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高中高二数学上册知识点总结,期末习题大全


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高中高二数学上册复习教学知识点归纳总结 期末测试试题习题大全
一、不等式的性质 1 .两个实数 a 与 b 之间的大小关系 2 .不等式的性质 (4)( 乘法单调性 ) 3 .绝对值不等式的性质 (2) 如果 a > 0 ,那么 (3)|a?b| = |a|?|b| . (5)|a| - |b| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| . (6)|a1 + a2 +……+ an| ≤ |a1| + |a2| +……+ |an| . 二、不等式的证明 1 .不等式证明的依据 (2) 不等式的性质 ( 略 ) (3) 重要不等式:① |a| ≥ 0 ; a2 ≥ 0 ; (a - b)2 ≥ 0(a 、 b ∈ R) ② a2 + b2 ≥ 2ab(a 、 b ∈ R ,当且仅当 a=b 时取“ = ”号 ) 2 .不等式的证明方法 (1) 比较法:要证明 a > b(a < b) ,只要证明 a - b > 0(a - b < 0) ,这种 证明不等式的方法叫做比较法.
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用比较法证明不等式的步骤是:作差 ——变形——判断符号. (2) 综合法: 从已知条件出发, 依据不等式的性质和已证明过的不等式, 推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法. (3) 分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条 件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不 等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等. 三、解不等式 1 .解不等式问题的分类 (1) 解一元一次不等式. (2) 解一元二次不等式. (3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式. ①解一元高次不等式; ②解分式不等式; ③解无理不等式; ④解指数不等式; ⑤解对数不等式; ⑥解带绝对值的不等式; ⑦解不等式组. 2 .解不等式时应特别注意下列几点: (1) 正确应用不等式的基本性质.
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(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性. (3) 注意代数式中未知数的取值范围. 3 .不等式的同解性 (5)|f(x)| < g(x) 与- g(x) < f(x) < g(x) 同解. (g(x) > 0) (6)|f(x)| > g(x) ①与 f(x) > g(x) 或 f(x) <- g(x)( 其中 g(x) ≥ 0) 同解;② 与 g(x) < 0 同解. (9) 当 a > 1 时,af(x) > ag(x) 与 f(x) > g(x) 同解,当 0 < a < 1 时,af(x) > ag(x) 与 f(x) < g(x) 同 四、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等 式。 高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用 大。 证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高 下。 直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证 法。 还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造 法。 五、《立体几何》 点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线 成。 垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环
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现。 方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图 形。 立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关 键。 异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大 片。 六、《平面解析几何》 有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典 范。 笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途 径。 两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思 想。 三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系 判。 四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数 求。 解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形 学 七、《排列、组合、二项式定理》 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排 列。 两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转 化。
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排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考 虑。 不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模 试。 关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换 式。 八、《复数》 虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚 部。 对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角 度。 箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一 试。 代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数 值周期 现。 一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转 化。 利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边 形, 减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长 短。 三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方 便。 辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共 轭,
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两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区 别。 平方关系: sin^2 α + cos^2 α = 1 1 + tan^2 α = sec^2 α 1 + cot^2 α = csc^2 α ·积的关系: sin α =tan α × cos α cos α =cot α × sin α tan α =sin α × sec α cot α =cos α × csc α sec α =tan α × csc α csc α =sec α × cot α ·倒数关系: tan α · cot α = 1 sin α · csc α = 1 cos α · sec α = 1 商的关系: sin α /cos α = tan α = sec α /csc α

