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2011-2015高考全国1卷理科数学试卷及答案


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i
(B) i

(A) ? i

3 5

3 5

(C)

?i

(D) i

(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0, )单调递增的函数是 (A) y ? x2 (B) y ? x ?1 (C) y ? ? x2 ? 1 (D) y ? 2? x

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加 各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
3 4 1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则
cos 2? =

(A) ?
4 5

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为

(7) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3
5

(C)2

(D)3

a ?? 1? ? (8) ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?
(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A)
10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)6

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3 (C) P2 , P3 (D) P2 , P4

? x ? ? )( ? ? 0,? ? (11 )设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(
且 f (? x) ? f ( x) ,则
? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,

? ? 3? (B) f ( x) 在 ? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?

? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4

? ? 单调递增 ?

(12)函数 y ? 之和等于 (A)2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐标 x ?1

(B) 4

(C) 6 第Ⅱ卷

(D)8

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题---第 21 题为必考题,每个试题 考生都必须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

?3 ? 2 x ? y ? 9, (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,
(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 离心率为 为



x 轴上,

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ? ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 2



(15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。 。

(16)在 ? ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . 求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? 设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.

(Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 (19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得 到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关 系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分 布列及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率) (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满 足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (21) (本小题满分 12 分)

已 知 函 数 f ( x) ?
x ? 2y ? 3 ? 0 。

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1处 ))的切线方程为 x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。 已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?

?
3

与 C1 的异

于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题 (1)C (7)B 二、填空题 (13)-6 三、解答题 (17)解:
2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

(2)B (8)D

(3)B (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

(14)

x2 y 2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

1 。有条件 9

1 可知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ

) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(18)解: (Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD

从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD

所以 BD ? 平面 PAD.

故 PA ? BD

(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n= (x,y,z) , 则 即
?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m,则

??? ? m ? PB ? 0 ??? ? m ? BC ? 0 cos m, n ?
2 7 7
22 ? 8 =0.3 ,所 100

可取 m=(0,-1, ? 3 )

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解

?

(Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以 100

( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94? , ?94,102? , ?102,110?

的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:
???? ( Ⅰ ) 设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA = ( -x,-1-y ) ,
???? ??? ? ???? ???? MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再 由 愿 意 得 知 ( MA + MB ) ?

??? ? AB =0, 即

(-x,-4-2y)?

(x,-2)=0.
1 2 x -2. 4 1 2 1 x -2 上一点,因为 y ' = x,所以 l 的斜 4 2

所以曲线 C 的方程式为 y=

(Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= 率为
1 x 2 0

因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? 则 O 点到 l 的距离 d ?

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2

2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ?4

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

(21)解:

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2

?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? 。 ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 故

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 , x2

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, 1? k 1 1 而 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设 1? k 1? x2

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

矛盾。 (iii)设 k ? 1.此时 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0, 可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB AC AB

因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.



AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心 为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2 1 (12-2)=5. 2

?x ? ? 2 cos ?, ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ?2 ?



? x ? 4 cos? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

? x ? 4cos ? 从而 C 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

, 。

?
3

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ?1|? 2 。 由此可得
x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? a 即 ? x? ? ? 4 ?x ? a ? a 或? a?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?
a 由题设可得 ? = ?1 ,故 a ? 2 2

?

2012 高考理科数学全国卷 1 试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至 2 页,第Ⅱ卷 第 3 至第 4 页。考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题 (1)复数

?1 ? 3i ? 1? i
(B) 2 ? i (C) 1 ? 2i (D) 1 ? 2i

(A) 2 ? i

(2)已知集合 A ? {1,3, m} , B ? {1, m} , A ? B ? A ,则 m ? (A) 0 或 3 (B) 0 或 3 (C) 1 或 3 (D)1 或 3

(3)椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为

x2 y 2 ?1 (A) ? 16 12

x2 y 2 ?1 (B) ? 12 8

x2 y 2 ?1 (C) ? 8 4

x2 y 2 ?1 (D) ? 12 4

AB ? 2 , CC1 ? 2 2 , E 为 CC1 的中点,则 (4)已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1中 ,

直线 AC1 与平面 BED 的距离为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D)1

(5)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 { 和为 (A)

1 } 的前 100 项 an an ?1

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

(6) ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 , 则 AD ? (A) a ?

