 的  ) () ,  

O A = QJ A . H1 l     】 HI  

余数相 同( 由费马小定理 , P( )  ‘ 将   中 的系   
数取为 P x 中形如  ( ir d(  1 )  ()   ( o g— ) ) o
的项 的系数 之和 , 并令 P ( 和 P( 的常 数     )  ) 项 相等 .  
注 意 到 ,j x -0 ro f至 多有 g 一1 P < ) ( dg) o ,  

注意到 , 0 和 Q 在 A 。 同侧 , 点 。 H 的 从 
而 , Q 、 三点 共线 . 0、 .H.  
又 由 O  = H=Q H , P Q, 。 。得  O   O 1 S oQ Ql Q  A A l 2  O   QI   S Q 2 Pl Hl A 一  0 2i  O 2 1 As n A Q 


个根 , 存在  使得 对 a   ( o   , 故 ; m d9) 有  q ( ) 因此 ,  ) j  P 口 . P( 是好 的当且仅当对所 

A 1n Q12   2    s i A Hl
Rsn i 


有质数g 有P() 0md 1  f f ≠ (o ) ,   g.
当  ≥3时 , 任取一个系数为不 大于 n  !
的正整 数 的 n次 多项 式.  

O 23 A A 
3 日1 A2   一  

A2  i   日l n s
一  

!  

2 cs ?O  R o  C S

2 o p?O  ‘ cs CS  

由P 0md )g= ) 率为     (o 2(。 2的概   ÷;
P -0 r d3 ( = ) : ( o  ) g 3 的概率 为  , o 故 
P -0 r d2 和 P -0 m d3   1 ( o  ) 2 ( o  ) o

同理 , Q   2 O
=  

co  s


l f
。  ,  



O 3 Q 旦   O 3 c s ?O 卢‘ P —2 o  CS  




 

同时成立的概率为 

?  

于 是 , 论 等 价 于  结
2 o  CS cs O 




l f 一 C 2 C 而  +cso O  + cso '  J≥3. O  。 oc S 。 ocs O B   S           yS ~     一 s O 2 ‘ t 卢 ? ’
. .

若质数 g n 则所有 的系数模 g 的余    , ,
数 相 同. 于是 ,  -0 r dg) 尸( = ( o  的概率 为   ) o

根据均值不等式知只需证 明  
3厂 —— —— —  —— ——一  

≤ ( >)   q 3. J  
若 n g≤n , P ( < , !则    )=  ) 于是 , P( .  
P( ) 0 m dg 当且仅当 P ( 的所有 系  f - ( o f 戈 ) ,  ) 数均可被  整除 , 其概率至多为  ≤ .    
q  i q  i

3 s. /o , √ceo3 s   8  c .  o1s cy
即 c ̄O ‘s≤ ,然 。'S cy 寺显 ? sC卢 。    
3 首先 证 明 : . 多项 式 P x 不是 好 的 当且  ()

仅当存在一个 质数 q 使得对所有整数 k , 均 
有 qP( . l  )  

若 / <  7 g, , ! 则 
P( f  )= x , P( 兰0 mo f P( ) 且 f  ) ( dg)  

中 等 数 学 

的概率为 0 因此时所有的系数均小于 q) ( j.  
因此 , 个任 意 的系数 为 不 大 于 n 的正  一 !

的三角形的集合. 显然, 这是一个有限集.   因此 , 必存在 三点 D、 F 使得 △ D F  、 , E  是集合  中面积最大的三角形.   从而 , 给定的点都在以 D  、 、 ,为三边中 
点 的△ A C内 ( 含边 界 , 图 2 . B 包 如 )  

整数的 几 次多项式是好的的概率不小于 
1  


一  



一  


+ 丽

.  

1  

1  

一  , 白  

其中 , 不考虑 [ ,! 内的合数. 6n ]  
注 意到 ,  

南 ≤ 3 】  h南  
即 6  + h+1>0  h 4 .

于是 , 述多 项式 是好 的的概 率不 小 于  上

t 一   一【一 】 一  + 了1   ÷ 1    
≥ × 下 1 01  × 了 17 { 一 × > . 1 . 

?  ’  
一  

} 2 嗣  

根据 题 意 , A、 c中至少 有 一 点在 集  知  、

故当 n ≥3时 , 少 有 7 % 的 系 数 为 不  至 1 大 于 n 的正 整数 的 几次多 项式 是好 的. !  

合 .中( 点 D  、 s 与 、 F构 成平行 四边形 ) 不  .
妨 设  ∈ S 则 四边 形 A D . E F是 平 行 四边 形 ,  

当 n 2时 , = 根据前面的结论知 

且△ A F的面积也是最大的. E 故集合 .中的 s  
所有点同样在△ D H内( G 包含边界) 其 中, ,  


(  ×0=% 11 1% 7  一)0 5
的系数 为系数 不大 于 2的正整 数 的二 次 多项  式是 好 的.   当 n:1时 , 只可能 p( )= x  +1显 然是  ,
好 的.  

E F分别 是 H 、D、H的 中点. 、 GG D 从而, 集 

合 .中的所有点在 ̄A D s E F内( 包含边界) .  
下 面证 明 : 合 . 集 s中没有 第五个 点.  

假设不 同于点 A E D、 、 、 F的点 P在集合 
5中 , A 与  记 D 交 于点 0, 妨设 点 P在  不
△ O E内 ( D 包含 边界 ) .  

4 注意 到 , .  

∑f2 = ( ) ∑∑ a 茸 j k  2


考 虑 点  、 P、 ∈ S 且 使 得 以  、   F、 Q , F、 P、 Q为顶点 的 四边 形是 平行 四边形.   不难 得 出点 Q不 在 四边 形 A D E F内.   事实 上 , 线段 A F P、P中至 少有 一条 是该 

∑(  口 ∑2)  
[2   (” 1 ]  

=  

平行 四边形的边 ( 不妨设为 P) 则点 Q可  , 能有 Q 或 Q 两个位置 , 。 : 这两个点都在过点 
F且 平行 于 A P的直线 Z 由  上.
Q F   M P> ,   A= 0  Q F   P E> , 2 D= A 0 

= (  。 一g 1 0 g 2 ) ( )= .  

若存在某个 k k 凡 使得  2)= , (< )   0 则  问题解决.  

否则 , 一定存 在 、 ( ≤i _1 、 『  ≤n 使 得  )
2) j < .    2) O 从而, 2 与  之间必存在  在 i


知除点 F外的所有点均在EA D ]E F外 , 矛盾.  

个  ) 的根.  

从而, 所求的 5是 由一个平行 四边形 的  
四个顶点构成的集合.  