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cos α /sin α = cot α = csc α /sec α 直角三角形 ABC 中 , 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 , · [1] 三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos( α + β )=cos α · cos β -sin α · sin β cos( α - β )=cos α · cos β +sin α · sin β sin( α ± β )=sin α · cos β ± cos α · sin β tan( α + β )=(tan α +tan β )/(1-tan α · tan β ) tan( α - β )=(tan α -tan β )/(1+tan α · tan β ) ·三角和的三角函数: sin( α + β + γ )=sin α · cos β · cos γ +cos α · sin β · cos γ +cos α · cos β · sin γ -sin α · sin β · sin γ cos( α + β + γ )=cos α · cos β · cos γ -cos α · sin β · sin γ -sin α · cos β · sin γ -sin α · sin β · cos γ tan( α + β + γ )=(tan α +tan β +tan γ -tan α · tan β · tan γ )/(1-tan α · tan β -tan β · tan γ -tan γ · tan α ) ·辅助角公式: Asin α +Bcos α =(A2+B2)^(1/2)sin( α +t) ,其中
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sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asin α -Bcos α =(A2+B2)^(1/2)cos( α -t) , tant=A/B ·倍角公式: sin(2 α )=2sin α · cos α =2/(tan α +cot α ) cos(2 α )=cos2( α )-sin2( α )=2cos2( α )-1=1-2sin2( α ) tan(2 α )=2tan α /[1-tan2( α )] ·三倍角公式: sin(3 α )=3sin α -4sin3( α )=4sin α · sin(60+ α )sin(60- α ) cos(3 α )=4cos3( α )-3cos α =4cos α · cos(60+ α )cos(60- α ) tan(3 α )=tana · tan( π /3+a) · tan( π /3-a) ·半角公式: sin( α /2)= ±√ ((1-cos α )/2) cos( α /2)= ±√ ((1+cos α )/2) tan( α /2)= ±√ ((1-cos α )/(1+cos α ))=sin α /(1+cos α )=(1-cos α )/sin α ·降幂公式 sin2( α )=(1-cos(2 α ))/2=versin(2 α )/2 cos2( α )=(1+cos(2 α ))/2=covers(2 α )/2
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tan2( α )=(1-cos(2 α ))/(1+cos(2 α )) ·万能公式: sin α =2tan( α /2)/[1+tan2( α /2)] cos α =[1-tan2( α /2)]/[1+tan2( α /2)] tan α =2tan( α /2)/[1-tan2( α /2)] ·积化和差公式: sin α · cos β =(1/2)[sin( α + β )+sin( α - β )] cos α · sin β =(1/2)[sin( α + β )-sin( α - β )] cos α · cos β =(1/2)[cos( α + β )+cos( α - β )] sin α · sin β =-(1/2)[cos( α + β )-cos( α - β )] ·和差化积公式: sin α +sin β =2sin[( α + β )/2]cos[( α - β )/2] sin α -sin β =2cos[( α + β )/2]sin[( α - β )/2] cos α +cos β =2cos[( α + β )/2]cos[( α - β )/2] cos α -cos β =-2sin[( α + β )/2]sin[( α - β )/2] ·推导公式 tan α +cot α =2/sin2 α tan α -cot α =-2cot2 α 1+cos2 α =2cos2 α
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1-cos2 α =2sin2 α 1+sin α =(sin α /2+cos α /2)2 ·其他: sin α +sin( α +2 π /n)+sin( α +2 π *2/n)+sin( α +2 π *3/n)+ … … +sin[ α +2 π *(n-1)/n]=0 cos α +cos( α +2 π /n)+cos( α +2 π *2/n)+cos( α +2 π *3/n)+ … … +cos[ α +2 π *(n-1)/n]=0 以及 sin2( α )+sin2( α -2 π /3)+sin2( α +2 π /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx 证明: 左边 =2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-si n(n-1)x]/2sinx (积化和差) =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx= 右边 等式得证 sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx 证明 : 左边 =-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

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=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1) x]/(-2sinx) =-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx= 右边 等式得证 [ 编辑本段 ] 三角函数的诱导公式 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin ( 2k π + α )= sin α cos ( 2k π + α )= cos α tan ( 2k π + α )= tan α cot ( 2k π + α )= cot α 公式二: 设 α 为任意角, π + α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π + α )=- sin α cos ( π + α )=- cos α tan ( π + α )= tan α cot ( π + α )= cot α 公式三: 任意角 α 与 - α 的三角函数值之间的关系: sin (- α )=- sin α
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cos (- α )= cos α tan (- α )=- tan α cot (- α )=- cot α 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π - α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π - α )= sin α cos ( π - α )=- cos α tan ( π - α )=- tan α cot ( π - α )=- cot α 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2 π - α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( 2 π - α )=- sin α cos ( 2 π - α )= cos α tan ( 2 π - α )=- tan α cot ( 2 π - α )=- cot α 公式六: π /2 ± α 及 3 π /2 ± α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π /2 + α )= cos α cos ( π /2 + α )=- sin α
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tan ( π /2 + α )=- cot α cot ( π /2 + α )=- tan α sin ( π /2 - α )= cos α cos ( π /2 - α )= sin α tan ( π /2 - α )= cot α cot ( π /2 - α )= tan α sin ( 3 π /2 + α )=- cos α cos ( 3 π /2 + α )= sin α tan ( 3 π /2 + α )=- cot α cot ( 3 π /2 + α )=- tan α sin ( 3 π /2 - α )=- cos α cos ( 3 π /2 - α )=- sin α tan ( 3 π /2 - α )= cot α cot ( 3 π /2 - α )= tan α ( 以上 k ∈ Z) 对 于 任 意 非 直 角 三 角 形 中 , 如 三 角 形 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明 : 已知 (A+B)=( π -C) ABC, 总 有

