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函数的最值与导数(公开课)


1.3.3 函数的最大(小)值与导数

高二数学 P L
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复旧知新
问题一:函数极值相关概念
(1)若函数y=f(x)在点x=b的函数
值f(b)比它在点x=b附近其他点的函 数值都小,满足f '(b)=0且在点x=b

f(b)

y

a
b 0 f(a)

x

附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则
把点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。

(2)若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 函数值都小,满足f '(a)=0且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。

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复旧知新
问题二:一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是什么?

① 确定函数定义域 ② 求 f '( x ) 注意:函数定义域
③ f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递增区间
f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递减区间

④ 列出表格 ⑤ 求出极值

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讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象,你能找出它的极大值和极 小值吗?你能找出它的最大值,最小值吗?

y

极大值:f (x2),f (x4),f (x6) 极小值:f (x1),f (x3),f (x5) 最大值:f (a) 最小值:f (x3)
o

a x1 x 2

x3

x4

x5

x6

b

x

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方法总结
1、极大、极小值与最大 、最小值的区别是什么 ?
函数极大值和极小值是比较极值点附近函数值得 出的,函数最大值、最小值是比较整个定义区间的函 数值得到的。

2、函数的最大、最小值 一定是极大、极小值吗 ?
函数的最大、最小值不 一定是极大、极小值 . 但与极大、极小值有一定的联系 .

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性质探究
y

探究问题1:开区间上的最值问题

如图,观察(a,b)上的函数y=f(x)的图像,它们在(a,b)上 有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值在什么位置取到?
y y=f(x) y y=f(x)

y=f(x)
o a

x
b y=f(x) o a b x o a b x

y

结论
x

o a

b

在开区间内的连续函 数不一定有最大值与最小 值。 若有最值,一定在极值点 处取得。

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性质探究

探究问题2:闭区间上的最值问题

如图,观察[a,b]上的函数y=f(x)的图像,它们在[a,b]上有 最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么? y=f(x) y y=f(x) y
o a o b x a x1 x2 x3 x4 b x

一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么它必定有 最大值和最小值。

结论

特别地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上是 单调函数,则最值则在端点处取得。
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牛刀小试
例1 .给出下列说法:
(1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大 值便是最大值,极小值便是最小值。 (2)在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 (3)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值; 反之,若有极值,则一定有最值。 (4)若函数在给定的区间上有最值,则最多有一个 最大值,一个最小值;若函数有极值,则可有多个极 值。 其中说法正确的有( (4) )

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提炼升华
一般地,求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最 大值与最小值的步骤如下: ① 确定函数定义域 ② 求 f '( x )

注意:函数定义域

③ f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递增区间
f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递减区间

④ 列出表格 ⑤ 求出极值和两端点处的函数值f(a), f(b)并将
其与各极值比较,其中最大的一个是最大值,最 小的一个是最小值。
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例题讲解
1 3 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4在[0,3]上的最大值与最小值. 例、求函数 3 2 解: y? ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 令 y? ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2
当x变化时,y?, y 的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2

y?
y

4

(2,3)

3

0
极小 值 ? 4 3

+ 1

因此函数 f ( x) ? 1 x 3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值为4,最

3

4 小值为 ?

3

.
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课堂小结
1.规律总结;

2.函数存在最值的的条件;
3.一般地,求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续 不断的曲线,那么它必定有最大值和最小值。

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