5 设集合 (表示 以所有给定点为顶点  . ,

21 0 3年第 1 期 

3  5

6 如 图 3 延长 A 与 B . , P, C交 于点 

知o0 与o0关于直线 B 对称.   C  
故 Q Q  且  O O 2 O B  O= O , Q  =   Q . 由Q A=Q Q P,O=Q  及  O, Q O= Q O, 9 。 A   P = 0 
A A   △ Q O  QO P l
j  A O= P O . Q   Q ,  

故  Q   o o =   O B  P= q 。2 Q.

【 】 注 也可以用反演变换说明 A Q与Go、  
图3  

P Q与 O0。 分别相 切.  

如图 4 考虑以 P为 中心 、 , 任意长度 r 为 
则 A A M ∽ △ B M, A M ∽ △ C M  B P △ C P

半径 的反演变换 ,对任意元素  记 , 或  . (  
为  在 变 换 ,下 的 像 . , B 则 ( C)=F   ( △ 。  的外 接 圆 ) CP .  

IJ ( () =   丽 :  ) 筹  I  J
一A P   C— C’


A B

PB

:  

.  

① 

记△ A C A B B 、 P C的外接 圆分别为o0  、
o 01 .  

接下来证明: A Q 与oD Q 、 P与o0 分别  。
相 切.  
C  

在直线 B C上取 点  。 , 得  。 与  、 使     o0 XP与oD 分别相切. 、2   不妨设 A A . B< C  

于是 , 由式①知 船 < c P.  
从而 , 点  、 均在射线 c    上 , 且 


图4  

C >X1 , C >X2   B X2 B.

由  P B= P C, B A   B 知 C与 △ A P 的  B 外 接 圆切 于 点  . 圆 厂与 直 线 A 。 切 . 则 。 相  

由切 割线定 理得 

c(J c() 一c’ :c \  一 』   A \  P 篇


类似地, ,与 A c 也相切. 圆 ,。 记圆 厂的圆心 
为 尺, AR是 曰 C 的垂直 平分线 . 则 。  ,   由 Q、 。A A Q 、 、 四点 共圆 知 
△ A P∽ △ Q A P, A1 A Q . Q 。 l 且 P= 。    

x    x2   B B




x C—x C‘ ,  


由  。 、   四点 共 线 , 点  , 、 C、   知 与  重 合.   由圆幂 定理 得 
A  =Xl ? C =X2   C B Xl B?  


而点 Q在 B C上 , 点 Q 也 在 圆 ,上. 则 。  
于是 , Q。 R . R = P 

’  

从而 , 四边形 日 CP       Q 是一个位于等腰 

△ 。 。  B c 中的等腰梯形, 其中, 。 /B C. QP/      
从而. 尸与OD 相切. Q 。   不难证 明, AQ P和△  曰 C 的外接  △    。.
圆 内切于 点 A , A .则 Q与 O0相 切.  

X2 P = l .   P  

所以 , 置 、 2Q重合. 点 X、  
由  B C:10 一 C P一 B P P 8。   B   C  


1 0。   8 一

B C. A  

( 李

潜 翻译 )  

中 等 数 学 

第七届罗蒙诺索夫奥林匹克 
中图分类号 : 4 47   G 2 .9 文献标识码 :   A 文章编号 : 05— 4 6 2 1 ) 1 0 3 — 2 1 0 6 1 (0 3 O — 0 6 0  

决 

赛 

为 反 函数 , 图形合 起来 的面积 由条 件  其

∈[ ,] 一 一 ≤ ≤2   01, 1  y + 1 在平面坐标系中, . 求不等式组 
确 定.  

f  

≥, 0  

如 图 l 而其 中 ,  
有 相 同 的部 分 组 成.  

【 一g≤Y 一1 a 2 ≤2+   √

的图像 围成的面积.   2 将一个球切( 成一个正四棱锥 , . 削) 设 
四棱锥 的底面边 长 为 1 , 锥 侧 面底 边 上 的  4棱

因此 ,   ∈[ ,] 由 01 ,  
Y∈l 2 2 [ ,]组 成 的  一 长方形 的面 积 等 于所 

高为 1. 2 求此球的半径最小应是多少?  
3 解不等式  .

求 图形 的面 积, 即它 
等于 4 .  
Z 球 的 亘 , 小 能  . 俭 图1  

l( )g + )o5  o 5 .    >g  g   1 5 1 . s 。 52
4 两 圆 内切 于点 K, 圆的 弦 A . 大 B与小 圆 

小 于包 含在 它里 面的棱 锥底 面正方形 的对 角  线, 其对 角线 长为 1  . 4   因此 , 求 的球 的半 径不 小于 7 . 所     另 一方 面 , 以棱 锥 底 面对 角线 的交 点 为  球 心 、√ 7  为半径 的球包 含 棱锥 的顶 点 ( 因棱 

切于点 L R L 1.  =2 求 砚 . , A = 0 若A   K  


5 若方程  +   + . 2 似  b c + x= 的实根 

的集合恰好由 一 、 组成 , abc 11 求 ,、 的值.  
6 已知 函数 Y= t , 程 , s   )=0 .  () 方 (i n  

锥 的高为 h=  

- 9= ̄ <   ) 故  4 一 /   7 ,

 . 在 间擎 丌 的 的 等 3,   所 求最 小半 径为 7√   区 [, 上 根 和 于3而 2 】  方

程( = 区 [ 】的的等 ,s 0 间 ,上 根和  c)在 丌 。 擎
于3求 程( =在 间詈 】 2 方 厂。)0 区 [,上 亿 c s   
的根 的 和.  

3g5 )g  )o5 . + .  1   1( 0 05 >g  l   s2
§。 5 ) 5+ ) 1 + .  2 g   1 2    0  

>+s2  l(   lo5十)o52 l( 2一s+) g  g
参 考 答 案 
§

1 不等式组中 的定义域为[ ,] .   0 1.   当 ∈[ ,] ,   0 1 时 函数 Y   与 Y= 互  =  


[( 一【(+)]  15 )】 x2+> o + t05 x10 g s l=

[ 5 ) 1x )s> ? + 一5g2 一 】 o ÷ l]/z- o s o[s o     go + s s ÷

21 0 3年第 1期 

3  7


( 一(2  ) , 5 55+一 >  + ) 2  0 x
,  '

(  一1 ( + x+ ) )  3 4 .  

而三 项式  +3 4无 实根 , x+ 因此 ,   a=


5+  

>0.  

6C=一 , 4满 足条 件.   () 2 若  =一1是根 , a= . 则 2 于是 ,  
+2 + +2 +0=       +2 +      .

5 +2 >0      

)  !    二 > 。
l (∞一) 0 ∞   一, u , ) ∈   (+  
车 

显然 , +2 + 还 有 根  =0 不 满 足        , 条件 .  