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所以 tan(A+B)=tan( π -C) 则 (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan π -tanC)/(1+tan π tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地 , 我们同样也可以求证 : 当 α + β + γ =n π (n ∈ Z) 时, 总有 tan α +tan β +tan γ =tan α tan β tan γ 设 a= ( x , y ), b=(x' , y') 。

1 、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC 。 a+b=(x+x' , y+y') 。 a+0=0+a=a 。 向量加法的运算律: 交换律: a+b=b+a ; 结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 。

2 、向量的减法 如果 a 、 b 是互为相反的向量,那么 a=-b , b=-a , a+b=0.0 的反向 量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”

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a=(x,y)b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4 、数乘向量 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 λ a ,且∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣·∣ a ∣。 当 λ > 0 时, λ a 与 a 同方向; 当 λ < 0 时, λ a 与 a 反方向; 当 λ =0 时, λ a=0 ,方向任意。 当 a=0 时,对于任意实数 λ ,都有 λ a=0 。 注:按定义知,如果 λ a=0 ,那么 λ =0 或 a=0 。 实数 λ 叫做向量 a 的系数,乘数向量 λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。 当∣ λ ∣> 1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向( λ > 0 )或反方向( λ < 0 )上伸长为原来的∣ λ ∣倍; 当∣ λ ∣< 1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向( λ > 0 )或反方向( λ < 0 )上缩短为原来的∣ λ ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律: ( λ a) · b= λ (a · b)=(a · λ b) 。 向量对于数的分配律(第一分配律): ( λ + μ )a= λ a+ μ a. 数对于向量的分配律(第二分配律): λ (a+b)= λ a+ λ b. 数乘向量的消去律:①如果实数 λ ≠ 0 且 λ a= λ b ,那么 a=b 。②如果 a ≠ 0 且 λ a= μ a ,那么 λ = μ 。

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3 、向量的的数量积 定义:两个非零向量的夹角记为〈 a , b 〉,且〈 a , b 〉∈ [0 , π ] 。 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作 a · b 。若 a 、 b 不共线,则 a · b=|a| · |b| · cos 〈 a , b 〉;若 a 、 b 共线,则 a · b=+- ∣ a ∣∣ b ∣。 向量的数量积的坐标表示: a · b=x · x'+y · y' 。 向量的数量积的运算率 a · b=b · a (交换率); ( a+b) · c=a · c+b · c (分配率); 向量的数量积的性质 a · a=|a| 的平方。 a ⊥ b 〈 = 〉 a · b=0 。 |a · b| ≤ |a| · |b| 。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1 、向量的数量积不满足结合律,即:(a · b) · c ≠ a · (b · c) ;例如:(a · b)^2 ≠ a^2 · b^2 。 2 、向量的数量积不满足消去律,即:由 a · b=a · c(a ≠ 0) ,推不出 b=c 。 3 、 |a · b| ≠ |a| · |b| 4 、由 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b 。

4 、向量的向量积

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定义:两个向量 a 和 b 的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作 a × b 。若 a 、 b 不共线,则 a × b 的模是:∣ a × b ∣ =|a| · |b| · sin 〈 a , b 〉; a × b 的方向是:垂直于 a 和 b ,且 a 、 b 和 a × b 按这个次序构成右手系。若 a 、 b 共线,则 a × b=0 。 向量的向量积性质: ∣ a × b ∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。 a × a=0 。 a ‖ b 〈 = 〉 a × b=0 。 向量的向量积运算律 a × b=-b × a ; ( λ a )× b= λ ( a × b ) =a ×( λ b ); ( a+b )× c=a × c+b × c. 注:向量没有除法,“向量 AB/ 向量 CD ”是没有意义的。

