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广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)


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广东省汕头市金山中学 2014-2015 学年高二上学期第二次月考数学试 卷(理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x≤2},则 A∩B=() A. [﹣2,﹣1] B. [﹣1,﹣1]

C. [﹣1,2) D. [1,2) 2. (5 分)已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则() A. ?p:? x∈R,sinx≥1 B. ?p:? x∈R,sinx≥1 C. ?p:? x∈R,sinx>1 D. ?p:? x∈R,sinx>1

3. (5 分)已知向量 =(1,1,0) , =(﹣1,0,2) ,且 k + 与 互相垂直,则 k 的值是() A. ﹣5 B. C. D. 5

4. (5 分)“x,y∈R,x +y =0”是“xy=0”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) ,则 f (﹣1)=() A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 6. (5 分)已知直线 m、l 与平面 α 、β 、γ 满足 β ∩γ =l,l∥α ,m? α ,m⊥γ ,则下列 命题一定正确的是() A. α ⊥γ 且 l⊥m B. α ⊥γ 且 m∥β C. m∥β 且 l⊥m D. α ∥β 且 α ⊥γ 7. (5 分)等差数列{an}中,a1=1,a2=3,数列{ A. 15 B. 16 C. 17 }的前 n 项和为 ,则 n 的值为()
x

2

2

D. 18

8. (5 分)如果点 P 在平面区域

上,点 Q 在曲线 x +(y+2) =1 上,那么|PQ|

2

2

的最大值为() A. 5 B. +1 C. 2 +1 D. ﹣1

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9. (5 分)已知斜率为 k=1 的直线与双曲线



=1(a>0,b>0)交于 A、B 两点,若 A、

B 的中点为 M(1,3) ,则双曲线的渐近线方程为() A. x± y=0 B. x±y=0 C. x±2y=0
x

D. 2x±y=0

10. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣mx 的图象为曲线 C,若曲线 C 不存在与直线 线,则实数 m 的取值范围是() A. B. C. m≤2 D. m>2

垂直的切

11. (5 分)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A. 3

B. 2
*

C.
*

D.

12. (5 分)已知函数 f(x)=2x+1,x∈N .若? x0,n∈N ,使 f(x0)+f(x0+1)+?+f(x0+n) =63 成立,则称(x0,n)为函数 f(x)的一个“生成点”.函数 f(x)的“生成点”共有() A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)抛物线 y=2x 的焦点坐标是. 14. (5 分)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图 都是矩形,则该几何体的体积为.

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15. (5 分)已知 F 是双曲线 |PF|+|PA|的最小值为.

的左焦点,A(1,4) ,P 是双曲线右支上的动点,则

16. (5 分)定义方程 f(x)=f'(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”,如果函数 g (x)=x,h(x)=ln(x+1) ,φ (x)=cosx( β ,γ ,那么 α ,β ,γ 的大小关系是. )的“新驻点”分别为 α ,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分) 已知△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 (Ⅰ)求 cos(A+B)的值; (Ⅱ)设 ,求△ABC 的面积. 18. (12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从 中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统 计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90,100]的数据) . , .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的 2 名同学来自不同组的概率. 19. (12 分)已知函数 f(x)=4x +3tx ﹣6t x+t﹣1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间. 20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,AB∥DC, ∠ABC=∠CAD=90°,且 PA=AB=BC,点 E 是棱 PB 上的动点. (Ⅰ)当 PD∥平面 EAC 时,确定点 E 在棱 PB 上的位置; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角 A﹣CE﹣P 余弦值.
3 2 2

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21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,3Sn+1 是 6 与 2Sn 的等差中项(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; n 2 * (2)是否存在正整数 k,使不等式 k(﹣1) an <Sn(n∈N )恒成立,若存在,求出 k 的最大 值;若不存在,请说明理由.

