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高中数学教法和学法探讨


高中数学教法和学法探讨

石家庄一中

郑景哲

数学是什么? 纯数学的研究对象是现实世界的空间关系和数量 关系. 1.数学是一门科学 思维的科学------要学会思考 经验的科学------要学会积累

演绎的科学------要注重联系

2.数学是一门语言
文字语

言 符号语言 图表语言

最重要的一关学会进行”语言转换”

3.数学是一个过程

抽象概括的过程------要寻找规律 推理过程------符合算理,有根有据

4.数学是一种思想 符号、集合、函数、方程、数形结合、分类讨论 转化与化归

汇报内容:
(1)初高中衔接 (2)高考备考

一.初高中衔接

新课程改革以来,我们每一届接新生的时 候,总会有一个感觉,学生怎么比以前 “笨”了呢?固然有我们刚从高三下来的 错觉,问题是学生确实和以前相比发生了 巨大的变化,无论是计算能力,推理能力, 记忆能力,还是规范性都有明显的下降, 为什么呢?

以上表格引自苗孟义老师

初高中数学对比
1.初高中课程教材衔接上存在明显阶梯 (1)抽象程度突变,高中的数学语言与初中有 着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗 的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及 抽象的集合符号语言、函数语言、图形语言等。 高一年级的学生一开始的思维梯度太大,以至集 合、函数等概念难以理解,觉得离生活很远,似 乎很“玄”。

(2)思维方法向理性层次跃进,高一学生产生数 学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与 初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生 将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程 分几步,因式分解先看什么,再看什么等。因此, 初中学习中习惯于这种机械的,便于操作的定势 方式,而高中数学在思维形式上产生了很大的变 化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。 这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应, 故而导致成绩下降。

(3)知识内容的整体数量剧增,高中数学比初中 数学的知识内容的“量”上急剧增加了,单位时 间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多, 辅助练习、消化的课时相应地减少了。这也使很 多学习被动的、依赖心理重的高一新生感到不适 应。

2.高中数学要求的深度难度大大提高:高中数学与 初中数学相比,知识的深度、广度、能力要求都是 一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进 一步学习做好准备,高中数学很多地方难度大、方 法新、分析能力要求高。如二次函数在闭区间上的 最值求法,实根分布与参变量的讨论,三角公式的 变形与灵活应用,空间概念的形成,排列组合应用 题及实际问题等。有的内容还是初中教材都不讲的 脱节内容,如不采取补救措施,查缺补漏,就必然 会跟不上高中学习的要求。

3.教师的授课模式有很大的不同:初中课堂教学量小、 知识简单,通过教师课堂较慢的速度,争取让全面同 学理解知识点和解题方法,课后老师布置作业,然后 通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的 反反复复理解,直到学生掌握。而高中数学的学习随 着课程开设多(有九门课学生同时学习),每天至少 上六节课,自习时间三节课,这样各科学习时间将大 大减少,而教师布置课外题量相对初中减少,这样集 中数学学习的时间相对比初中少。

4.初中学生自学能力低,大凡考试中所用的解题方法 和数学思想,在初中教师基本上已反复训练,学生基 本上不需自学。但高中的知识面广,知识要全部要教 师训练完高考中的习题类型是不可能的,只有通过较 少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型 习题,如果不自学、不靠大量的阅读理解,将会使学 生失去一类型习题的解法。

5.初中学生由于学习数学知识的范围小,知识层次低, 知识面窄,对实际问题的思维受到了局限。就几何来 说,我们都接触的是现实生活中三维空间,但初中只 学了平面几何,那么就不能对三维空间进行严格的逻 辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维, 就不能深刻的解决方程根的类型等。高中数学知识的 多元化和广泛性,将会使学生全面、细致、深刻、严 密的分析和解决问题,也将培养学生高素质思维,提 高学生的思维递进性。