向量的三角形不等式 1 、∣∣ a ∣ - ∣ b ∣∣≤∣ a+b ∣≤∣ a ∣ + ∣ b ∣; ①当且仅当 a 、 b 反向时,左边取等号; ②当且仅当 a 、 b 同向时,右边取等号。 2 、∣∣ a ∣ - ∣ b ∣∣≤∣ a-b ∣≤∣ a ∣ + ∣ b ∣。 ①当且仅当 a 、 b 同向时,左边取等号; ②当且仅当 a 、 b 反向时,右边取等号。

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定比分点 定比分点公式(向量 P1P= λ ·向量 PP2 ) 设 P1 、P2 是直线上的两点,P 是 l 上不同于 P1 、P2 的任意一点。则 存在一个实数 λ ,使向量 P1P= λ ·向量 PP2 , λ 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比。 若 P1 ( x1,y1) , P2(x2,y2) , P(x,y) ,则有 OP=(OP1+ λ OP2)(1+ λ ) ;(定比分点向量公式) x=(x1+ λ x2)/(1+ λ ), y=(y1+ λ y2)/(1+ λ ) 。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 三点共线定理 若 OC= λ OA+ μ OB, 且 λ + μ =1, 则 A 、 B 、 C 三点共线 三角形重心判断式 在△ ABC 中,若 GA+GB+GC=0, 则 G 为△ ABC 的重心 [ 编辑本段 ] 向量共线的重要条件 若 b ≠ 0 ,则 a//b 的重要条件是存在唯一实数 λ ,使 a= λ b 。 a//b 的重要条件是 xy'-x'y=0 。 零向量 0 平行于任何向量。 [ 编辑本段 ] 向量垂直的充要条件 a ⊥ b 的充要条件是 a · b=0 。
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a ⊥ b 的充要条件是 xx'+yy'=0 。 零向量 0 垂直于任何向量 . 还有注意一点 , 不要把点写成叉 圆锥曲线里的弦长公式 d= 根 号 (1+k^2)|x1-x2|= 根 号 (1+k^2) 根 号 [(x1+x2)^2-4x1x2]= 根 号 [(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] 圆里相交直线所构成的弦长 m, 与圆的半径 r, 圆心到直线的距离 d 的关 系为 (m/2)^2+d^2=r^2 直线 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 平行的充要条件是 A1B2+A2B1=0 且 B1C2+B2C1 不等于 0 点到直线的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/ 根号 (A^2+B^2) 若平行 则 d=|c2-c1|/ 根号 (A^2+B^2) A 和 B 上下两个式子必须相等

高二数学上学期期中复习纲要
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***** 不等式部分 一、知识: 1. 不等式的性质 . (公式的等价性、公式的附加条件) 2. 不等式证明:(比较法、分析法、重要不等式,换元法、对称代换、 平均值代换、判别式、构造函数法、放缩法、反证法,构造图形法) 3. 不等式解法:一元二次不等式(三个二次问题)标根法、图解法、 含参数讨论 4. 不等式应用:建立等式或不等式模型,解不等式,求最值。 恒成立的问题(分离参数、上下界比较、分类讨论、数形结合) 二、重要数学方法: 1. 函数与方程的思想、2. 分类讨论的思想、3. 等价转化思想、4. 数形结 合思想 5. 构建模型思想〕

***** 直线和圆的方程部分: 一、知识; 直线重要概念:(倾斜角、斜率、范围) 1. 直线的 5 种形式的方程(适用条件)( 6. 参数方程) 2. 两条直线的位置关系 ①关于判定条件(充分不必要条件、重要条件) ②关于角的公式(倾斜角、线到线的角、夹角、公式、 K 顺序)

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③关于距离的公式(点—点、点 --- 线;线 ----- 线) ④关于线系方程(垂直直线、平行直线的设法;过交点系方程;圆系 方程;曲线系方程) ⑤过定点问题(分离参数、任意性问题) ⑥关于对称的问题(入反射) ⑦求最值问题(几何法、函数法、不等式) ⑧线性规划问题(最优解的探求)

