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2014年高考数学解答题解密-函数与导数等式


2013 年高考数学解答题解密 《导数与不等式》篇

不畏浮云遮望眼————考情分析
一、近六年广东题风格特点 1、 “保持以导数为工具研究函数的形态特征”; 2、着眼于函数知识本身:重点关注函数中的有关知识,直接指向于考查分类与整合的数学思想方法 和运算求解能力; 3、着眼于导数工具作用:将导数作为研究函数单调性和极值(最值)态的工具,突出关注函数在实 际建模中的应用; 4、涉及的运算:导数运算、简单指数对数不等式、一元二次不等式; 5、涉及的思想:分类讨论思想;

清风吹空月舒波————考点例析
1 、 [ 导数运算、含参一元二次不等式的解法、分类讨论(零点讨论法) ] 【北京市西城区 2012 】已知函数 1 f ( x) ? x ? ax 2 ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2 (Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; x(1 ? a ? ax) , x ? (?1, ??) . 【答案】 (Ⅰ)解: f ?( x) ? x ?1 1 1 依题意,令 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? . 经检验, a ? 时,符合题意. 3 3 x (Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? .故 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . x ?1 1 ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? ? 1 . a 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)
(?1, x1 )
?


x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ? ?)

?


?


f ( x1 )

f ( x2 )

1 1 ? 1) ;单调减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) . …6 分 a a 当 a ? 1 时, f ( x) 的单调减区间是 (?1,??) . ………………7 分 当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 , f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:
所以, f ( x ) 的单调增区间是 (0,
x
f ?( x) f ( x)
(?1, x2 )
?


x2
0

( x2 , x1 )

x1
0

( x1 , ? ?)

?


?


f ( x2 )

f ( x1 )

1 1 ? 1, 0) ;单调减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . …8 分 a a ③ 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . ……9 分 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间是 (0, ??) ,减区间是 (?1,0) ; 1 1 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的增区间是 (0, ? 1) ,减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) ; a a 当 a ? 1 时, f ( x) 的减区间是 (?1,??) ; D 1 1 当 a ? 1 时, f ( x ) 的增区间是 ( ? 1, 0) ;减区间是 ( ?1, ? 1) 和 (0, ??) .……10 分 a a 2、[函数应用题:建模、导数求最值] [南通市 2013 届高三第一次调研]某公司为一
所以, f ( x ) 的单调增区间是 ( A

B?
P C

B

家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿 AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形 ACB ?PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽? 解: (1)由题意, AB ? x , BC ? 2 ? x .因 x ? 2 ? x ,故 1 ? x ? 2 . ……………………………2 分 设 DP ? y ,则 PC ? x ? y . 因△ ADP ≌△ CB ?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 由 PA2 ? AD 2 ? DP 2 ,得 ( x ? y)2 ? (2 ? x) 2 ? y 2 ? y ? 2(1 ? 1) , 1 ? x ? 2 .……………………5 分 x (2)记△ ADP 的面积为 S1 ,则 S1 ? (1 ? 1 )(2 ? x) ………………………………………………………………………………………6 分 x ? 3 ? (x ? 2) ? 2 ? 2 2 , x 当且仅当 x ? 2 ∈(1,2)时,S1 取得最大值.…………………………………………………………8 分 故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,节能效果最好. ………………………………………9 分 (3)记△ ADP 的面积为 S2 ,则 S2 ? 1 x(2 ? x) ? (1 ? 1 )(2 ? x) ? 3 ? 1 ( x 2 ? 4 ) , 1 ? x ? 2 .……………………………………………10 分 2 x 2 x 3 1 4 ? x ? 2 于是, S2? ? ? (2x ? 2 ) ? ? 0 ? x ? 3 2 .……………………………………………………11 分 2 x x2 关于 x 的函数 S2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减. 所以当 x ? 3 2 时, S2 取得最大值.
3 3

……………………………………………………13 分 ………………………………………14 分

故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,制冷效果最好.

3、[导数运算、导数应用、不等式能成立问题]【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】(本小题满 1 分 14 分 )设函数 f (x)=a(x- )- ln x x (1)当 a=1 时,求曲线 y =f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f (x) 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; e (3)设函数 g (x )= ,若在[l,e]上至少存在一点 x0 使 f (x0 ) ? g (x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围。 x
【答案】

4、[导数运算、导数应用、函数与方程]【浙江 2013 重点中学高考命题比赛】 已知函数 3 2 f ( x) ? ln( x ? ) ? , g ( x) ? ln x . 2 x 1 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)如果关于 x 的方程 g ( x) ? x ? m 有实数根,求实数 m 的取值范围; 2 (3)是否存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg ( x) 有两个不相等的实根?如果存在,求的 k 取值范围,如
果不存在,说明理由?

3 2 3 ( x ? ? ,且 x ? 0) , 解: (1) f ( x) ? ln( x ? ) ? 2 x 2 1 2 2 2 f ?( x) ? ? 2? ? 2 ,令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 或 3 . 3 x 2x ? 3 x x? 2 f ( x) , f '( x) 随 x 变化情况如下表: ?1 (?1, 0) (0,3) 3 x 3 ( ? , ?1) 2 f '( x) 0 0 ? ? ?
f ( x)

(3, ??)

?