*

22. (12 分)如图,椭圆

的离心率为

,直线 x=±a 和 y=±b

所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l:y=x+m(m∈R)与椭圆 M 有两个不同的交点 P,Q,l 与矩形 ABCD 有两个不同 的交点 S,T.求 的最大值及取得最大值时 m 的值.

广东省汕头市金山中学 2014-2015 学年高二上学期第二次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x≤2},则 A∩B=() A. [﹣2,﹣1] B. [﹣1,﹣1] C. [﹣1,2) D. [1,2) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 2 分析: 先求出不等式 x ﹣2x﹣3≥0 的解集,即求出集合 A,再由交集的运算求出求出 A∩B. 2 解答: 解:由 x ﹣2x﹣3≥0 得,x≤﹣1 或 x≥3,则 A={x|x≤﹣1 或 x≥3}, 又 B={x|﹣2≤x≤2},则 A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}=[﹣2,﹣1], 故选:A.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了交集及其运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题. 2. (5 分)已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则() A. ?p:? x∈R,sinx≥1 B. ?p:? x∈R,sinx≥1 C. ?p:? x∈R,sinx>1 D. ?p:? x∈R,sinx>1 考点: 命题的否定. 分析: 根据?p 是对 p 的否定,故有:? x∈R,sinx>1.从而得到答案. 解答: 解:∵?p 是对 p 的否定∴?p:? x∈R,sinx>1 故选 C. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题.

3. (5 分)已知向量 =(1,1,0) , =(﹣1,0,2) ,且 k + 与 互相垂直,则 k 的值是() A. ﹣5 B. C. D. 5

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量垂直的性质求解. 解答: 解:∵向量 =(1,1,0) , =(﹣1,0,2) ,且 k + 与 互相垂直, ∴(k + )? =(k﹣1,k,2)?(﹣1,0,2)=1﹣k+0+4=0, 解得 k=5. 故选:D. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合 理运用. 4. (5 分)“x,y∈R,x +y =0”是“xy=0”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 2 2 解答: 解:由 x +y =0 得 x=y=0,则 xy=0 成立, 2 2 若 x=1,y=0,满足 xy=0,但 x +y =0 不成立, 2 2 故“x,y∈R,x +y =0”是“xy=0”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 5. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) ,则 f (﹣1)=()
x 2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3

考点: 奇函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先由奇函数性质 f(0)=0 求出 f(x)的解析式,然后利用定义 f(﹣x)=﹣f(x) 求 f(﹣1)的值. 解答: 解:因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 0 所以 f(0)=2 +2×0+b=0, 解得 b=﹣1, x 所以当 x≥0 时,f(x)=2 +2x﹣1, 又因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 1 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2 +2×1﹣1)=﹣3, 故选 A. 点评: 本题考查奇函数的定义 f(﹣x)=﹣f(x)与基本性质 f(0)=0(函数有意义时) . 6. (5 分)已知直线 m、l 与平面 α 、β 、γ 满足 β ∩γ =l,l∥α ,m? α ,m⊥γ ,则下列 命题一定正确的是() A. α ⊥γ 且 l⊥m B. α ⊥γ 且 m∥β C. m∥β 且 l⊥m D. α ∥β 且 α ⊥γ 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 由 m? α ,m⊥γ ,知 α ⊥γ ,由 β ∩γ =l,知 l? γ ,故 l⊥m. 解答: 解:∵m? α ,m⊥γ , ∴α ⊥γ , ∵β ∩γ =l,∴l? γ , ∴l⊥m, 故 A 一定正确. 故选 A. 点评: 本题考查平面的基本性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 7. (5 分)等差数列{an}中,a1=1,a2=3,数列{ A. 15 考点: 专题: 分析: 解答: 数列 数列{ ∴ B. 16 C. 17 }的前 n 项和为 ,则 n 的值为()

D. 18

数列的求和. 等差数列与等比数列. 求出数列的通项公式,利用裂项法求法数列的和,求出 n 即可. 解:等差数列{an}中,a1=1,a2=3,d=2,an=2n﹣1, = }的前 n 项和为 , = = .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com = ,

解得 n=15. 故选:A. 点评: 本题考查等差数列通项公式的求法,数列求和的方法,考查计算能力.