3. 曲线方程 ①点的轨迹的求法:直接法、几何法、转代法、参数法、交轨法 求轨迹的一般步骤(建、设、列、化、验) (纯粹性、完备性) ②由方程讨论曲线的性质(截距、对称性、范围、图形 ---- ) ③求两曲线的交点、弦长公式(几何法 dr 表示、代数法△ --0 ) 4. 圆的方程问题: 普通方程、一般方程、参数方程(待定系数法、注意选择适当的设法) 5. 位置关系问题: ①点圆位置关系:比较 |po|--r :点 --- 方程 ②线圆位置关系:代数方法、几何方法 ③圆圆位置关系:相关几何条件的坐标化

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5. 切线问题 ①过已知圆上一点的切线的求法 ②过已知圆外一点的切线的求法,过切点的直线的方程的求法 ③两圆的内、外公切线的求法 ④切线长公式 ⑤圆的内外公切线 二、重要的数学方法; 1. 待定系数法 2. 对称变换法 3. 参数法 4. 特殊化方法 5. 化归思想方法 6. 分类讨论思想 7. 数形结合思想 8. 建模思想方法

一 . 选择题: 1. 若实数 a,b 满足 0<a<b<1, 则下列不等式中,正确的是() A.,B.C.D.

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2. 向量集合 M={}, N={}, 则 MN=() A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(-1,1)}D.{(-23,-13)} 3. 已知关于的方程有实数解, 则实数的取值范围是() A.[]B.[]C.[]D.[] 4. 函数的单调递增区间是() A.[B.[] C.[]D.[] 5. 已知函数的反函数的图像关于点(, 4 )成中心对称, 则实数的值为() A.0B.2C.3D.4 6. 在平面直角坐标系中,方程(为不相等的两个正实数)所确定的平 面图形是() A. 三角形 B. 正方形 C. 非正方形的长方形 D. 非正方形的菱形 7. 一个等比数列的首项为,它的前 11 项的几何平均数为,若在前 11 项中抽出一项后的几何平均数为,则抽去的项是() A. 第 8 项 B. 第 9 项 C. 第 10 项 D. 第 11 项 8. 设 F 是椭圆的左焦点, P 是椭圆上的某一点,椭圆的顶点 A , B 分 别在轴,轴的正半轴上,且 PF 轴,OP ∥ AB ,那么该椭圆的离心率等于() A.B.C.D.
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9. 已知数列满足()且,其前项之和为,则满足 不等式的最小整数为() A.5B.6C.7D.8 10. 在⊿ ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别记为 a,b,c,(b1) 且,都是方程 的根,则⊿ ABC 是() A. 是直角三角形,但不是等腰三角形; B. 是等腰三角形,但不是直角 三角形; C. 是等腰直角三角形; D. 不是等腰三角形,也不是直角三角形 . 二 . 填空题 11. 不等式 1+2<3 的解集是 12. 若方程的三个根成等差数列,则此方程的根为 13. 函数的最小值是 14. 一个四元素集 S 的所有子集的元素和的总和等于 2008(空集的元 素和认为是 0 ), 则 S 的元素之和等于 15. 若函数,则 = 16. 已知⊿ ABC 的各顶点都是整点 (横纵坐标均为整数的点) , 且A ( 0, 0 ), B ( 36 , 15 ) 则⊿ ABC 的面积的最小值是 三 . 解答题:

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17. 已知且 . 给出下面四个式子: 将它们按由大到小的顺序排列,并给出相应的证明。

18. 如图,已知 CA=CB=CD ,过 A , C , D 三点的 圆交直线 AB 于 F. 求证: CF 为∠ DCF 的平分线 .

19. 设是给定的两个圆,两圆不相交,且一个在另一个的外部,由一点 P作 圆的切线 PT1 , PT2 ,设 PT1=PT2 ,求 P 点的轨迹 .

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20. 函数的定义域关于原点对称(不包括原点),且满足下列条件: ( i ); ( ii )(为正常数); ( iii )当时, . 求证:( 1 )是奇函数 . ( 2 )是周期函数 . ( 3 )在( 0 , 4 )上为减函数 .