3 ∴ f ( x) 的单调递增区间是( ? , ?1 )和( 3, ?? ) ,单调递减区间是( ?1, 0 )和( 0, 3 ) 。 2 1 1 (2) g ( x) ? ln x ? x ? m ,∴ m ? ln x ? x ( x ? 0) 2 2 1 1 1 ( x ? 0) ,令 t '( x) ? 0 , x ? 2 ; 取 t ( x) ? ln x ? x ( x ? 0) , t '( x) ? ? 2 x 2 t ( x) , t '( x) 随 x 变化情况如下表: t ( x) ? t (2) ? ln 2 ?1 , (2, ??) (0, 2) 2 ∴ max x ? 又 x ? 0 , t ( x) ? ?? , ? t '( x) 0 ? (??, ln 2 ?1] m
∴ 的取值范围是 .

t ( x)





3 2 (3) h( x) ? f ( x) ? kg ( x) ? ln( x ? ) ? ? k ln x ( x ? 0) 2 x 1 2 k 2 2 k 2 x 2 ? 2(2 x ? 3) ? kx(2 x ? 3) 2(1 ? k ) x 2 ? (3k ? 4) x ? 6 ? ∴ h '( x) ? ? ? ? ? ? ? 2 3 x2 x 2 x ? 3 x2 x x (2 x ? 3) x 2 (2 x ? 3) x? 2

取 p( x) ? 2(1 ? k ) x2 ? (3k ? 4) x ? 6 ( x ? 0) 当 k ? 1 时, p( x) 图象开口向下, ?

对称轴 x ? ?

?(3k ? 4) 3k ? 4 ?? 4(1 ? k ) 4(k ? 1)

3k ? 4 ?0 4(k ? 1) ∴ p( x) 在 (0, ??) 上单调递减, p( x) ? p(0) ? ?6 ? 0 ∴ h '( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, h( x) ? 0 不可能有两个不等实根. 当 k ? 1 时, p( x) ? ?7 x ? 6 ? 0 , 同理 h '( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, h( x) ? 0 不可能有两个不等实根. 当 0 ? k ? 1 时, p( x) 图象开口向上, 又 p(0) ? ?6 ? 0 ,此时 p( x) ? 0 在 (0, ??) 有且仅有一根,设为 x0 .

对 x ? (0, x0 ) , p( x) ? 0 , h '( x) ? 0 , h( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减; 对 x ? ( x0 , ??) , p( x) ? 0 , h '( x) ? 0 , h( x) 在 ( x0 , ??) 上单调递增; 3 2 hmin ( x) ? h( x0 ) ? ln( x0 ? ) ? ? k ln x0 2 x0 又 p(1) ? 2(1 ? k ) ?12 ? (3k ? 4) ?1 ? 6 ? ?8 ? 5k ? 0 ,∴ x0 ? 1 , ln x0 ? 0 3 2 ln( x0 ? ) ? ln x0 ? k ln x0 (0 ? k ? 1) , ? 0 ,∴ h( x0 ) ? 0 2 x0 此时 h( x) ? 0 没有实数根 综上所述,不存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg ( x) 有两个不相等的实根…………15 分 5、[导数运算、导数应用、不等式证明]【浙江重点中学命题比赛】 已知函数

f ( x) ? x ln x ? ax(a ? R)
2 (I)当 a=0,求 f ( x ) 的最小值; (II)若函数 f ? x ? 在区间 ? ? e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围;

?

(III)当 a

? 0, b ? 0 ,求证 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 。

解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??)

1 f ?( x) ? ln x ? 1, 令f ?( x) ? 0, 得 : x ? , ………………1 分 e 当x ? (0, ??)时, f ?( x), f ( x) 的变化的情况如 下: 1 1 1 (0, ) ( , ??) x e e e

[来源:Zxxk.Com]

f ?( x)
f ( x)



0 极小值

+

所以, f ( x)在(0, ??)最小值是f ( ) ? ? .

1 e

1 e

? 当 x ? ?e ,??? 时 f ?( x) ? 0 ,即 ln x ? a ? 1 ? 0 在 ?e ,??? 上恒成立,? a ? ?1 ? ln x , 又当 x ? ?e2 ,??? 时, ln x ? ?2,?? ? ,? ? 1 ? ln x ? ?? ?,?3? ,? a ? ?3
2 2

(II) 由题意得: f ?( x) ? ln x ? a ? 1

? 函数 f ( x) 在区间 e2 ,?? 上为增函数,

?

?

(III)原不等式可化为: f (a) ? f [(a ? b) ? a] ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2

设函数g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x)(k ? 0) 则g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln( k ? x)(0 ? x ? k ) x g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln( k ? x) ? 1 ? ln k?x x x 2x ? k 令g ?( x) ? 0, 则 ln ? 0,? ? 1,? ? 0, k?x k?x k?x k 解得 : ? x ? k , 2 k k k ?函数g ( x)在(0, ) 上单调递减,在 ( , k ) 上单调递增, 令 g ?( x) ? 0, 解得 : 0 ? x ? 2 2 2 k ? g ( x)在(0, k )上的最小值为g ( ) 2 k ?当x ? (0, k )时, 总有g ( x) ? g ( ), 2 k k k 即 : f ( x) ? f (k ? x) ? f ( ) ? f (k ? ) ? 2 f ( ) 2 2 2 k ? k ln ? k ln k ? k ln 2 ? f (k ) ? k ln 2????13分 2 令 x ? a, k ? x ? b, 则有 : f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2.


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