??? ?

?

??? ?

?

? ?

?

?

????

1? 3

1? b 3

(B)

2? 2? a? b 3 3

(C)

3? 3? a? b 5 5

(D)

4? 4? a? b 5 5

(7)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 ,则 cos 2? ? 3
(C)

(A) ?

5 3

(B) ?
2

5 9
2

5 9

(D)

5 3

(8)已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 |, 则 cos ?F 1PF2 ? (A)

1 4

(B)

3 5
? 1 2

(C) ,则

3 4

(D)

4 5

(9)已知 x ? ln ? , y ? log5 2 , z ? e (A) x ? y ? z
3

(B) z ? x ? y

(C) z ? y ? x

(D) y ? z ? x

(10)已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c ? (A) ?2 或 2 (B) ?9 或 3 (C) ?1 或 1 (D) ?3 或1

(11)将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相 同,则不同的排列方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 24 种 (D) 36 种

(12)正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE ? BF ?

3 。动 7

点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角, 当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为 (A) 16 (B) 14 (C) 12 (D) 10

2012 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号 填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页, 请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 在试题卷上作答无效 。 ........ 3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。 二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

? x ? y ?1 ? 0 ? (13)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为__________。 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
(14)当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________。
n (15)若 ( x ? ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中

1 x

1 的系数 x2

为_________。
? (16)三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 ,则

异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分 10 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ...........

?ABC 的内角 A 、 C 的对边分别为 a 、 a ? 2c , b、 B、 已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 , c,
求C 。
P

(18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面
E B C A D

ABCD , AC ? 2 2 , PA ? 2 , E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC 。
(Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。

(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再 连续发球 2 次,依次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每 次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中, 甲先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。

(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f ( x) ? ax ? cos x , x ? [0, ? ] 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围。

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ........
2 2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ?

1 2 ) ? r 2 (r ? 0)有一个公共点 A , 2

且在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到

l 的距离。

(22) (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ........ 函 数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3, 定 义 数 列 {xn } 如 下 : x1 ? 2 , xn ?1 是 过 两 点 P(4,5) 、
2

Qn ( xn , f ( xn )) 的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标。
(Ⅰ)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ;

(Ⅱ)求数列 {xn } 的通项公式。

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标)
注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅰ,理 1)已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5 <x< 5 },则( A.A∩B= B.A∪B=R C.B ? A D.A ? B 答案:B 解析:∵x(x-2)>0,∴x<0 或 x>2. ∴集合 A 与 B 可用图象表示为: ).

由图象可以看出 A∪B=R,故选 B. 2.(2013 课标全国Ⅰ,理 2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.-4

).

4 B. ? 5

C.4

4 D. 5

答案:D 解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,

5 5(3 ? 4i) 3 4 ? ? ? i. 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5 4 故 z 的虚部为 ,选 D. 5
∴z ? 3.(2013 课标全国Ⅰ,理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生 中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 答案:C 解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.

x2 y2 5 4.(2013 课标全国Ⅰ,理 4)已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C a b 2
的渐近线方程为( ). B.y= ? D.y=± x

1 x 4 1 C.y= ? x 2
A.y= ? 答案:C

1 x 3

c 2 a 2 ? b2 5 c 5 2 ? . ,∴ e ? 2 ? ? a a2 4 a 2 b 1 ∴a2=4b2, = ? . a 2 b 1 ∴渐近线方程为 y ? ? x ? x . a 2
解析:∵ e ? 5.(2013 课标全国Ⅰ,理 5)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于 ( ).

A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 答案:A 解析:若 t∈[-1,1),则执行 s=3t,故 s∈[-3,3). 若 t∈[1,3],则执行 s=4t-t2,其对称轴为 t=2. 故当 t=2 时,s 取得最大值 4.当 t=1 或 3 时,s 取得最小值 3,则 s∈[3,4]. 综上可知,输出的 s∈[-3,4].故选 A. 6.(2013 课标全国Ⅰ,理 6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm, 将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不 计容器的厚度,则球的体积为( ).