6 方  i)0 【 2 上   . 程 s =在 ,】有 设 n    
个根  , , , . 意 味 着方 程 f t 0在    … 戈 这   ()=

E- , )孚   ) (5 一 U  ̄ 了( 1 2 - .  

[ 10 上有 k 一 ,] 个根 t, , t 1t …, . 2    

4.  

因 aii[ ,, , 为rn∈一 0所   c  号 】 以 st
i   + rs   ( =1 2 … , ) =2 c aci t i , , 后 . 7 n    故 3 丁= + +… + 3c  1  2  


2r k+a c i  1+ … +a c i  ^ t r sn t r sn t.  

类 地方 ,。 )0 [ 】  似 ,程 (s =在  上 c   ,
同样 有 k 根  个 Y=2    一aco  ( =12 … ,) rcst i ,, 后 .    
图 2  

则  P K= P M = A K  Q   K   B.

因 ao ∈詈 】 以 为rs [,, , c   所   ct  
2   Y1+Y 3兀 2+… +Y  


所以, Ql B,L= L P /A P Q .  
因此 , P L= Q L 即  是  A B   K   K, K 

2c 7 k—a c o  1一… 一a c o  ^ rc st r c st.  

的角 平分 线.   由角平分 线 的性质 知 

由上述两 个等 式得 
a c i  1+ a c i  2+ … + a c i    + r sn t r sn t r sn t  

A 瓦   =2甘 脱  1 ×5= 5 L=   0  2
.  

a c o  1+ac o  2+… +ac o   =l . r c st r c st rcst On 

5 .一1和 1 方程  是
+2  4+( +b L   x—C=0  

而r   ao =  ai +c  詈 c rs   s n ca

的根 , 当且 仅 当参数 a bC 足  、、 满
r 3+a+b—c=0,  
幸  


j l  争=兀 O
k=2 . 0 

f b= 一1  ,

i+一一: 1口6c0§I 口2 c + :  
+2 4+n 2+6      一c  

最 ,区 [, , 厂。 )   后在 间号兀 方 ( = ] 程c 0 上 s
同样 有 k= 0个 根  2
ar os t a cco   2,… , r co   2   cc   l, r st a c s to,

( 一1 ( +   + + a .   )  2   2+ )  

多项 式 。+2 + +2+a至 少 有 一个      

实根. 由题意得 , 它应等于 1 一 . 或 1  



aco l rcst +… + rcs 2 rcs +aco  t 2 aco  0 t 


() 1 若 = 是根 , a 1 则 :一 . 6 于是 ,  
。+2  2+  +2+口=  +2 2+ 一4      

2   n k一2 丌 =2 3 n×2 —2 丁 = 1   . 0 3c 7c 7 

( 王玉怀

王亚红

提供)  

3  8

中 等 数 学 

数蟹奥滁 蔻渤  铷拣毽( 1 1) 6 
中图分类号 :G 2 . 9 4 4 7  文献标识码:A   文章编号 :10 6 1 ( 0 3 O 一0 3 —0  0 5— 4 6 2 1 ) l 0 8 4

第 一 试 


(   c)

(   D)



选择题 ( 每小 题 7分 , 4 共 2分 )  

4 如图 3 以点  ( 50 为圆心、 . , 一 ,) 4为半  径的圆与 轴交于 A  两点 , 、 P是。  上异 
于  、 的一动 点 , 线  、 分 别与 Y轴 交    直 朋 于点 c、 以 ∞ 为直径 的oⅣ与 轴 交于 点  D,
E、 .则 E F F=(   ) .  

1 某计算机系统在同一时间只能执行一  .
项 任务 , 且完 成 该任 务 后 才 能 执行 下 一 项 任  务 . 有 三 项 任 务  、   的 时 间 分 别 为  现  、

1 , 0s 9 0s一项任务 的相对等待时  0s1   和 0 , 2 间为提交任务到完成该任务的时间与计算机 
系统执 行该 任务 的时 间之 比.则下 面 四种 执 

行顺序 中使三项任务相对等待时问之和最小 
的执行 是 (   ) .   ()、 U B V W、  
(  、 、 D)    
一  

(  、   A)  、
() 、   C    、

A \ 层/ \      \   \ / /
l j    

2 如 图 1 C D 是 线段 A . ,、 B上 两 点 , 已知  图 中 所 有 线 段 的  长度 都 是 正 整 数 ,  
且 总 和 为 2 . 则  9
A B:(   ) .  
C   圈 1   D 

D 

F  

( 4 A) 

( )  B4

( )  C6

() D 以上 均不对 

( 7 ( ) ( 1 ( 1  A) B 9 C)1 D)3

5 对任意两两不等的三个实数 n b C . 、 、,   下列五个等式中, 正确的有 (   )   个.

3 如 图 2 在 菱形 纸片 A C 中, . , BD 已知 
4 6 。将 纸 片折    O, 叠 让 点 A、 分 别 落  D

D  经过点
A  
,  
, ,



D 

① 
、  F 

+  


+  

, 



c  

( C


6( ) a—b  )

0  ;

EF B  为折  ,

— 
图2  

丫  

痕? D ,上 C 当   D时 ,  
C F


②  

+ 氯  +    

(  

) .   (   B)

( : ; 4  C ) a— ) 。 一6 ( b   

( ‘   A) 2 -

③  

+  茕  +  

21 0 3年第 1 期 

3  9

(± ! 一 . !  :   1  
( 6( c一 ) 口一b  ’ )一  

顶点 上 ,B与 C A D交 于点 P .则 tn A Dl a  P    _

④  

+  熹鸶+  

4 已知 四位 数ac满 足  . bd
ac bd=( 6+ d  ,   c)  

(±  ! 一 . !  = : 0    
( b( c— ) 0一b  ’ )一  

其 中 , 以为 0  ̄ac 一 c可 . bd=  

⑤  
+ 口 + 


+  蓑%+  


第 二 试 


1  

(0 ) 2 分 设二次函数 

( b ( b    c— ) 口一 )一 ’

Y= +6 似   +c n b C∈ Z, Ⅱ )  ( 、、 且 ≠0 ,

( 2 A) 

( )  B3

( 4 C) 

( 5 D) 

对 一切 实数  恒有 ≤)   + 1 , ≤2   函数 的解析 式.  

6 如图 4 设 A . , C=1  ,
, 。。、  



求 二 次 

P 2, 是 劣 弧 C B的  A= M A 中点 , MP 上 A 于 点  且 B
P .则  =(   ( 5 A)  ) .   ( )  B4 图4  

二 、2 (5分 ) 锐 角 △ A C 中 , 知 A   在 B 已 B

上的高 C E与 A C上的高 B D交于点  , D   以 E
为直 径 的 圆 与 A A B、C分 别 交 于 点 F、 F   G, G 与A H交 于 点 K 设 B 2 B 2 B 7 . C= 5,D= 0,E= .   求A K的长 .  