8. (5 分)如果点 P 在平面区域

上,点 Q 在曲线 x +(y+2) =1 上,那么|PQ|

2

2

的最大值为() A. 5 B. +1 C. 2 +1 D. ﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式度对应的平面区域,利用点和圆的位置关系即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则 A(0,2) ,圆心 D(0,2) , ∴由图象可知当 P 位于 A,Q 在 E(0,﹣3)处,|PQ|的距离最大, 最大为 2﹣(﹣3)=5. 故选:A

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合,以及点与圆的位置关系,结合距离 公式是解决本题的关键.

9. (5 分)已知斜率为 k=1 的直线与双曲线



=1(a>0,b>0)交于 A、B 两点,若 A、

B 的中点为 M(1,3) ,则双曲线的渐近线方程为() A. x± y=0 B. x±y=0 C. x±2y=0

D. 2x±y=0

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用点差法,可得 ,即可求出双曲线的渐近线方程.

解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则



两式相减可得:



∴斜率为 k=1 的直线与双曲线 3) , ∴ ,



=1(a>0,b>0)交于 A、B 两点,A、B 的中点为 M(1,

∴ 故选:B.



点评: 本题考查双曲线的渐近线方程,考查点差法,得出

是关键.

10. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣mx 的图象为曲线 C,若曲线 C 不存在与直线 线,则实数 m 的取值范围是() A. B. C. m≤2 D. m>2

x

垂直的切

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由曲线 C:f(x)=e ﹣mx,知 f′(x)=e ﹣m,由曲线 C 不存在与直线 切线,知 m≠2+e >2,由此能求出结果. x 解答: 解:∵曲线 C:f(x)=e ﹣mx, x ∴f′(x)=e ﹣m, ∵曲线 C 不存在与直线
x x x x

垂直的

垂直的切线,

∴f′(x)=e ﹣m≠﹣2, x ∴m≠2+e >2, 观察题设中的四个选项,C 最符合, 故选 C.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化. 11. (5 分)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A. 3

B. 2

C.

D.

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据 M,N 是双曲线的两顶点,M,O,N 将椭圆长轴四等分,可得椭圆的长轴长是双 曲线实轴长的 2 倍,利用双曲线与椭圆有公共焦点,即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值. 解答: 解:∵M,N 是双曲线的两顶点,M,O,N 将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍 ∵双曲线与椭圆有公共焦点, ∴双曲线与椭圆的离心率的比值是 2 故选 B. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的几何性质,解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴 长的 2 倍. 12. (5 分)已知函数 f(x)=2x+1,x∈N .若? x0,n∈N ,使 f(x0)+f(x0+1)+?+f(x0+n) =63 成立,则称(x0,n)为函数 f(x)的一个“生成点”.函数 f(x)的“生成点”共有() A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 考点: 函数的值;数列的求和. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 由 f(x0)+f(x0+1)+?+f(x0+n)=63,得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+?+[2(x0+n) +1]=63, 化简可得 (n+1) (2x0+n+1) =63, 由 , 得 或 ,
* *

解出即可. 解答: 解:由 f(x0)+f(x0+1)+?+f(x0+n)=63, 得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+?+[2(x0+n)+1]=63 所以 2(n+1)x0+2(1+2+?n)+(n+1)=63,即(n+1) (2x0+n+1)=63, 由 ,得 或 ,解得 或 ,

所以函数 f(x)的“生成点”为(1,6) , (9,2) . 故选 B.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查数列求和及函数求值,考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)抛物线 y=2x 的焦点坐标是(0, ) .
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先将方程化成标准形式,即
2 2

,求出 p= ,即可得到焦点坐标.