500π 3 cm 3 1372 π 3 C. cm 3
A.

866π 3 cm 3 2048 π 3 D. cm 3
B.

答案:A 解析:设球半径为 R,由题可知 R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△ OBA 为直角三角形,如图.

BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由 R2=(R-2)2+42,得 R=5, 所以球的体积为

4 3 500 π5 ? π (cm3),故选 A. 3 3

7.(2013 课标全国Ⅰ,理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1 =3,则 m=( ). A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. ∴d=am+1-am=3-2=1.

m? m ? 1? m ?1 ×1=0,∴ a1 ? ? . 2 2 m ?1 ?m ?3. 又∵am+1=a1+m×1=3,∴ ? 2
∵Sm=ma1+

∴m=5.故选 C. 8.(2013 课标全国Ⅰ,理 8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).

A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 答案:A 解析: 由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体, 由图中数据可知圆柱底面半径 r=2, 长为 4, 在长方体中, 长为 4, 宽为 2, 高为 2, 所以几何体的体积为 πr2×4×

1 +4×2×2 2

=8π+16.故选 A. 9.(2013 课标全国Ⅰ,理 9)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x

+y)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B


).

m 解析:由题意可知,a= Cm 2 m ,b= C2 m ?1 ,

又∵13a=7b,∴ 13 ? 即

? 2m ? ! ? 2m ? 1?! , =7 ? m !m ! m !? m ? 1?!

13 2m ? 1 ? .解得 m=6.故选 B. 7 m ?1

x2 y 2 10.(2013 课标全国Ⅰ,理 10)已知椭圆 E: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F a b
的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( ).

x y ? =1 45 36 x2 y 2 ? =1 C. 27 18
A.

2

2

B.

x y ? =1 36 27 x2 y2 ? =1 D. 18 9

2

2

答案:D 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B 在椭圆上,

? x12 y12 ? ? 1, ① ? ? a 2 b2 ∴? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1, ② ? ? a 2 b2
①-②,得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? =0 , a2 b2 ? y ? y2 ?? y1 ? y2 ? b2 即 2 =? 1 , a ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?
∵AB 的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2, 而

0 ? ??1? 1 b2 1 y1 ? y2 = ,∴ 2 = . =kAB= 3 ?1 2 a 2 x1 ? x2

又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.

x2 y2 ? =1 .故选 D. ∴椭圆 E 的方程为 18 9
11.(2013 课标全国Ⅰ,理 11)已知函数 f(x)= ? 围是( ). A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案:D 解析:由 y=|f(x)|的图象知:

? ? x 2 ? 2 x,x ? 0, ?ln( x ? 1),x ? 0.

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范

①当 x>0 时,y=ax 只有 a≤0 时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除 B,C. ②当 x≤0 时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x. 故由|f(x)|≥ax 得 x2-2x≥ax. 当 x=0 时,不等式为 0≥0 成立. 当 x<0 时,不等式等价于 x-2≤a. ∵x-2<-2,∴a≥-2. 综上可知:a∈[-2,0]. 12.(2013 课标全国Ⅰ,理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn, n=1,2,3, ?.若 b1>c1, b1+c1=2a1, an+1=an, bn+1=

cn ? a n b ? an , cn+1= n , 则( 2 2

).

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 答案:B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2013 课标全国Ⅰ,理 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b.若 b· c =0,则 t=__________. 答案:2 解析:∵c=ta+(1-t)b, ∴b· c=ta· b+(1-t)|b|2. 又∵|a|=|b|=1,且 a 与 b 夹角为 60° ,b⊥c, ∴0=t|a||b|cos 60° +(1-t), 0=

1 t +1-t. 2

∴t=2. 14.(2013 课标全国Ⅰ,理 14)若数列{an}的前 n 项和 S n ? an=__________. - 答案:(-2)n 1

2 1 an ? ,则{an}的通项公式是 3 3

2 1 an ? ,① 3 3 2 1 ∴当 n≥2 时, S n ?1 ? an ?1 ? .② 3 3 2 2 ①-②,得 an ? an ? an ?1 , 3 3 a 即 n =-2. an ?1
解析:∵ S n ?

