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排列组合


10.2排列(3)
例1 某年全国足球甲级(A组)联赛共14队参加,每队都要与 其余各队在主、客场比赛1次,共进行多少场比赛? 解:任何2队间进行1次主、客场比赛,对应于从14个 元素中任取2个元素的一个排列 ∴

A14 ? 14 ?13 ? 182 2

答:一共进行182场比赛。 思考:2个足球队之间进行比赛,要进行几场比赛? 2个足球队之间在主、客场分别比赛,要进

行几场比赛?

例2 (1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人 各1本,共有多少种不同的送法? (2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人 各1本,共有多少种不同的送法? 解(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列 ∴ A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 (2)从5种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不
3

相同,用分步计数原理:

5 ? 5 ? 5 ? 125
说明:两个小题的区别,(1)是典型的排列问题

(2)不是排列问题,用分步计数原理解决

例3 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆 上表示信号,每次可以任挂1面,2面或3面,并且不同 的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?

解:分为3类:
第1类:挂1面 第2类:挂2面 第3类:挂3面 ∴
1 A3 2 A3 3 A3

1 2 3 A3 ? A3 ? A3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 15

注:解排列应用题,注意分类与分步原理的应用 练习:由1,2,3这3个数字可以组成多少个没有重复 数字的正整数?

实际问题
得 实 际 问 题 的 解

转化
(建模)

排列问题
求 数 学 模 型 的 解

求排列数

(一)无条件限制的排列问题
解题的关键:1 确定该题是否是排列问题(将实际 问题“转化”为排列问题) 2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理

练习 (1) 车上有7个座位,5名乘客就座,有多少种就座方式? (2) 4辆公交车,有4位司机,4位售票员,每辆车上 配一位司机和一位售票员,有多少种不同的搭配 方案? (3)四个同学争夺三项竞赛冠军,冠军获得者的可能 种数有多少? 不是排列问题,用分步计数原理,有 4×4×4=64 种 (4)由1,4,5,x四个数字组成没有重复数字的四位数, 若所有的四位数的各数位上的数字之和为288,求x. 解:由题意得
4 A4 ? (1 ? 4 ? 5 ? x) ? 288

即24(10+x)=288

∴x=2

例4 用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字 的三位数? 分析:有一个限制条件:百位上不能排0

解 法1从特殊位置出发,分2步:
第1步:先排百位

法2 从特殊元素出发,分3类
第1类:每一位数字都不是0

A

1 9 2 A9

A

3 9

第2步:再排其它两位
1 9

第2类:个位数字是0 第3类:十位数字是0 ∴ 由分类计数原理
3 2 2 A9 ? A9 ? A9 ? 648

A ? A ? 9 ? 9 ? 8 ? 648
2 9

∴由分步计数原理

A 2 A9

2 9

法3 (间接法)从10个数字中任取3个数字的排列数
2 A 其中0在百位上的排列数 9

3 A10

3 2 ∴所求的三位数的个数为 A10 ? A9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 9 ? 8 ? 648

(二)有限制的排列问题 限制条件:某位置上不能排某元素或只能排某元素 常用方法:(1)直接法 a优限法:先特殊后一般 (有特殊元素或特殊位置,通 常先排特殊元素或特殊位置, 称为“优限法” )

b捆绑法:元素相邻
c插空法:元素不相邻

(2)间接法(排除法)
(先不考虑限制条件,算出所有的排列 数,再从中减去不符合条件的排列数)

例5 7位同学站成一排照相,按下列要求,各有多少

种不同的排法?
(1)甲必须站在中间 (2)甲、乙必须站在两端 (3)甲不在中间 解(1)法1 因为甲固定在中间,只需要其余6个

位置排6个人 ∴ A6 ? 720 7 A 法2 (排除法)7个任意排,有 7 种,
6
1 6 A 其中甲不在中间 ,有 6 A6 7 1 6 ∴甲在中间有 A7 ? A6 A6 ? 7!?6 ? 6! ? 720
2 (2)分两步,第1步:排两端 A2

5 A 第2步:排中间5人 5

由分步计数原理

2 5 A2 ? A5 ? 2 ? 120 ? 240

(4)甲既不在排头,也不在排尾 解(法1)优先考虑特殊元素 分两步,第1步:先排甲,不在头、尾
1 A5

第2步:再排其他人

A

6 6

1 6 ∴ 由分步计数原理 A5 ? A6 ? 5 ? 720 ? 3600 (法2)优先考虑特殊位置

分两步,第1步:除甲外,其他6人中选2人 站头、尾 第2步:其余位置
2 A6
5 A5

∴ 由分步计数原理 A2 ? A5 ? 6 ? 5 ? 120 ? 3600 6 5 7 A (法3)(排除法)7个人任意排 7 6 2 ? A 甲在头或尾 6 ∴
7 6 A7 ? 2 ? A6 ? 7 ? 6!?2 ? 6! ? 5 ? 720 ? 3600

(5)甲、乙必须相邻 解:由于甲、乙必须相邻,可分2步:
6 A 第1步:视甲、乙为一个元素与其他5人排, 6

第2步:甲、乙在一起排 , A

2 2

2 6 ∴ 由分步计数原理 A2 ? A6 ? 2 ? 720 ? 1440

说明:某些元素要求必须相邻时,可以先将这些 元素看作一个元素,与其它元素排列后,

再考虑相邻元素的内部排序,称为“捆绑法”

(6)甲、乙两人必须不相邻 解:(法1)甲、乙不相邻,先排其余5人,有 种, 2 A 5人排列共有6个空,从中选2个空排甲、乙,有 6 种, ∴共有 A5 ? A2 ? 120? 6 ? 5 ? 3600
5 6

5 A5

(法2)总的排法减去相邻的排法,
7 6 2 A7 ? A6 ? A2 ? 3600

说明:某些元素不相邻时,可先排其它元素,再将 这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法”

(7)甲、乙、丙三人的顺序一定 解:
7 A7 7! ? ? 840 3 A3 3!