解答: 解:抛物线 y=2x 的方程即 x = y,∴p= ,故焦点坐标为 (0, ) , 故答案为: (0, ) . 点评: 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,把抛物线 y=2x 的方程化为标准 形式,是解题的突破口. 14. (5 分)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图 都是矩形,则该几何体的体积为 .
2

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 由三视图可知原几何体是一个如图所示平行六面体,据此即可计算出体积. 解:由三视图可知:原几何体是一个平行六面体,如图所示, ,

底面是一个边长为 3 的正方形,平行六面体的高 ∴V 平行六面体= 故答案为 = .

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点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

15. (5 分)已知 F 是双曲线 |PF|+|PA|的最小值为 9.

的左焦点,A(1,4) ,P 是双曲线右支上的动点,则

考点: 双曲线的定义;双曲线的简单性质;双曲线的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据 A 点在双曲线的两支之间,根据双曲线的定义求得 a,进而根据 PA|+|PF′|≥|AF′|=5 两式相加求得答案. 解答: 解:∵A 点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为 F′(4,0) , ∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F′三点共线时等号成立. 故答案为 9. 点评: 本题主要考查了双曲线的定义,考查了学生对双曲线定义的灵活运用. 16. (5 分)定义方程 f(x)=f'(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”,如果函数 g (x)=x,h(x)=ln(x+1) ,φ (x)=cosx( β ,γ ,那么 α ,β ,γ 的大小关系是 γ >α >β . 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 新定义. 分析: 分别对 g(x) ,h(x) ,φ (x)求导,令 g′(x)=g(x) ,h′(x)=h(x) ,φ ′ (x)=φ (x) ,则它们的根分别为 α ,β ,γ ,即 α =1,ln(β +1)= 然后分别讨论 β 、γ 的取值范围即可. 解答: 解:∵g′(x)=1,h′(x)= 由题意得: ,φ ′(x)=﹣sinx, ,γ ﹣1=3γ ,
3 2

)的“新驻点”分别为 α ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com α =1,ln(β +1)= ①∵ln(β +1)=
β +1

,cosγ =﹣sinγ , ,

∴(β +1) =e, 当 β ≥1 时,β +1≥2, ∴β +1≤ <2, ∴β <1,这与 β ≥1 矛盾, ∴0<β <1; ②∵cosγ =﹣sinγ , ∴γ >1. ∴γ >α >β . 故答案为:γ >α >β . 点评: 函数、导数、不等式密不可分,此题就是一个典型的代表,其中对对数方程和三次 方程根的范围的讨论是一个难点. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分) 已知△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 (Ⅰ)求 cos(A+B)的值; (Ⅱ)设 ,求△ABC 的面积. 考点: 解三角形;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由 A,B,C 分别为三角形的内角,及 cosA 与 cosB 的值,利用同角三角函数 间的基本关系求出 sinA 和 sinB 的值,然后利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A+B) , 将各自的值代入即可求出值; (Ⅱ)由 cos(A+B)的值,利用特殊角的三角函数值求出 A+B 的度数,进而求出 C 的度数, 得出 sinC 的值, 再由 a, sinA 及 sinB 的值, 利用正弦定理求出 b 的长, 由 a, b 及 sinC 的值, 利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)∵A,B,C 为△ABC 的内角,且 cosA= ∴sinA= = ,sinB= × = ﹣ ,cosB= ,?(4 分) × = ;?(7 分) , , .