∵a1=S1=

2 1 a1 ? , 3 3

∴a1=1. - ∴{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,an=(-2)n 1. 15.(2013 课标全国Ⅰ,理 15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =__________. 答案: ?

2 5 5

解析:f(x)=sin x-2cos x

2 ? 1 ? sin x ? cos x ? , 5 ? 5 ? 1 2 令 cos α= ,sin α= ? , 5 5 则 f(x)= 5 sin(α+x), π 当 x=2kπ+ -α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值 1,f(x)有最大值 5 , 2 π 即 θ=2kπ+ -α(k∈Z), 2 π 2 2 5 ? ? ?π ? 所以 cos θ= cos ? 2kπ+ ? ? ? = cos ? ? ? ? =sin α= ? . ?? 2 5 5 ? ? ?2 ?
= 5? 16.(2013 课标全国Ⅰ,理 16)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x=-2 对称, 则 f(x)的最大值为__________. 答案:16 解析:∵函数 f(x)的图像关于直线 x=-2 对称, ∴f(x)满足 f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),

?b ? ?15?16 ? 4a ? b?, ?0 ? ?8?9 ? 3a ? b?, ?a ? 8, 解得 ? ?b ? 15.
即?

∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15. 由 f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0, 得 x1=-2- 5 ,x2=-2,x3=-2+ 5 . 易知,f(x)在(-∞,-2- 5 )上为增函数,在(-2- 5 ,-2)上为减函数,在(-2, -2+ 5 )上为增函数,在(-2+ 5 ,+∞)上为减函数. ∴f(-2- 5 )=[1-(-2- 5 )2][(-2- 5 )2+8(-2- 5 )+15] =(-8- 4 5 )(8- 4 5 ) =80-64=16. f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15] =-3(4-16+15) =-9. f(-2+ 5 )=[1-(-2+ 5 )2][(-2+ 5 )2+8(-2+ 5 )+15] =(-8+ 4 5 )(8+ 4 5 ) =80-64=16. 故 f(x)的最大值为 16.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (2013 课标全国Ⅰ, 理 17)(本小题满分 12 分)如图, 在△ABC 中, ∠ABC=90° , AB= 3 , BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .

(1)若 PB=

1 ,求 PA; 2 1 1 7 ? 2 ? 3 ? cos 30? ? . 4 2 4

(2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解:(1)由已知得∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° . 在△PBA 中,由余弦定理得 PA2= 3 ? 故 PA=

7 . 2

(2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α. 在△PBA 中,由正弦定理得 化简得 3 cos α=4sin α. 所以 tan α=

3 sin ? , ? sin150? sin(30? ? ? )

3 3 ,即 tan∠PBA= . 4 4

18.(2013 课标全国Ⅰ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60° .

(1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C ? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直. 以 O 为坐标原点, OA 的方向为 x 轴的正方向,| OA |为单位长,建立如图所示的空间 直角坐标系 O-xyz.

??? ?

??? ?

由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0). 则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA 1 =(-1, 3 ,0), AC 1 =(0, ? 3 , 3 ). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,

??? ?

????

????

????

??? ? ? ?n ? BC ? 0, ? ? x ? 3z ? 0, 则 ? ???? 即? 可取 n=( 3 ,1,-1). ? ?n ? BB1 ? 0, ? ?? x ? 3 y ? 0. ???? ???? n ? A1C 10 故 cos〈n, AC . ???? = ? 1 〉= 5 n A1C
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

19.(2013 课标全国Ⅰ,理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批 产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品 中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过 检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为

1 ,且各件 2

产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品 全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产 品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =

4 1 1 1 3 ? ? ? ? . 16 16 16 2 64
4 1 11 1 1 ? ? ,P(X=500)= ,P(X=800)= . 16 16 16 16 4
X P 400 500 800

(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 P(X=400)= 1 ?