( )  c3

( )3+   D√ l

二、 填空题( 每小题 7 , 2 分 ) 分 共 8  
1 设 方程 组  .
r 一x z= 一5,   y  

三 、2 (5分) 试将七个 数字 3 4 …, , , 9分 
成两 组 , 别组 成一个 三 位数 和一个 四位 数 , 分  

并且使这两个数的乘积最大. 问: 试 应该如何 
排列 ?证 明你 的结论 .  

{。 x = , Y一y 2 z  
【 一 =1     2 
的正 实数解 为 ( )z .  ,,) ,  
贝   +Y+ = 0 z


参 考 答 案 
.  

第 一 试 




2 如图 5 已知 A . , B为o0的直径, D平  C
分  A B, OD交 于 点 D,B与 C C 与 A D交 于 



1 A. .  

顺序 A三项任务相对等待时间之和为 
A  

点E .若 A C+B C=1 , C 4 则 E的最 大值 为 

1  1 0 0+1   1 +1 0 +9 0 , 20 0 2 0   
+—   +一  

<6;  

顺序 B三项任务相对等待时间之和为 
、 \  

sB> B>— —   一  
 

>9 ; 0;  



顺序 c三项任务相对等待时间之和为 
D 

I   s  >
图6  

>9   0;

图5  

3 如图 6 在边长相 同 的小正方形 组成  . , 的网格中, A B c D都在这些小正方形 的  点 、、、

顺序 D三项任务相对等待时间之和为 

s > — 广一 > .  > D  — 8 ‘  

中 等 数 学 

比较 知 S  最小.  
2.   B.

=  AC :MH  = PG :MH =AC :1    .

设 A 0C C= , D=bD , B= .则  c
30+46+3 c=2   9

故P P B: G+G A A 3 B= C+ P= .  
二 、 6. 1.  

n+  

=  

(  ≤6  1 )

令  =1则  1 , .
1 = Y  =( 一 )  + )  +2 ) 1   。 ,     5( 2 ( 1 
:“  +l  一7 8M 3M一21   0 1u 8  一7   一21 3 0:0  

( Cb n+ , )=( , ) ( , ) 舍 去 ) 72 ,35 (  
故 A 0+ c 7+ 9 B= b+ = 2= .  
3.   A.

设A B=1 C  . , F=  

j  = 6或 一  ( 去 ) 3 舍 5
.  

根据 折叠 的性质 得 
A  EB =   A =   D  FM =9 . 0。 

当  = 6时 ,  =1Y= ,= , , 2z 3 故 
+Y+z=6.   2  。 .  

C :6 0。。 BD =D  G 

C +FG =A B :2   =_   一  F   AE = =

√ +l 3  

设 A  . B C= 则 C=1  . 点 E作 E   4一 过 G 上A E C,H上 B 垂足 分别 为 G、 则  C, H

( +1    )

E E ,E= 2 G G= H C √ E .  
一   一  



FD  1一   4.C.  

2  

‘  

由S c .  B s    衄 +   叩 S  
j  AC? BC=  C? EG + BC?   EH.  

易 知 , t O D∽ R △ O A  R△ B t C. 故 C= O  


则 C   A B  垒 E= 2 C? C √


( =    
1  4

即 O ? D= . CD 9  
= 一 

AC + C   

由垂 径定 理得 O   C? D= . E =O O 9  
因此 .F= 0 6 E 2 E= .  
5.D.  



竽≤    .

所 ,的大为 . 以 最值竽. 叩  
3.   2.

注 意到 ,  
(+ 一c n 6 j  ( + 一a } ) b 0 k) (+ 一6   C 0 )   (一)b c 。6 n(—)’c b(— ) 0 c(—) (一 )c n (— )c n  


如 图 7 联 结  A、 \ ,   B 与 C 交 于 点  E, D F 易  。 .  
DF =C   F


 

C  



 
B 

(  +1  ).  

取 =一 ,,, , 2 知五式都成立  1 102 一 ,
6.C.  

BF =EF.  

图7  

在弧B M上取点 日, H=   使B A 作G H上 A B于点 G 由题设知  .
+A =MH +lb M i 

DP BD  1     Y C —A ‘   ' P 。 C 。3

=  

、 DP  PF


= =i F=2 F    -   B . C -  



1C F



= 

4  2

中 等 数 学 

数静 滁  蔻霭    
中图分类号 : 44 7   G 2 .9 文献标识码 :   A

涂遣( 1 1) 6 
.  

文章编号 : 0 5— 4 6 2 1 ) 1 04 — 5 10 6 1 (0 3 O — 0 2 0 

第 一 试 


外接 球 的表面积 是  ∈ R+ , 有  )就

5 若对 任意 的△ A C, . B 只要 P+ rp g g= ( 、 



填 空题 ( 每小 题 8分 , 6 共 4分 )  

1在锐角△ A C中, . B  
C SA  ̄ SB . i   —sn B  O     O   .sn A . i  

p i  +q i  >p sn C. s A n sn B q i   

则 正数 r 的取值 范 围是 

.  

的取 值范 围是 
“ + ”


.  

2 在 图 1的 每 个 “ ”中填 上 “一” . 口 或 

6 过 双 曲线 c: 一 =l 口 b 0 的左  . x   ( 、> ) 焦 点  的直 线 Z 双 曲线 C 的右 支 交 于 点  与

使得任何连续三个数的和小于 0 则不  .
种.  

同的填法 共有 

P 与圆  +   a 恰好切于线段 即 的中点  , y=   则直线 f 的斜率为  .   7 若 > , >   . 0 Y 0 且  +   l则  Y: ,
上  

口 1 2 口4 口6 口8 9 口 口3 口5 口7 口  
图l  

3 不全共 线 的 向量 ab、 . 、 g满足 
I +b+CI a =a? b+b? c+c a =t ? .  

l   ’ —v — l 2  

则t  

3 填“<” ( “>” 或“=” . )  

的最小 值是 

.   .  

4 在 四面体 A C . B D中 , 已知 A B=C 5  D= , A B C= D=1 ,D=B 2A C=1. 四 面体 A C   3则 BD 因  是 △ A C的垂 心 , 以 ,P上 B . B 所 A C   又 B B 则A A= C, P=C 2. E= 4  
由式  A .P=  A   F
.  