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. ,复数为纯虚数,则 A、 B、 C、 D、 2. 神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成,每两人为一组,若指定 翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组,则这六人的不同分组方法有 A. 48 种B. 36 种C. 6 种D. 3 种 3. 的展开式中,第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44 ,则 展开式中的常数项是 A.第 3 项B.第 4 项C.第 7 项D.第 8 项
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4. 在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同),不放回地依次 摸出 2 个球,在第一次摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为 A. 3/5 B. 2/5 C. 1/10 D. 5/9

5. 若随机变量 η 的分布列如下: 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

则当时,实数 x 的取值范围是 A. x ≤ 2 B. 1 ≤ x ≤ 2 C. 1 < x ≤ 2 D. 1 < x < 2

6 命题:“有些有理数是分数,整数是有理数,则整数是分数”结论 是错误的,其原因是

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( A )大前提错误( B )小前提错误( C )推理形式错误( D )以上都 不是

7. 已知函数 f(x)=ax2 + c, 且 =2, 则 a 的值为 A.1B.C. - 1D.0 8. 已知函数在处的导数为 3 ,则的解析式可能为 A . (x-1)3+3(x-1)B . 2(x-1)2C . 2(x-1)D . x-1 9. 已知函数在处的导数为 1 ,则 A . 3B . C . D . 10. 函数处的切线方程是 A. B. C. D. 11.. 曲线与坐标轴围成的面积是 A.4B.C.3D. 12. 函数有 A. 极小值- 1 ,极大值 1B. 极小值- 2 ,极大值 3 C. 极小值- 1 ,极大值 3D. 极小值- 2 ,极大值 2

高二数学函数测试题 1 、( 1 ) =_____ ( 2 ) ___________

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(3)log2.56.25 + lg + ln + =_____(4)lg25+lg2lg50+(lg2)2=_____ ( 5 )若,则 x=______ ( 6 )若,则 y=_______ ( 7 )若,则等于 ___________ 2 、若 f(x) 的定义域为 [ - 1,4] ,则函数 f(x+2) 的定义域为 __________ 3 、函数的定义域为 ___________ 4 .已知 lg2=a , lg3=b ,等于 ___________ 5 、若,则 ___________ 6 、若 = - 2x ,则实数 x 的取值范围是 ___________ 7 、若 a2x= - 1 ,则等于 ___________ 8 、已知,那么 f(x+1)= 9 、满足 {1,2} 的集合 A 的个数是 10 、 已知集合, 集合 B={x|x<a} , 若 A∩ B, 则 a 的取值范围是 _________ 11 、若,求 a 的取值范围 __________ 12 、方程在( 0 , 1 )内恰有一解,则实数 a 的取值范围为 _________ 13 、设函数 f(x) 对任意 x , y 满足,且,则等于 _________ 14 、 某池塘中原有一块浮草, 浮草蔓延后的面积 y ( m2 ) 与时间 t ( 月) 之间的函数关系是 y=at — 1 ( a>0 且 a ≠ 1 ),它的图象如图所示: ①池塘中原有浮草的面积是 0.5m2 ; ②到第 7 个月浮草的面积一定能超过 60m2 ; ③浮草每月增加的面积都相等;
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④若浮草面积达到 4m2 ,16m2 ,64m2 所经过的时间分别为 t1 ,t2 , t3 ,则 t1+t2<t3 。 其中所有正确命题的序号为 _________________ 15 、已知,那么 m 、 n 、 0 、 1 的大小顺序是 __________ 16 、已知幂函数 y=f(x) 的图象过点 (2 , ) ,则 f(9)=____________ 。 17 、已知 0<a<1,b<-1. 则函数 y = ax + b 的图象不经过第 _____ 象限。 18 、定义运算,,例如,则函数的值域为 ____________ 。 19 、设函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 的图象关于 y 轴对称,它的定义域 为 [a - 1 , 2a] ( a 、 b ∈ R ),求 f(x) 的值域。 20 、求使不等式成立的的集合。(其中且)

21 、给出函数. ( 1 )求函数的定义域; ( 2 )判断函数的奇偶性;

22 .已知函数 ( 1 )求 f ( x )的定义域和值域; ( 2 )讨论 f ( x )的奇偶性并证明; ( 3 )判断 f ( x )在( 0 , + ∞)的单调性并证明。

23 、设,求函数的最大值和最小值 .