所以 X 的分布列为

11 16

1 16

1 4

EX= 400 ?

11 1 1 +500 ? +800 ? =506.25. 16 16 4

20.(2013 课标全国Ⅰ,理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2 +y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为

x2 y2 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90° , 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则 可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得 解得 k= ? 当 k=

| QP | R ? , | QM | r1

| 3k | 1? k 2

=1 ,

2 . 4

并整理得 7x2+8x-8=0, 解得 x1,2=

x2 y2 2 2 时,将 y ? x ? 2 代入 ? =1 , 4 3 4 4

?4 ? 6 2 . 7
2

所以|AB|= 1 ? k | x2 ? x1 |? 当k ? ?

18 . 7

21. (2013 课标全国Ⅰ, 理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x2+ax+b, g(x)=ex(cx+d). 若 曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 解:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1.

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4 18 综上,|AB|= 2 3 或|AB|= . 7

令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. ①若 1≤k<e2, 则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2, x1)时, F′(x)<0; 当 x∈(x1, +∞)时, F′(x) >0.即 F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2- x12 -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - ②若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e 2). 从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - - ③若 k>e2,则 F(-2)=-2ke 2+2=-2e 2(k-e2)<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2]. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做, 则按所做的第一个题目计分, 做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(2013 课标全国Ⅰ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90° , 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG=

3 . 2

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60° . 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于

3 . 2

23.(2013 课标全国Ⅰ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ? y ? 5 ? 5sin t

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将 ?

即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将?

? x ? 4 ? 5cos t , 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? y ? 5 ? 5sin t

ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

? x ? ? cos ? , 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 y ? ? sin ? ?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 由? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

24.(2013 课标全国Ⅰ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

(2)当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.

? a 1? , ? 都成立. ? 2 2? a 4 故 ? ≥a-2,即 a ? . 2 3 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?
所以 x≥a-2 对 x∈ ? ?

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I(河南、河北、山 西) 理科数学
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =
2

A .[-2,-1]
2.

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

(1 ? i )3 = (1 ? i ) 2

A .1 ? i

B .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i

3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正 确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数
C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数
D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

4.已知 F 是双曲线 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距 离为 A . 3

B .3

C . 3m

D . 3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边 为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

8.设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?
9.不等式组 ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4
p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1.

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 ,
其中真命题是

A . p2 , p3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , p3

10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的 一个焦点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

??? ?

??? ?

A.

7 2
3

B.
2

5 2

C .3

D .2

11.已知函数 f ( x) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围 为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

12.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A.6 2

B .4 2

C .6

D .4
共90分)

第Ⅱ卷(非选择题

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必 须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .(用数字填写答案)

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? 乙说:我没去过 C 城市; . .

由此可判断乙去过的城市为

????

? ???? ??? ? ???? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

.

17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1, 其中 ? 为常数. (I)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频率分布直方图: (I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中
2

点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (? , ? 2 ) ,其 中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 .
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii) 某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 学科网记 X 表示这 100 件产品中质量指标值 为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.若 Z ~ N (? , ? 2 ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826,

P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.
19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (I)证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=Bc,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0, -2) , 椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

离心率为

3 , F 是椭圆的焦点,直线 2 2 3 , O 为坐标原点. 3

AF 的斜率为

(I)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处 x

的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 .

(I)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做, 则按所做的第一个题目计分, 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方 框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E;学科网 (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角 形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A , 求 | PA | 的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3 o

1 1 ? ? ab . a b

(I) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 答案
1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13.-20 14.A 15.90°16. 2

17. 【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an ?1 ? ? S n ? 1 , an ?1an ? 2 ? ? S n ?1 ? 1 ,两式相减

an ?1 ? an ? 2 ? an ? ? ? an ?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an ? 2 ? an ? ?

…………6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ? 1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an ? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m ?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2 m ?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2 m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2

∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N * ) , an ?1 ? an ? 2

因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列.