8 若 为正整数 , . 则方程 n = “     的实数 
解 的个 数 的所有 可能值 的和等于 

d在 较小 的 自然 数 b后 面放 较 大 的 自然 数 c ,   所得 的乘 积较 大.   据上 述 结论 , 9 8 7 6四个 数 字分 成  把 、、、

两组 构 成 两 个 两 位 数 时,6 X8 9   7的乘 积  三、 显然 , 数值大的数码放在最高位上.  
先 考虑 比较简单 的情 形.  
最 大.  

设 a bcd a b c d 是 自然数. 、、、( > > > )   用 a bcd组成两个两位数 , ,、、 并且使它 

同理 , 虑 9 87 6 5 4六 个 数 字 组成  考 、 、、 、 、 两个 三位 数 时 94×85乘积 最大. 6 7   最后 考虑数 字 3的位 置.  

们的乘积最大. 最高位必是 n b但下一位 的 、,  
排法有两种 :  
1a+ 、0 d或 1a+d 1b+ . 0 c1b+ 0 、0 c   由(0 + )1b d 一(0 d (0 c  1a c(0 + ) 1a+ )1b+ )


不妨先虚设一个 数字 0 当八个 数字组  ,
成两个 四位数时 , 60×  5 乘积最大. 94 8 3   7 然  后去掉虚设 的 0 组成一个三位数与一个 四 ,   位数 , 和 8 5 乘积最大. 9 4 6   3 7  
( 守 文  安 徽 省 南 陵 县 春 谷 中 学 , 邹  
2 10 ) 4 30  

la o d+l b O c一1 a 0 c一1 b   0d



l ( b ( c 0  O a— ) d— )< ,

知在较大的 自然数 a 的后面放较小的 自 然数 

4  2

中 等 数 学 

数静 滁  蔻霭    
中图分类号 : 44 7   G 2 .9 文献标识码 :   A

涂遣( 1 1) 6 
.  

文章编号 : 0 5— 4 6 2 1 ) 1 04 — 5 10 6 1 (0 3 O — 0 2 0 

第 一 试 


外接 球 的表面积 是  ∈ R+ , 有  )就

5 若对 任意 的△ A C, . B 只要 P+ rp g g= ( 、 



填 空题 ( 每小 题 8分 , 6 共 4分 )  

1在锐角△ A C中, . B  
C SA  ̄ SB . i   —sn B  O     O   .sn A . i  

p i  +q i  >p sn C. s A n sn B q i   

则 正数 r 的取值 范 围是 

.  

的取 值范 围是 
“ + ”


.  

2 在 图 1的 每 个 “ ”中填 上 “一” . 口 或 

6 过 双 曲线 c: 一 =l 口 b 0 的左  . x   ( 、> ) 焦 点  的直 线 Z 双 曲线 C 的右 支 交 于 点  与

使得任何连续三个数的和小于 0 则不  .
种.  

同的填法 共有 

P 与圆  +   a 恰好切于线段 即 的中点  , y=   则直线 f 的斜率为  .   7 若 > , >   . 0 Y 0 且  +   l则  Y: ,
上  

口 1 2 口4 口6 口8 9 口 口3 口5 口7 口  
图l  

3 不全共 线 的 向量 ab、 . 、 g满足 
I +b+CI a =a? b+b? c+c a =t ? .  

l   ’ —v — l 2  

则t  

3 填“<” ( “>” 或“=” . )  

的最小 值是 

.   .  

4 在 四面体 A C . B D中 , 已知 A B=C 5  D= , A B C= D=1 ,D=B 2A C=1. 四 面体 A C   3则 BD 因  是 △ A C的垂 心 , 以 ,P上 B . B 所 A C   又 B B 则A A= C, P=C 2. E= 4  
由式  A .P=  A   F
.  

8 若 为正整数 , . 则方程 n = “     的实数 
解 的个 数 的所有 可能值 的和等于 

d在 较小 的 自然 数 b后 面放 较 大 的 自然 数 c ,   所得 的乘 积较 大.   据上 述 结论 , 9 8 7 6四个 数 字分 成  把 、、、

两组 构 成 两 个 两 位 数 时,6 X8 9   7的乘 积  三、 显然 , 数值大的数码放在最高位上.  
先 考虑 比较简单 的情 形.  
最 大.  

设 a bcd a b c d 是 自然数. 、、、( > > > )   用 a bcd组成两个两位数 , ,、、 并且使它 

同理 , 虑 9 87 6 5 4六 个 数 字 组成  考 、 、、 、 、 两个 三位 数 时 94×85乘积 最大. 6 7   最后 考虑数 字 3的位 置.  

们的乘积最大. 最高位必是 n b但下一位 的 、,  
排法有两种 :  
1a+ 、0 d或 1a+d 1b+ . 0 c1b+ 0 、0 c   由(0 + )1b d 一(0 d (0 c  1a c(0 + ) 1a+ )1b+ )


不妨先虚设一个 数字 0 当八个 数字组  ,
成两个 四位数时 , 60×  5 乘积最大. 94 8 3   7 然  后去掉虚设 的 0 组成一个三位数与一个 四 ,   位数 , 和 8 5 乘积最大. 9 4 6   3 7  
( 守 文  安 徽 省 南 陵 县 春 谷 中 学 , 邹  
2 10 ) 4 30  

la o d+l b O c一1 a 0 c一1 b   0d



l ( b ( c 0  O a— ) d— )< ,

知在较大的 自然数 a 的后面放较小的 自 然数 

21 0 3年第 1期 

4  3

二、 解答题( 5 共 6分)  
9 (6分 ) .1 已知 

由 0< A、    
j -c 丁

、 C<    
B <丁 c  

fx ( )小

 

㈤ :  

.  

4   -<

A+  

若实数 a 满足对任意的 ”  , , O 1都有 
i ) g( l , f ( -  ) ≥0 

A詈 L ,B詈 A > 一 L > 一 . B   
则 0<CS O  i  A<s B<1 n ,  
0 <C SB <sn A < 1 O  i  .  

试确定 a的最大值.  
1. 2 O (0分 ) 已知 n∈ N,  ≥2 证 明 : .  

√+ 2  
h 一[a > , a n ] a 

i  < 2 .  

故 一 CS C8 2< O  A+ O  B—s   i A—s   0 n i B< . n  
2. 5  3.