另:甲、乙、丙三人的顺序一定,就是有顺序,
无位置,相当于7个位置排4个元素 7! 4 ∴ A7 ? ? 840 3! 7 A7 7! 练习:甲、乙顺序一定 ( A2 ? 2! ? 2520 ) 2 说明:n个不同元素中m个元素顺序一定的排列 问题的排法
n An m Am

练习: (1 )5个人站成一排,其中甲不站在排头, 乙不站在排尾,有多少种排法?
4 分析:甲站排头有 A4 种排法,

乙站排尾有 A 种排法 但两种情况中都包含了“甲站排头, 乙站排尾”,有A3
3

4 4

种排法

5 4 3 ? 2 A4 ? A3 ? 78 ∴ A5 (2)(2000全国高考)乒乓球队10名队员中有3名主力

队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排 在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在 第二、四位置,那么不同的出场安排有 252 种

A ? A ? 252
3 3 2 7

(3)5名男生和3名女生站成一排,女生要排在一起,不同 排法的种数为( D ) 8 6 B A A A 8 6 再3名女生之间排
5 3 A3 C A8 6 3 A3 D A6

分析:先将3名女生看作一个元素,与5名男生排;
6 3 A3 ∴ A6

(4) 5名男生和3名女生站成一排,任何两个女生不相邻,
不同排法的种数为( D )
8 A A 8

B A ?A
5 8

3 3

C A ?A
5 5

3 3

5 3 D A5 ? A6

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了!”又对耿正兄妹三人说:“你们肯定是哥哥姐姐了啊!回家里再哭吧,义母和兰妹妹还不知道咱们回来了呢!”耿老爹赶快擦把眼泪对耿正 兄妹三人说:“只顾哭了,还没有给你们介绍呢,这是你们的小弟弟李尚武,只比小直子小个把月。俺们已经认了父子,是他和他的哥哥姐姐陪 着爹走过这些年的。没有他和他的家人,爹活不到现在,更不可能返回故乡了!”又对李尚武说:“武儿,他们就是俺经常和你念叨的耿正大哥、 耿直二哥和耿英姐姐啊!”李尚武赶快上前一一施礼,说:“见过大哥!见过二哥!见过姐姐!经常听义父讲起你们来,小弟佩服得很哪!”耿 正兄妹三人也都擦把眼泪赶快回礼。耿正说:“多谢尚武兄弟陪护照顾爹爹,使爹能在今日返回故乡全家团圆!从今以后你就是俺们的亲三弟 了!”耿英也说:“实在太感谢三弟了!”耿直则激动地直接扑上来抱住了李尚武,说:“多好啊,俺有弟弟了!”李尚武也抱抱耿直高兴地说: “二哥啊,要不义父当年把我认成了你啊,咱俩长得真还挺像呢!还有啊,大哥姐姐你们都不要谢我啦,是义父给了我第二次生命呢!要是没有 义父搭救,我早已经没有性命了!”耿老爹说:“都别说了,咱们赶快回家!九年半了,俺夜夜做梦都在家里!可你们不知道,过了黄河以后, 俺却又特别害怕回来了。这些天总也走不快,直到今儿个了才磨蹭回来!”耿直说:“俺们三个也是。若按照正常的走法,大概会早回来好几天 呢!”说着话,耿老爹抬头看看停在五道庙西侧的大骡车,又看看耿正兄妹三人的装束,似乎明白了什么,哈哈哈大笑起来,对耿正兄妹三人说: “现在到家了,爹也活得好好儿的,你们快都脱了孝服哇!还有,把那挂车上的那些个插挂什么的也拿掉了,咱们高高兴兴地回家去!”耿正兄 妹三人听爹这么一说才恍然大悟:怎么还都穿着孝服呢!于是赶快扒掉孝服。耿正将扒下来的孝服扔给弟弟,过来欲搀扶爹爹上车。李尚武说: “大哥,你快去和姐姐、二哥收拾你们的那挂车吧,义父这边有我呢!”耿英说:“是哩,哥哥,咱们去把那挂车处理一下哇,别把这路上见到 的人们给吓着了!”说完这话,耿英转身来到五道庙前跪下磕头,满怀歉意的说:“五道爷啊,耿英一时想念爹爹心切,口出狂言,多有得罪, 恕罪!恕罪!”耿正笑着拉起妹妹,说:“起来哇,五道爷不会怪罪你的!等咱们把紧要做的几件大事情都安排妥当了以后,再专门来叩谢五道 爷的保佑之恩哇!”耿直也笑着说:“哥说得对,五道爷不但不会怪罪你,反而会觉得姐很可爱呢!”然后,兄妹三人快步来到车前,七手八脚 地将白纱和招魂幡全部拿掉卷把了放到寿棺上,又用红色大篷布把寿棺连同白纱和招魂幡等蒙住了,然后再包裹拉扯扎系得严严实实。李尚武看 了,笑


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