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24 、定义在 R 上的函数是奇函数,是偶函数,且, 求:与的表达式; 25 、已知二次函数满足且. ( 1 )求的解析式; ( 2 )当时,不等式:恒成立,求的范围.

26 、已知函数 . ( 1 )求证:不论为何实数总是为增函数; ( 2 )确定的值 , 使为奇函数;( 3 )当为奇函数时 , 求的值域 .

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)中学 1 、已知集合,,则 M ∩ N = () 高 A.B. { x|0 < x < 3 } C. { x|1 < x < 3 } D. { x|2 < x < 3 } 2 、设集合 , 若 , 则中元素个数为 () A.0B.1C.2D. 至少 3 个 3 、已知,,,则() A. B. C. D. 4 、曲线在点处的切线的倾斜角为()

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A30 ° B45 ° C60 ° D120 ° 5 、函数的导数是 () A.B.C.D. 6 、设为奇函数,对任意 R ,均有,若,则等于() A .- 3B . 3C . 4D .- 4 7 、已知随机变量,且,,则与的值分别为 () A . 16 与 0.8B . 20 与 0.4C . 12 与 0.6D . 15 与 0.8 8 、已知命题 :函数在 R 为增函数, :函数在 R 为减函数, 则在命题:,:,:和:中,真命题是() A. , B. , C. , D. , 9. 某市组织一次高三调研考试, 考试后统计的数学成绩服从正态分布, 其密度函数 ,则下列命题不正确的是 () A .该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B .分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C .分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D .该市这次考试的数学标准差为 10 10 、函数的图象经过原点,且它的导函数的图象是如图所示的一条直
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线,则的图象不经过() A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 11 、已知函数在点处可导,则 () A.B.C.D. 12 、已知函数若互不相等,且则的取值范围是() A.B.C.D. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)高 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分请把答案填在 答题纸上) 13 、命题“”的否定是 _____________________________. 14 、由抛物线,直线所围成图形的面积是 __________. 15 、在实数集中定义一种运算“ * ”,具有性质:1 )a*b=b*a2)a*0=a 3)(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c 则函数的最小值为 . 16 、对于函数,在使≥ M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最 大值称为函数的“下确界”,则函数的下确界为. 三、解答题(本大题共 6 小题 , 共 70 分;解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 17 、(本小题 12 分) 已知函数对一切都有 ( 1 )试判断的奇偶性;( 2 )若,用表示 .
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18 、(本小题 12 分) 已知集合,其中 a ≠ 1 ( 1 )当 a=2 时,求 A ∩ B ;( 2 )求使 BA 的实数 a 的取值范围。 19 、(本小题 12 分)已知函数 f(x)= 。 (Ⅰ)求函数 f(x) 在点处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x) 的极大值和极小值。 20 、(本小题 12 分)投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投 入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分,经 过多次试验,某生投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其 余不能入袋。 ( 1 )记“飞碟投入红袋”,“飞碟投入蓝袋”,“飞碟不入袋”分 别记为事件 A , B , C ,求;( 2 )求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋 的概率 . ( 3 )求该人两次投掷后得分的数学期望 . 21 、(本小题 12 分)设函数. ( 1 )求函数的单调区间; ( 2 )若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 请考生在第( 22 )、( 23 )、( 24 )三题中任选一题做答,如果多 做,则按所作的第一题记分。作答时先写清楚所选题目的题号。 22 、(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图,的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E

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( I )证明: ( II )若的面积,求的大小。 23 、(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程

已知 P 为半圆 C :(为参数,)上的点,点 A 的坐标为( 1,0 ),

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧的长度均为。 ( I )以 O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐 标; ( II )求直线 AM 的参数方程。 24 、(本小题满分 10 分)选修 4-5 ,不等式选讲 设函数 (Ⅰ)画出函数的图像 (Ⅱ)若不等式≤的解集非空,求的取值范围。

(C) A.0B.1C.2D. 至少 3 个 3 、已知,,,则( D ) A. B. C. D. 4 、曲线在点处的切线的倾斜角为( B ) A30 ° B45 ° C60 ° D120 °