1. 2 分 ) a 1 (0 设 为无理数 , 0 a 1证  且 < <. 明: 存在正整数 n使得  , 其中 , ] [ 表示不超过实数 的最大整数.    
, 

由题设 , 知任何连续三个 数前 面必有两  个负号. 而任何两个正号之间至少 隔着两个 
数, 于是 , 一共 至少 填有 6个负 号.   记 负号个数 为 




试 

若 n 9有 1 = , 种填法 ;   若 n= , 3之前 不 能 为正 , 8种  8则 有



(O分 ) 4 已知 圆 内接 四边 形 A C 的  BD

填法 ;  

对角线 A C与 B D交于点 E C   E C , ,D =C ?A 点 
在边 A B上 , A = D, 且 M A ME与 A D交 于 点 
Ⅳ 证 明 : A B= A N. .   C   C  

若 n 7有 c 一 1 种填法; = , ; 4= 7  
若 n 6 则前三个 、 :, 中间三个、 后三个中  各恰有两个负号, 一共有 9 种填法.   综上 , 一共有 3 种填法. 5  
3 t . . >3 

二 、4 (0分) 明: 证 对任意给定的正数 Ⅳ,   存在正数  , 使得对任意满足条件 ac 1 b = 的 

正实数 a bC都有  、、, —_ _ + + + ≥ V         一 _ 一
—  

注意 到 ,  
.  

口 b a  I sa    ? =l l c < ,) l o  
≤ I l  al bI  

a + b+ C  

a 

b  

C  

三 、5 (O分) 求所有的由实数构成 的有限  集合 A 使得 0∈ A I >4 且对 A中的任  , ,Al , 1 意四个不同的元素 xy t .  都有 xz t . y + ∈A  
四 、5 (0分 ) n×n方 格 表 的 每 个 方格  将

l 1  +I 2 ≤1(aI+b ): (  )  (     )  口 + 2.  I l = 口+ )   ÷( b  
≤ 
. 

同 b ÷( + , 理,  ≤ c  )    
c口 ÷(  c) ?≤ 口 + .  
则 t a +  +   t 3.  =   b c +2 > t  ̄   所 以 ,>3 t . 1  

任意填人 +1或 一1 然后允 许进行 如下操  ,
作: 每次任 意选 择一 行 ( 列 ) 将 这 一行 ( 或 , 或 

列) 中的数全部变 号. 若无论 开始时方格表 
的数 怎样 填 , 总能经 过不超 过 k次操 作 , 使得 

方格表每一行 中所有数的和、 每一 列中所有 

又等号不成立 , t 3 故 >.  
4 1 9 丌  .6 .

数 的和均非负. 试确定 后的最小值  n . )  

参 考 答 案 
第 一 试 


该 四面体 对棱 中点连线与这 两条棱垂 
直, 过四面体的顶点作连线的平行线 , 可得三 

组平行线 , 这三组平行线交得一个长方体. 而 
该长方体的体对 角线 即为外接球 的直径 ,   由



1 ( 2, ) .一 0.  

中 等 数 学 

勾 股 定 理 得 

( +1 + 3 ) 4 2 5 2 1  : R .  

结 合 图像 知  当 几=l , 时 方程 只有一个 解 ;   当 n=2时 , 程有 三个解 ; 方   当n =9时 , 程有 两个解 . 方   当  > 0时 , 将方 程两边 取对 数得  设 F x xnn—nn 贝  ( )= l  l  . 0
F ( =I  一 .    ) n 旦  

故球 的表 面积是 4c   6  ̄ 7R =19 .  
5. 0<r 1  ≤ .

设△ A C的三边长分别为 a bc则  B 、, .

P i A+  nB> q i C  n q i s  s   P n   s 
§  口   6 C  +   2
 ̄  

① 

g  

P  

若r , ≤1则 
- a2+l 1 -


p  

bcp寺 +6 2g  a寺)   +(2    

由此 , 函数 在 ( , 。) 为 一 个递 增  知 0 +a 上

区间, 或一减一增两个单调 区间. 于是 , 在正 
数 范 围内方 程 F )= ( 0至多有 两个 实根.  

≥( D+6 >c; )   

若r I " : = . > , p g ÷  4
当  = , C 7时 , b     c  
n  +b   2 1   r  

综上 , 知所求的和为 6 .  
二 、. 9 注意 到 ,   .  

I( f )- ( ) ≥o gx I  




 

< ,    

式①不成立。  


综 上 , ≤1 0<r .  
6  . .  

l1 1   ?一 一     n I   f 1 一 ≥   口  
≤- 口 一  ≥t   ① 

甘 

设双曲线右焦点为 , , 。原点为 0 则 O   . M 为△ P F 的中位线. F。   由双曲线定义知 
l P I I 1 =2 .   F —   PI a  F

首先, 口 1 , 当 = 时 式① 的两个不等式中  
必 有一 个成立 .  

事实上 , 若 < 0或 > , 1则 
;  

由F = M  
l I=2b  PF .

:  

:6 则  ,

若 0< < ,   1则 


而 2 2 2  6— a= a

b a =2 .  

÷  

≥> n 4?- +  

于是 , 直线 l 的斜率为 

其次 , 口> 时 , 的两个不等式可  当 1 式①
能都 不成立.  

a  O詈  . n P ==    F L
72 .  .  

由前一个不等式解得 



 

.  

由 1   + 2 2y = 2 y > x   ̄

则 奇: 2 ≥ ?  +   ≥ 2  +√  

 ̄-
—  

于是 ,   <— 当 当  < —— —一时, 式① 的两个 


墨时 - i

21 0 3年第 1 期 

4  5

不等 式都 不成 立.  

又A D=A A A 则  M,E= E,
△ A   △ A E  ME D .

综上, 口的最大值是 1 .   1. O 考虑数列 {  : a}  
a = , 1 : 一( +1 . l 2 口+ =口    )   首先 证 明 :  ( ≥3 . 口 >n n )  

从而, A   MN= A B    D. 故 / MN △ A B A A . XA   D   B= Ⅳ 

① 

又 A A , B C= C N, C= C  A   A 则 
△ BC △N C A  A 
AC =     AC   N.

事实上 , 因为 口 = ,  2所 以,   2口 = ,  
口 3=口  一3=5>3.  

假设 当 n=  ≥3 时 , 口 >J  ( ) 有   c .   当 凡=| 时 , i } +1 因为 
口 

二、   由 ( 口一6 +( 一 ) ) c 6 +( 口一c 10 )>  
2+b 2+c ≥ 口   b+6 c+c 口

‘>I l }  

> ?  ̄ 9k>2   k> k+2
,  



. 

所 以 ,  1 口 一i a+ =   .一l>j . } .+1 }  

贝 ( b+ c c )   ( 0口 b +n ≤ 口+6 ). +c  

由数学归纳法知式①成立.   由式①得 
口 =口一 — >     :l   0 口一 >凡 口一 > . :l     l     故 口: : 一( n一1   )>
一 .  


令 =÷ y =    =÷五 , ,  
于是 , 所证不等式等价于  —
— —  

— 一 + ’    . _ —  + , z V + ≥Ⅳ ≥  
. 

① 

+ 

+ 

M 
’ ,+  + 

口  >( 一1     h - , )+ l
口  


咖=■ =  ■— ■

+ +y+    
’  

>    2>  √n—l+√ .   .  