………12 分

18. 【解析】 :(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200

s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33
2 2 2

? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02
2 2 2

? 150
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而

…………6 分

P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826

………………9 分

(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意知 X ? B (100, 0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 ………12 分

19. 【解析】 :(Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1 ?,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故 B1C ? AO ?又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1
………6 分

(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO? 又因为 AB=BC?,所以

?BOA ? ?BOC
故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长, 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 ?CBB1 ? 600 , 所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?,则

? ? ? 3? 3 ? 3 ? , B ?1, 0, 0 ? , B1 ? 0, , C ? 0, ? A? 0, 0, , 0 ,0? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 ? ???? 3 ? ????? ??? 3 ? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? 设 n ? ? x, y , z ? 是平面的法向量,则

? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ? ? ?n?AB1 ? 0 ? 3 3 ,即 ? 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? ???? ? ?x ? 3 z ? 0 ?n?A1 B1 ? 0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?m?A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n?B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? n?m 1 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 . 7 n ?m 7

?

?

?

?

20. 【解析】(Ⅰ) 设 F ? c, 0 ? ? ? ,由条件知

2 2 3 c 3 ,得 c ? 3 ? 又 ? , ? c 3 a 2
……….6 分

所以 a=2?, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,故 E 的方程

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

x2 将 y ? kx ? 2 代入 ? y 2 ? 1 ,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4

8k ? 2 4k 2 ? 3 3 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ? 时, x1,2 ? 1 ? 4k 2 4
2
2

从而 PQ ?

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?
到 直 线 PQ

4 k 2 ? 1? 4 k 2 ? 3 ? ? 1 ? 4k 2
的 距 离 d?

又 点

O

2 k 2 ?1

, 所 以 ? OPQ

的 面 积

S ?OPQ

1 4 4k 2 ? 3 ? d PQ ? , 2 1 ? 4k 2
2

设 4k ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S ?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

当且仅当 t ? 2 , k ? ?

7 时等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的 2
…………………………12 分

方程为: y ?

7 7 x?2 或 y ? ? x?2. 2 2

21. 【解析】(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ?( x) ? ae x ln x ? 由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ? ? ,故 a ? 1, b ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,? f ( x) ? e ln x ?
x

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e x x x

……………6 分

2e x ?1 2 ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? x e
? ? 1? e?

设函数? ?g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x ,所以当 x ? ? 0, ? ? ? 时, g ?( x ) ? 0 ? ? ,

当 x ? ? , ?? ? ? ? 时, g ?( x ) ? 0 ? ? ,故 g ( x) ? ? 在? ?? 0, ? 单调递减,在 ? ?? , ?? ? 单调递增,从而? ?g ( x) 在 ? 0, ?? ? ? ? ? 的最小值为 ? g( ) ? ? . 设函数? ?h( x) ? xe ? x ?

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

?1 ?e
1 e

? ?

1 e

……………8 分

2 ?x ,则 h?( x) ? e ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? ? ? 时, e

h?( x) ? 0 ? ?,当 x ? ?1, ?? ? ? ?时,h?( x) ? 0 ? ?,故 h( x) ? ?在? ?? 0,1? 单调递增,
在? ??1, ?? ? 单调递减,从而? ?h( x) g ( x) 在 ? 0, ?? ? ? ? ? 的最小值为? h(1) ? ? . 综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . ……12 分

1 e

22. 【解析】.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以 ? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E , 所以 ? D= ? E? ……………5 分 (Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=MC? , 知 MN⊥BC? 所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径, M 为 AD 中点, 故 OM⊥AD,即 MN⊥AD, 所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? E? ? ? 由(Ⅰ)(1)知 ? D= ? E, 所以△ ADE 为等边三角 形. ……………10 分 23. 【解析】.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

? x ? 2 cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分

d?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5 d 2 5 4 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? ?,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 sin 30 5 3

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
…………10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

24. 【解析】(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ? ? a b ab
∴ a 3 ? b3 的最小值为 4 2 .…5 2 时等号成立,

b ?4 2, 故a ?b ? 3 a ? 且当 a ? b ?
3 3 3 3

分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 2a ? 3b ? 2 6 ab ? 4 3 , 由于 4 3 >6,从而不存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 . ……………10 分

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试题类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

(1) 设复数 z 满足 (A)1

1+z =i,则|z|= 1? z

(B) 2

(C) 3

(D)2

(2)sin20°cos10°-con160°sin10°= (A) ?
3 2

(B)

3 2

(C ) ?