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5 、函数的导数是 (B) A.B.C.D. 6 、设为奇函数,对任意 R ,均有,若,则等于( A ) A .- 3B . 3C . 4D .- 4 7 、已知随机变量,且,,则与的值分别为 (D) A . 16 与 0.8B . 20 与 0.4C . 12 与 0.6D . 15 与 0.8 8 、已知命题 :函数在 R 为增函数, :函数在 R 为减函数, 则在命题:,:,:和:中,真命题是( C ) A. , B. , C. , D. , 9. 某市组织一次高三调研考试, 考试后统计的数学成绩服从正态分布, 其密度函 10 、函数的图象经过原点,且它的导函数的图象是如图所示的一 条直线,则的图象不经过( B )

A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 11 、已知函数在点处可导,则 (D) A.B.C.D. 12 、已知函数若互不相等,且则的取值范围是( C )

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A.B.C.D. 解析:互不相等,不妨设

,显然 所以选 C 命题意图:考察数形结合思想,利用图像处理函数与方程问题 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;请把答案填 在答题卡上) 13 、命题“”的否定是. 14 、由抛物线,直线所围成图形的面积是 __________. 15 、在实数集中定义一种运算“ * ”,具有性质:1 )a*b=b*a2)a*0=a 3)(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c 则函数的最小值为 3. 16 、对于函数,在使≥ M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最 大 奇; -4a 18 、已知集合,其中 a ≠ 1 ( 1 )当 a=2 时,求 A ∩ B ;( 2 )求使 BA 的实数 a 的取值范围。 解析:( 1 )当 a=2 时, A=(2,7) , B=(4,5) ∴ A ∩ B= ( 4 , 5 ) ????????????????4 分 ( 2 )∵ B=(2a , a2+1)
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当时, A=(3a+1 , 2) 要使,必须,此时 a=-1 ; ???6 分 当时,,使的 a 不存在; ???8 分 当时, A=(2 , 3a+1) 要使 综上可知,使,的实数 a 的取值范围 ????????????????12 分 19 、(本小题 12 分)已知函数 f(x)= 。 (Ⅰ)求函数 f(x) 在点处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x) 的极大值和极小值。 况如下表: x( -∞ ,0)0(0,1),(1,2)2(2,+ ∞ ) f ′ (x)+0 – 0+ ………… 9 分 所以当 x=0 时,函数 f(x) 取得极大值为 6 ;当 x=2 时,函数 f(x) 取得 极小值为 18 。 ………… 12 分 20. 投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未 投入袋记 0 分,经过多次试验,某生投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋。 ( 1 )记“飞碟投入红袋”,“飞碟投入蓝袋”,“飞碟不入袋”分 别记为事件 A , B , C ,求;( 2 )求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋 的概率 .w.w.w..c.o.m ( 3 )求该人两次投掷后得分的数学期望 .

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21 、(本小题 12 分)设函数. ( 1 )求函数的单调区间; ( 2 )若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【解】( 1 ), 令,得, ∴的增区间为和,……… 3 分 令,得, ∴,…………………………………………………………… 11 分 ∴.……………………………………………………………………… 12 分 请考生在第( 22 )、( 23 )、( 24 )三题中任选一题做答,如果多 做,则按所作的第一题记分。作答时先写清楚所选题目的题号。 22 、(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图,的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E ( I )证明: ( II )若的面积,求的大小。 (Ⅰ)由已知条件,可得 因为是同弧上的圆周角,所以 故△ ABE ∽△ ADC. …… 5 分 (Ⅱ)因为△ ABE ∽△ ADC ,所以,即 AB?AC=AD?AE. 又 S=AB?ACsin ,且 S=AD?AE ,故 AB?ACsin=AD?AE.
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则 sin=1 ,又为三角形内角,所以 =90 ° . …… 10 分 23 、(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程

已知 P 为半圆 C :(为参数,)上的点,点 A 的坐标为( 1,0 ),

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(),A( 0,1 ),故直线 AM 的参数方程为 ( t 为参数)…… 10 分 24 、(本小题满分 10 分)选修 4-5 ,不等式选项 设函数 (Ⅰ)画出函数的图像 (Ⅱ)若不等式≤的解集非空,求 a 的取值范围。 解: (Ⅰ)由于则函数的图像如图所示。 (Ⅱ)由函数与函数的图像可知,当且仅当或时,函数与函数的图像 有交点。故不等式的解集非空时,的取值范围为

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