≥ 

M 

+  + ’ + ,  

以此 类推 得 
2:  

=>2√+4i . 0  +3√+ + . 1   √ …    n

( ,+ ) + 2  + ,     。    
≥3  

+ 2 。      

1. 1 由题设 知  一为正无 理数 .  

于是 , 存在正整数 n 使得 
<n <   +l +1  

取  ≥ 』 , 3   、 则   『 3

≥ Ⅳ.  

=  1< ( 口 2一口 n 1一 )<  
n 一2< 一2 +a <眦 <n—l    

从而 , 式①成立.  
故所证不等式成立.  
三 、1 I = . ( ) AI 4 

[ ]=n一 . № 2 

又( —10> 一 =[a ,0 , ) n 2 n ]贝  l
n 0一[ >口 ,  ] .  

设 A={ , ,, } 则 由 ac+0=ac∈ 口 bc0 , b b   A,b  ̄0 得 口c 口 6或 C ac , 6 = , .  

由对称性, 不妨设 0c 口 6= .  




试 

因为 a , ≠0 所以,  



因为 C  :C C 所 以 , D E?A,  

6- ÷  c j:. = c

△  D∽△ C E  D .

故  C D= C E= C B= C B  A   D   D   A.

故=,, ( 是零数   A{ , )、 非 实 , 06 口 Ⅱ  6 且

中 等 数 学 

对列进   6±a6 )显 ,合 满 题   次 操作 , , 行 了 Y次操作 . ; ≠ 1≠, . 然集 A 足 设 ,   1 若 ≥n 或 y , ≥n 则结论 成立   条件.  
( ) Al 5 2 I > . 1  

若  < , Y<n 则 必有 一 行 没 有 进 行  n且 , 操 作 ,从 而 ,对 列 进 行 的 操 作 不 少 于 

则集合  除 0外还含有至少四个元素.  
() A中至少有 四个 正数 , A中最大  i若 设

[ 】, ≥ ]   次   [ .    
同 ,『 ] 理    . ≥  

元素为 d 且 a bc , 、、 ∈A NR+ 则  ,
a c+d>d, a c+d∈ A。 b 且 b  

这不 可能.  

故 ≥  12n   『   >. x ̄ 
其次 , 对方格 表 中 同一行 ( 列 ) 行 偶  或 进 数 次操 作 等 价 于 没 有 对 这 一 行 ( 列 ) 行  或 进 操作 , 方格 表 中 同一行 ( 列 ) 对 或 进行 奇 数次  操作 等价 于对 这 一 行 ( 列 ) 行 了 一 次操  或 进

(i若 A中 至少 有 四个 负数 , A中 的  i ) 设 最小 数是 a 且 bCd∈ AnR一则  , 、、 ,
a+bd<口, a+b d∈ A, c 且 c  

这不 可 能.  

( i若 A中有 不少于两个正数 、 i) i 两个负 
数 , A 中最 大元 素 为 d 且 设 a< b<0  设 , 0, , 0< d a bc∈ A, c< , 、、 则 
a c+d>d, a c+d∈ A。 b 且 b  

作, 因此 , 对方格表进行的不同操作有 2 种.    
接下来 证 明 : 这些 操 作 结 果 中使 方 格 表 
中所 有数 的 和最 大 的方格 表必具 有性 质 P .  

若不 然 , 其 中有 一行 ( 列 ) 的数 的  设 或 中
和 小于 零 . 对 这 一 行 ( 列 ) 行 一 次 操  则 或 进

这 不可 能.  

( ) A中只有三个正数一个负数, i若 v 设 
这 四个 数满 足 a<0<b<c<d, 同 ( ) 则 1 知  6、d  中有 且 只 有 一 个 为 1不 妨 设 c   cc 、 . d:
1 则  .
a<ba< , ba+ c 0 且 c 0= c ba∈ A,  

作, 得到 的方格 表 中所有数 的 和变大 , 与假设 
矛 盾.  

这说 明, 能经过有限次操作使得方格表 
具 有性 质 P  . 最后 证 明 : 以 经 过不 超 过 n次 操 作 使  可 得 方格 表具 有性质 P .  
由上面 的论证 , 妨设 对 s 0 ≤n 行  不 ( ≤s )

这 不可 能.   ( ) A 中 只有 三 个 负 数 一 个 正 数 , v若 同 
(v 可得矛 盾. i)  
综上 ,  

进 行操 作 , t0 ≤/ 列进 行 操 作 可使 方  对 ( ≤t 7 , )
格 表具 有性 质 P .  

A{ ’ )、 R, = , , ( ∈ +  06 0 n  6 且
6±a6 . ≠ 1≠,   ,  )
四、 若方格表每一行中所有数的和、 每一 
列 中所 有数 的和均 非负 , 则称 方格 表具有 
“ 性质 P . ”   首先 证 明 :≥n k .   事实 上 , 当开始 时方格 表 中的数 均为 一1  

若s t , + ≤凡 则结论 成立 ;  

若 s t n 贝 ( — ) ( 一 ) n 并且  + > ,0n s + 凡 t < , 对方格表中未进行操作 的 n— 行与 n t s — 列  都进行一次操作 的结果与对前面 s t 行 列进  行操作的结果相同 , 于是 , 可以进行 
( s +( 几一 ) 凡一t )<几  

次操作使方格表具有性质 P .  
综上 , ( ):n -n 厂 .   ( 张利 民  黑 龙 江 省 大庆 市 外 国语 学 
校 .6 4 3  135 )

时, 为使方格表具有性质 P 设对行进行 了 ,  

21 第 1 0 3年 期 

4  7







题  











答  

初 3 7 如图 1 已知 尸为△ A C内一  3  , B


初 3 5 在 黑 板 上 从 1升 始 写 出 一 列 连  3

懿线 A B C   P、P、P

A 

续的正整数 , 并从中擦去一个数后发现 , 余下 
的数 的平均值为 2O3 4  l 


分 别 与 边  C c   、 A、
交 于 点 D、 F  E、 .

问 : 去 的是 哪  擦

若 S c= S 雎 ,  8   △ F  
讽 水   ̄ PA

个数?  

PB
+ 

PC  
+ 


2  

设在 12 …, , , n中擦去的数为 k 则  .
=  

的值 ( 用 的代 数式 
表示 ) .  

l  

≥ nl =    — 。   号  Z ,
2   =  
1 +2 + … + F 一 1 n +2 /   ,  

初 3 8 已知非零实数 a bc 3 ,、 满足 
( + + )b c 0(+ 一 )口 6 c = 4 口 6 c( + 一 )c 口 b( + 一 ) 口.  

求 C  一D    ÷的最大值与最小值, 并指出当  


≤—— 

广


 丁

‘  
.  