6.初中数学中,题目、已知和结论用常数给出的较多, 一般地,答案是常数和定量。 在高中数学学习中我 们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题 的普遍性和特殊性。另外,在高中学习中我们还会通 过对变量的分析,探索出分析、解决问题的思路和解 题所用的数学思想。

心理学中有“首因效应”,人有第一印 象,初高中衔接如果处理不好,很多同 学可能会对数学产生厌学情绪,这是我 们所不愿看到的。因此,我们要耐心, 给予学生成长所需要的时间,以促进学 生的顺理成长,基本上一个月,大部分 学生就可以适应了,然后学习习惯再慢 慢的改进。

二.高考备考
波利亚:学习数学就是学习解题。

中学数学教学的首要任务就是加强解题的 训练。
对于教师而言,解题习惯与能力如何?是 否有研究题目的习惯?选题能力如何?都 直接关系到解题教学的效果,其核心内容 应为选题,也就是题目是否具有典型性、

数学高考的三个维度 1. 知识与技能 2. 思想与方法
3. 能力与意识

数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注

重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,
重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多 角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学 素养的要求。

数学新高考的主要特点
● 立足基础 ● 注重思想 ● 能力立意 适度综合 优化策略 力求创新

● 把握实质

探索规律

数学高考的两个关注点
● ● 立足基础 能力立意 突出思维 淡化运算

数学是一门思维的科学,思维能力是数学学科能 力的核心. 数学思维能力是以数学知识为素材,通过 空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求 解、演绎证明和模式构建等诸方面,对客观事物中的 空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断,形 成和发展理性思维,构成数学能力的主体.

数学思想是对数学知识的本质的认识,是对数学规 律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学认识 过程中提炼上升的数学观点,它在认识活动中被反复运

用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问 题的指导思想.数学思想和方法是数学知识在更高层次 上的抽象和概括,它蕴涵在数学知识发生、发展和应用 的过程中.

本质简单说其实只是在说这种解法最简单, 能够揭示更多的相关问题,更有启发性。这 就要求学生在学习生活中,不断地深化自己 的认识,优化自己的解法,以提升自己的思 维品质和思维方法,提高数学素养。

2013新课标卷理

?考查到辅助角公式,辅助角的确定 以及取得最值的条件。考查细腻, 师生都不太关注的考点

2013年新课标理

卡住

凑配法

整式的除法

有没有简单的方法呢 ?

函数导数

以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式等) 交汇命题.利用导数解决相关问题,是命题的热点, 而且不断丰富创新.解决该类问题要注意函数与方程、 转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应 用.综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学 素养.针对这一类题目,我们的措施是分散难点,以 基础知识、基本思想为切入点,加强平时的一点一滴 的训练和培养,在提高熟练度和规范性的基础上,提升 数学能力和思维品质。

1、简单的函数求导

2、求曲线的切线方程

3、求曲线的切线方程
切线与方程的解的问题

4、求函数的单调区间、极值最值

分离参数法:

分离参数法:

教材上说的是可导函数的导数小于零,则函数单调递减。 此处说的是充分性,并没有说充要性。我们总结一下:

5、由函数单调性求参数的范围

6、利用导数解决不等式问题

在教学中,注意分类讨论、数形结合、转化化归、函数方程 等数学思想的渗透,在具体技能培养的同时,帮助学生对 “大方向”的把握。

以几道高考题为例,分析这些问 题的解法 一、三种方法的展示
二、二元不等式的证明 三、整体代换法

2013年新课标卷理

运用特殊值缩 小讨论的范围

分离参数法:

分离参数法:

高等数学背景:洛必达法则

分离参数法:

分类讨论法

分离参数法

放缩变形法

放缩变形

二元不等式
关于二元不等式的证明思想应该是来自于 2004年全国2的压轴题。证明方法大致有: 1.把一个视为主元,另一个视为副元,构造 函数法;2.代入消元法;3.比值减元法;4.不 等式放缩法;5几何意义转化法.