∴cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB= (Ⅱ)由(I)知,A+B=45°, ∴C=135°,即 sinC= 又 a= , ,?(8 分)

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∴由正弦定理

=

得:b=

=

=

,?(11 分)

∴S△ABC= absinC= ×

×

×

= .?(13 分)

点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:同角三角函数间的基本关系,两角和与 差的余弦函数公式,正弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式 及定理是解本题的关键. 18. (12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从 中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统 计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90,100]的数据) .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的 2 名同学来自不同组的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;茎叶图;等可能事件 的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图的性质求得样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值. (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分别记为 a,b,c,d,e,分数在[90,100) 有 2 人,分别记为 F,G,用列举法求得所有的抽法有 21 种,而满足条件的抽法有 10 种,由 此求得所求事件的概率. 解答: 解析: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 , ,

x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030. (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分别记为 a,b,c,d,e, 分数在[90,100)有 2 人,分别记为 F,G. 从竞赛成绩是 8(0 分)以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有如下种情形: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,F) , (a,G) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,F) , (b,G) , (c,d) , (c,e) , (c,F) , (c,G) , (d,e) , (d,F) , (d,G) , (e,F) , (e,G) , (F,G) , 共有 21 个基本事件; 其中符合“抽取的 2 名同学来自不同组”的基本事件有(a,F) , (a,G) , (b,F) , (b,G) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (c,F) , (c,G) , (d,F) , (d,G) , (e,F) , (e,G) ,共 10 个, 所以抽取的 2 名同学来自不同组的概率 . (12 分)

点评: 本题主要考查等可能事件的概率,频率分布直方图的应用,属于中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=4x +3tx ﹣6t x+t﹣1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)当 t=1 时,求出函数 f(x) ,利用导数的几何意义求出 x=0 处的切线的斜率, 利用点斜式求出切线方程; (2) 根据 f' (0) =0, 解得 x=﹣t 或 x= , 讨论 t 的正负, 在函数的定义域内解不等式 fˊ (x) >0 和 fˊ(x)<0 求出单调区间即可. 3 2 2 解答: 解: (1) )当 t=1 时,f(x)=4x +3x ﹣6x,f(0)=0,f'(x)=12x +6x﹣6(2 分) f'(0)=﹣6.所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=﹣6x. (4 分) (2)解:f'(x)=12x +6tx﹣6t ,令 f'(x)=0,解得 x=﹣t 或 因为 t≠0,以下分两种情况讨论: (i)若 t<0,则 t<0,则 x f'(x) f(x) + ↑ ﹣ ↓ ,当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表: (﹣t,+∞) + ↑ 的单调递减区间
2 2 3 2 2

. (5 分)

所以,f(x)的单调递增区间是 是 (ii)若 x f'(x) f(x) . (8 分)

,当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表: (﹣∞,t) + ↑ ﹣ ↓ + ↑ 的单调递减区间

所以,f(x)的单调递增区间是 是 . (12 分)

点评: 本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数零点、解不等式等基础知识,考查了计算能力和分类讨论的思想.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,AB∥DC, ∠ABC=∠CAD=90°,且 PA=AB=BC,点 E 是棱 PB 上的动点. (Ⅰ)当 PD∥平面 EAC 时,确定点 E 在棱 PB 上的位置; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角 A﹣CE﹣P 余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的性质;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;综合题;规律型;转化思想;综合法. 分析: (I)以线面平行为条件,根据线面平行的性质得到线线平行,根据平行线分线段成 比例定理,得到比值. (II)以 A 为原点,AB,AP 所在直线分别为 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,写出要用的点 的坐标,设出并求出平面的法向量,根据向量所成的角,得到二面角的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,由 AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC= ∴∠DCA=∠BAC= ∴DC= AC= ( .又 AC⊥AD,故△DAC 为等腰直角三角形. AB)=2AB. ,

连接 BD,交 AC 于点 M,则 ∵PD∥平面 EAC,又平面 EAC∩平面 PDB=ME,∴PD∥EM 在△BPD 中, ,

即 PE=2EB 时,PD∥平面 EAC (Ⅱ)以 A 为原点,AB,AP 所在直线分别为 y 轴、z 轴, 如图建立空间直角坐标系. 设 PA=AB=BC=a,则 A(0,0,0) ,B(0,a,0) , C(a,a,0) ,P(0,0,a) ,E(0, 设 则 ⊥ , ⊥ , ) .