C  

÷取最大盥 最/ 时, lb: l值. 与 J   l: lc a I l的   D  
3 7 记  : 3 记 。   = .证 明 : 于 区间  对

 ̄ 4 2 8 ≤n 4 0 6   4面 0 <  2  
解 得 /=  2 , 2 . Z 40 5 40 6  

又 53In一1 , /=  2. 0  ( ) 则 " 405 t  

[一  1 的 意 理 号p ∈ ,   1 +内任 有 数 ( Z , ] 。 、   g
且 ( ,)=1 , 有  pg )都
。   .  

由2 1丽 =   34   0
k=1 9 .   81 



得 

所 以, 擦去 的数 是 19 1  8 .  

( 宋宝莹  天津师范大学《 中等数 学》 编 
辑部 ,0 37  30 8 ) 初 36 在 凸 四 边 形 A C 中 , 知  3  BD 已
+ 

寓 3 8 设 a、 、 、 3 b C d县   宴 数 . 明 . 证  
/   /   b  。

4  ̄ ̄+ b 1a a 1c 43 5   5d + c d
   + 1 d b   . c  5 a  。 d + 1 a c    5 b  
≥ 1  .

B D= 0 , A C= A C: 0 ,C与  A 6。   B   D 9 。A

B D交于点 P  = , = . , 2肋 4 求四边形 A C   BD
各 边 的长.  

4  8

中 等 数 学 



如 图 2, A 取 C的 中点 0, 结 0   联  ,

 ̄  D:C A j l A D:     C:2
. 

作O M上 B D于点 

√2  

由  C P= C D: C D B   B   A 


4 5。=  

DBA.  

BC = P   BC = A   BD   A

△ B P∽ △ B A C D 



BC  BP 
一 — — = —— 

C 

bU  BA 

BC? BA =BD ? BP =6 X2=1      2.

由  A C= A C=9 。 知 A、 C、   B   D 0, B、 D

而 B   B  A   (, ) 4 , C + A = C = 4 3  8故  / -
(B+  = 2 (B一 c = 4 A  C) 7 ,A 8 ) 2 
j  AB +BC =6   , AB —BC =2  

四点共圆, A 且 c为圆的直径 , 0为圆心.  
由垂径定 理 知 
BM :MD : 肋   :3  .

A =3 B  

+  

. :3 BC  

一  

.  

由外心性质知 
BOM =   BAD =6 . 0 ̄  

( 黄全 福  安 徽 省 怀 宁县 江 镇 中学,  
264 ) 4 12  

则面 = 。 A O cs 0 O cs B M: 。 6 。 M    
又  P M
=  


高 3 5 若抛物线 Y = p ( 0 的内 3   2x p> )  
.  

=  

接 A A C以焦 点 F为重 心 , 明 : B 证  



故 

l I 赢 I+I I   . 蔚  +l   葡   =  
证明 设 A   ,1 , (2Y ) C x ,3. ( I )B x , , ( 3Y) Y z  

PM


OM
: —
—  



BP  oB  

平 分  B M  O
BOC :   j  BAC =   CAD =4   5o   POM :3   0 ̄ BOC =1   5。

由 A 的心 焦 , ,   △  重 为点 (0 c 号) 得
f+ + 3       =, -z 2 1 ,

1++ = )) yo ,, 3. 12  
由对称 性 , 不妨设 Y 、2 0 Y < . lY > ,3 0 1  

△ A D为等腰直角三角形  C

注意到,  2x( =12 3 . Y = p    ,,)  


j C 拉A : C . A = B   D 
注意 到 ,  
-s   i n 曰O —sn 6 。= M i  0   2  

J  挚 . z, ,   +   ,   +
【   +   一   =  0

:  

J+一      挚 一? : ,  
\  
Xl X2 -

j   B    肼 : 2 O :   j  : 口 =_=   =2     = x 3:2  

+  

:  

A =2 B :   C 0 4

.  

(  

)   .  

2 1 年第 1 03 期 

4  9

由 + +3 3  1  2   = e _



知 

若 r 0 则  = ,
m =后   k i< + a    
一 1  .

+ +;     
0 < ≤   


譬_  +N 2 X  ( 2 3

若 r 0 则 由归 纳假设 知  > ,



警  矿2 [ (    
譬   一( +  3 p   2 (


) ]  
且 

m=a+ =a+ k ia >a) k r k ∑ a (j s , i j i  
i= 1  

<k j+r  a   
0<后 ≤ 

+ 1  
一1 .  





42 —  
‘ 

) ] + -    

综上 , 对任 意正 整数 』 v存在性 均成 立.   其 次证 明唯一 I  生.
若存 在两种 表示 , 即 

3 ( l N ) ( 1  2 p x + 2 +2 x + )  
9 2    

则 I l+} 1+l I 赢          2


Ⅳ ∑  = = ∑  ,  
可设 0<s , t ≤£且 为其 中最 小 的.  
若 0< <t则  S ,

(+)(+)(+)   号 + 号 +,   2  2  号
+  +  2

= 

3 p  1  2  3    + ( + + )+ 3

Ⅳ』  , - ≤1i      \ =a  t    (
<   Ⅳ,  


=  

.+  2+  2+ 9 2     

9 2 9 2 2  2         7  
+ 

矛盾.  

( 海 波  安 徽 省 合 肥 市 第 六 中 学 , 黄  
200 ) 3 0 1 

故 0< t 即   = ,

Ⅳ∑ =  :  ∑
再设 0<k≤Z     .  

高 3 6 若严格递增整数数列 {  满足  3 a}
a :1 a l  1n>1 , l ,  a +(   ) 

若 0<    则  k <2,


证 明 : 意正 整数 Ⅳ可 唯一表 示为  任

Ⅳ a ≤ 10 = 1  . )     , .    
证 明  首先用 数学 归纳 法证 明存在 性.   当 N=1时 , 论显 然成 立. 结  

  ∑ m jai, j


l  

其 中 ,   Z 1  <s ,       , m =, ≤ ( ) m :Z 一k >0 同上 
导 出矛 盾.   故 0<k =     Z

假设 对 一 切 N <m 存 在性 均成 立 , 当  则
N: 时 , m 令  m:kj ( ≤r a) a +rO < j  

于 ,  =   是∑ ∑
这与 t 的最 小性 矛盾.   故唯 一性成 立.   ( 智 勇 扬 州 大 学 附 属 中 学 东部 分  徐  
校 . 2 0 0) 2 50  

( 显然 ,   一 +∞ 时,  +∞ , 结合  当 a一 再
a =l知对 任 意正 整 数 m 必 定 存 在 唯 一 的    ,

下标  使得 a≤ , j m< i ) a+ .   


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