1 2

(D)

1 2

(3)设命题 P: ? n ? N, n2 > 2n ,则 ? P 为 (A) ? n ? N, n2 > 2n (C) ? n ? N, n2 ≤ 2n (B) ? n ? N, n2 ≤ 2n (D) ? n ? N, n2 = 2n

(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学 每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试 的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 x2 (5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的 2
? ????? ? ????? 两个焦点,若 MF 1 ? MF 2 <0,则 y0 的取值范围是

(A) (-

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(C) (?

(D) (?

(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题 :“今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点=3,则 (A)=+ (B)= (C)=+ (D)= (8)函数 f(x)=的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 (A)(),k (b)(),k (C)(),k (D)(),k

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

(10)的展开式中,y?的系数为 (A)10 (B)20 (C)30(D)60 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=

(A)1(B)2(C)4(D)8

12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1, 若存在唯一的整数 x0, 使得 f (x0) 0, 则 a 的取值范围是( ) A.[-,1) B. [-, ) C. [, ) D. [,1)

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题 考生都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

(13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 a= (14) 一个圆经过椭圆的三个顶点, 且圆心在 x 轴上, 则该圆的标准方程为 。 (15)若 x,y 满足约束条件则的最大值为 . (16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列}的前 n 项和 (18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的 两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

(19) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费, 需了解年宣传费 x (单位: 千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费 x1 和年销售量 y1(i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散 点图及一些统计量的值。

? x

? ? y

?? w

?
x ?1

1

(x1- x )2

?

?
x ?1

1

(w1- w )2

??

?
x ?1

1

( x1- x )

?

?
x ?1

1

(w1- w )

??

(y- y ) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469

? ?

(y- y ) 108.8

? ?

表中 w1 = x 1,



?? 1 w = 8

? w1
x ?1

1

(1) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果 回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u

(20) (本小题满分 12 分)
x2 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。 (21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; ( Ⅱ ) 用 m i n

?m, n?

表 示

m,n

中 的 最 小 值 , 设 函 数

h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

? ( x ? 0)

,讨论 h(x)零点的个数

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选 题号后的方框涂黑。 (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉C 的 Q 切线,BC 交☉O 于 E

(I)

若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是

O 的切线;

(II) 若 OA=

CE,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 ? O? 中。直线 C1 : ? = ? 2,圆 C2 : ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ,以坐标原
2 2

点为极点, ? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) (II) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求

?C2 MN 的面积

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案

A 卷选择题答案 一、 选择题 (1)A (2)D (7)A (8)D A、B 卷非选择题答案 二、填空题 (13) 1

(3)C (9)C

(4)A (10)C

(5)A (11)B

(6)B (12)D

3 25 (14) ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4

(15) 3

(16)

二、

解答题

(17)解:
2 2 (I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3. 2 2 可得 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即 2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a)

由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2. 又 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3 所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1
bn ? 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). an a?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( )?( ) ? 2? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ? . 3(2n ? 3) ?
(18)解: (I)连结 BD,设 BD ? AC=G,连结 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ? ABC=120°,

可得 AG=GC= 3 .由 BE ? 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC. 又 AE ? EC,所以 EG= 3 ,且 EG ? AC.在 Rt ? EBG 中, 可得 BE= 2 故 DF=
2 6 .在 Rt ? FDG 中,可得 FG= . 2 2 2 , 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=

可得 FE=

3 2 .从而 EG2 ? FG2 ? EF 2 , 所以EG ? FG 2

又 AC ? FG ? G, 可得EG ? 平面AFC. 因为 EG ? 平面AEC 所以平面 AEC ? 平面AFC

(III) 如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向, ??? ? GB 为单位长,建立空间直角坐标系 G-xyz.
2 ? 3,0), E (1, 0,2), F (?1, 0, ), C (0,3,0) 所以 由(I)可得 A(0, 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 2 ? ??? ? ?? AE ? (1,3 2), CF ? (?1,3, ). 故 cos AE, CF ? ??? . 2 3 AE ? CF
所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为
3 . 3

(19)解: (I)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方

程类型。 (II)令 w ?
n

??2 分

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于

?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1 i i

? (w ? w)
i ?1 i

n

?