二元不等式

2012新课标卷理科 压轴题

二元不等式

2012年新课标卷理科

高等数学背景:泰勒展开式

二元不等式

高等数学背景:拉格朗日中值定理及其逆命题

必存在一个数 ?? (0, ? ?), f ( x2 ) ? f ( x1 ) 使得f (? ) ? , x2 ? x1
'

只要 f (? ) ? 4即可
'

二元不等式

二元不等式

二次求导

二元不等式

整体消元法或整体代换也是现在命题 的一个趋势,2012年文科21题,也是 一道这样的题目,分离参数,整体代换, 化超越式为一般式。

整体代换法

解析几何
高考考查特点(1)题型稳定,整体平衡;(2)能力立 意,渗透数学思想;(3)日益新颖,突出思维,淡化 运算。 近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如 下几个类型: ① 求曲线方程( 类型确定、类型未定); ② 直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题); ③与曲线有 关的最(极)值问题; ④与曲线有关的几何证明(对称性或 求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量 及参数间的数量特征;

由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识,在高考命题上 已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为 稳定。重点就是两个问题,一个是已知曲线求方程,一个 是已知方程研究曲线的性质。近几年解析几何试题的难度 有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答题计算量 减少,思维量增大,突出数形结合,淡化繁琐计算。增加 圆的比重,削弱双曲线。加大与相关知识的联系(如向量、 函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要 求。加大探索性题型的分量。

解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直 线、曲线的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌 握一些解方程(组)的方法,掌握一元二次方程的知识在解 析几何中的应用,掌握使用韦达定理进行整体代入的解题 方法;数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用,数 形结合思想占首位,其次分类讨论思想、函数与方程思想、 化归与转化思想,如解析几何中的最值问题往往就是建立 求解目标的函数,通过函数的最值研究几何中的最值.复 习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用.

解析几何重点问题:

1.圆锥曲线定义;2.圆锥曲线方程;3.圆锥 曲线几何性质(离心率及其范围问题);4. 求点的轨迹方程问题;5.直线与圆锥曲线 的位置关系(弦长问题,中点弦问题,定 值定点问题,最值问题);6.与圆综合的 问题;

解析几何简化运算的方法
1、回归定义;2、设而不求,整体运算; 3、利用图形的几何性质;4、选用方程适 当形式;5、换元引参;6、结构相同或相 近的“同理”

1、圆锥曲线定义

2、圆锥曲线方程

3、圆锥曲线几何性质

离心率及其范围

4、求点的轨迹方程
求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程——先根据条件设出所求曲 线的方程,再由条件确定其待定系数; (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接 写出动点的轨迹方程; (4)相关点法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x’,y’)的变化而变化,并且Q(x’, y’)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x’,y’,再将x’,y’代入已知 曲线得要求的轨迹方程; (5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用 时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通 方程.

求点的轨迹方程:

5、直线与圆锥曲线的位置关系
1.考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、 根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想. 2.高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行,考查 函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运 用. 复习时,应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线 的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数), 会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、 参数问题及相关的不等式与等式的证明问题.

学生容易忽略的联立后的二次项系数以及判别式 的讨论。

(1)弦长问题

(2)中点弦问题

(2)中点弦问题

(3)定值定点问题
解答此类问题的基本策略有以下两种: 1、把相关几何量的变元特殊化,在特例 中求出几何量的定值,再证明结论与特定 状态无关. 2、把相关几何量用曲线系里的参变量表 示,再证明结论与求参数无关.

定值定点问题

法一:设而不求。把PA,PB的斜率 分别表示出来,由条件构造等式, 再把AB的斜率表示出来。 法二:设而求。设出直线PA,与抛 物线联立,求得A的坐标,此时可用 同理,得到B的坐标,再把AB的斜 率表示出来

定值定点问题

定值定点问题

定值定点问题

定值定点问题

定值定点问题

(4)最值问题(函数问题)

6、与圆综合的问题

与圆综合的问题

2013年新课标理


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