,为平面 EAC 的一个法向量, ,



,解得 x= ,y=﹣ ,



=( ,﹣ ,1) .

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设 则 又 ∴

=( , ,1)为平面 PBC 的一个法向量, ⊥ , ⊥ , =(0,﹣a,a) ,

=(a,0,0) ,

,解得 x′=0,y′=1,



=(0,1,1) .∴cos





∴二面角 A﹣CE﹣P 的余弦值为



点评: 本题考查空间向量求二面角以及直线与平面的位置关系的证明,本题的第一小题主 要应用线面平行为条件, 这种逆向思维的题目出现的比较多, 本题第二小题解题的关键是建立 坐标系,把难度比较大的二面角的求法,转化成了数字的运算.降低了难度. 21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,3Sn+1 是 6 与 2Sn 的等差中项(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; n 2 * (2)是否存在正整数 k,使不等式 k(﹣1) an <Sn(n∈N )恒成立,若存在,求出 k 的最大 值;若不存在,请说明理由. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件推导出 能求出数列{an}的通项公式. ,从而得到 对 n≥2 都成立,由此
*

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2

,n∈N 恒成立,令 ,则等价于 2kt +t﹣3<0 恒成立,由此能求出存在符合要求的正

*

整数 k,且其最大值为 11. 解答: 解: (1)因为 3Sn+1 是 6 与 2Sn 的等差中项, 所以 6+2Sn+6Sn﹣1(n∈N ) ,即 当 n≥2 时有 得 又 所以 ,即 . (n∈N ) .
n 2 * * *

, (n∈N )

*

. ,即 ,所以 对 n≥2 都成立, ,

(2)存在正整数 k,使不等式 k(﹣1) an <Sn(n∈N )恒成立, 等价于 当 n 为奇数时,对任意正整数 k,不等式恒成立; 当 n 为偶数时,等价于 令 因为 k 为正整数,故只须 ,则等价于 2kt +t﹣3<0 恒成立, ,解得 0<k<12,k∈N ,
* 2

,n∈N 恒成立,

*

恒成立,

所以存在符合要求的正整数 k,且其最大值为 11. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的实数是否存在的判断与求法,解 题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.

22. (12 分)如图,椭圆

的离心率为

,直线 x=±a 和 y=±b

所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l:y=x+m(m∈R)与椭圆 M 有两个不同的交点 P,Q,l 与矩形 ABCD 有两个不同 的交点 S,T.求 的最大值及取得最大值时 m 的值.

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考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)通过椭圆的离心率,矩形的面积公式,直接求出 a,b,然后求椭圆 M 的标准 方程; (Ⅱ) 通过 ,利用韦达定理求出|PQ|的表达式,通过

判别式推出的 m 的范围, ①当 推出 , 取得最大值

时, 求出

取得最大值

. 利用由对称性, . 求

. ③当﹣1≤m≤1 时,

取得最大值

的最大值及取得最大值时 m 的值. 解答: 解: (I) 矩形 ABCD 面积为 8,即 2a?2b=8?② 由①②解得:a=2,b=1, ∴椭圆 M 的标准方程是 . ?①

(II) 由△=64m ﹣20(4m ﹣4)>0 得 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则
2 2

, . ,

. 当 l 过 A 点时,m=1,当 l 过 C 点时,m=﹣1. ①当 时,有 , ,

其中 t=m+3, 由此知当 ②由对称性,可知若 ③当﹣1≤m≤1 时, 由此知,当 m=0 时,

, 即 ,则当 , 取得最大值 . 时, 取得最大值 ,

时, .

取得最大值



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 综上可知,当 或 m=0 时, 取得最大值 .

点评: 本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题,考查分类讨论思想,转化 思想, 韦达定理以及判别式的应用, 设而不求的解题方法, 考查分析问题解决问题, 计算能力.

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