2

108.8 ? 68 1.6

? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 。 ? ? y ? dw c
? ? 100.6 ? 68w , 因 此 y 关 于 x 的回 归方 程 为 所 以 y 关 于 w 的 线 性回 归 方程 为 y

? ? 100.6 ? 68 x 。 y
(III) (i)由(II)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值

??6 分

? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 y
年利润 z 的预报值

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 。 z
(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

??9 分

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 z
所以当 x ?

13.6 ? 取得最大值 ? 6.8 ,即 x=46.24 时, z 2
??12 分

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大。

(20)解: ( I ) 有 题 设 可 得

M (2 a , a), N (?2 a , a), 或M (-2 a ,a). 又

x x2 y?= ,故y ? 在x ? 2 a 2 4

处的导数值为

a

,C 在点 (2 a a , 出 ) 的切线方程为

y ? a ? a ( x ? 2 a ),即 ax ? y ? a ? 0
x2 y ? 在x ? ?2 a ,即 ax ? y ? a ? 0 . 4

股所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0和 a x ? y ? a ? 0

(III) 存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x,y),N(x,y)直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2

y ? kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0.
故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a. 从而 kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0.

故x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a.
从而k1 ? k 2 ? y1 ? b y2 ? b ? x1 x2

2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) x1 x2
? k (a ? b) a

当 b=-a 时,有

k1 ? k2 ? 0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补,故?OPM=?OPN,所以点P(0,-a)符合题意
(21)解:

( x0 , 0)则f ( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0即 1 ? 3 ? ? x0 ? ax0 ? ? 0 ? (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 ? 4 ? ?3x 2 ? a ? 0 ? ? 0 ? 1 3 解得x0 , a ? ? 2 4 3 因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 4 (II)当

x ? (1, ??)时,g( x) ? ?1nx ? 0, 从而h(x)=min? f ( x), g( x)? ? g( x) ? 0, 故h( x)在(1, ??)无零点
5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 4 4 是 5 h( x)的零点;若a ? ? , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x 4

的零点 当x ? (0,1)时,g( x) ? ?1nx ? 0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数

(i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调

1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4

a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3

a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4
5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4 综上,当 3 5 3 5 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点;当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 4 4 5 3 当 ? ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4

(22)解: (I)链接 AE,由已知得, AE ? BC AC ? AB 在 Rt ?AEC 中,由已知得,DE=DC 故 ?DEC ? ?DCE 链接 OE,则 ? OBE= ? OEB 又 ? ACB+ ? ABC=90°所以 ? DEC+ ? OEB=90° 故 ?OED ? 90 ,DE 是 ? O 得切线
o

(II)设 CE=1,AE=X,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 由摄影定理可得,AE=CE.BE,所以 x2 ? 12 ? x2 即 x ? x ? 12 ? 0
4 2

可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60

o

(23)解: (I)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的 极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。 ( II)将 ? ? ??5 分

?
4

代入 ? ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得
2

?1 ? 2 2 , ?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为

1 。 2

??10 分

(24)解: (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 , 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解;

2 ? x ? 1; 3 当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 。
当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x

? 2 ? ? x ? 2? 。 ? 3 ?

??5 分

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a, ?
所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ?

? 2a ? 1 ? ,0? , ? 3 ?

B ? 2a ? 1,0? , C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为
由题设得

2 2 ? a ? 1? 。 3

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 。 3
??10 分

所以 a 的取值范围为 ? 2, ???


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