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独立重复试验与二项分布教案


《独立重复试验与二项分布》教案
【教学目标】

识与技能:在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下,理解次独立重复试验的模型及二 项分布,并能解决一些简单的实际问题。

程与方法:渗透由特殊到一般,由具体到抽象的数学思想方法。通过主动探究、相互交流, 培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力,感受数学建 模的过程中的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨,养成实事求是的科学态度和契而 不舍的钻研精神。

感态度与价值观:培养学生对新知识的科学态度,勇于探索和敢于创新的精神,让学生了解 数学来源于实际,应用于实际的唯物主义思想。 【教学重点、难点】

学重点:独立重复试验、n 次独立重复试验发生 K 次的概率公式的推导,二项分布的理解及 应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 教学难点: n 次独立重复试验发生 K 次的概率公式的推导,二项分布模型的构建。 【教学方法】探究式教学与多媒体辅助教学 【教学过程】 ? 复习引入 前面我们学习了许多不同关系的事件,让我们一起复习一下: 什么叫互斥事件?互斥事件有一个发生的概率如何计算?什么是对立事件?必有一个发生的 两个互斥事件。什么叫相互独立事件?相互独立事件是否可以同时发生?同时发生的概率怎 样计算? 相互独立事件在我们生活中大量存在,你们能举一些例子么? 二、创设情景,激发求知欲

1、投掷一枚相同的硬币 5 次,每次正面向上的概率为 0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为 0.7,现有气球 10 个。 3、口袋内装有 5 个白球、3 个黑球,有放回地抽取 5 个球。 问题 1、通过完成表格,请总结出上面这些试验有什么共同的特点?

以上试验都是相互独立试验,每次试验的条件都相同,都只有两种结果即事件 A 成功或失 败,且每次试验事件 A 成功的概率相同,失败的概率也相同,就是在相同条件下重复做同样 的实验,这就是我们今天要研究的试验,你能抽象出这种试验的概念么?

书定义:1 相同条件,2 相互独立,3 两种结果 4 P(A)相同,

n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验。 你能各试验中区分出 n 次独立重复实验么?试一下: 练习:判断下列试验是不是独立重复试验: 1).依次投掷 4 枚质地不同的硬币,3 次正面向上; 2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了 10 次,其中 6 次击中; 3).口袋装有 5 个白球,3 个红球,2 个黑球,从中依次抽取 5 个球,恰好抽出 4 个白球; 4)一次投掷 4 枚质地相同的骰子,有 3 个一点向上; 毫无疑问在判断时要特别注意实验的条件。 三、自主探究 合作学习

下面我们来探讨 n 次独立重复实验中的事件 A 发生的概率问题,我们先从一个简单问题 入手,某同学掷一个质地均匀的骰子,观察向上点数是否为 6 点,连续掷 3 次。 问题(2)出现 6 点的次数有哪几种情况?恰有 1 次 6 点向上的概率? 生思考后回答:0,1,2,3, 问题 a 3 次中恰有 1 次 6 点向上,有几种情况? 问题 b 它们的概率分别是多少?

问题 c 3 次中恰有 1 次 6 点向上的概率是多少? 变式一:3 次中恰有 2 次 6 点向上的概率是多少? 变式二:4 次中恰有 2 次 6 点向上的概率是多少? 可能是哪两次出现 6 点?共有几种情况?可以怎么数? 比如是第一次,第三次出现 6 点,对应的概率怎么算?这种情况共有 6 种,各种情况互 斥,因此相加。

可能是哪一次出现 6 点?可以怎么数?

2 :恰好击破 1 个的概率如何计算?设击破气球的个数为 X,X 的分布列怎样 ? 2 2
四、信息交流 揭示规律

P ? C 4 ? 0.6 ? (1 ? 0.6)

题 3:在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率 为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率呢? 2、二项分布模型的构建(这一过程师生共同完成) 若一次试验中事件 A 发生的概率为 ,那么在 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生次的概率 为 。

深化认识:(1)与 的展开式的联系; (2)具体实例 五、运用规律解决问题 1、例题剖析

1、某一射手平均每射击 10 次击中 8 次,求这名射手在 10 次射击中:①恰好 8 次击中的概 率;②至少 8 次击中的概率;③第 8 次击中的概率;④前 8 次击中的概率。 2、训练达标

(1)基础训练:

础训练是所学知识的直接应用,意在使学生理解二项分布其中每个参数所表示的实际意义, 掌握其特征,加深认识,能抽象出比较明显的二项分布模型。 (由学生口答完成) 1、已知随机变量 ~ ,则 = .

2、种植某种树苗,成活率为 0.9,现在种植这种树苗 5 棵,试求: (1)全部成活的概率为 (3)至少成活 4 棵的概率 ; (2)全部死亡的概率为 . ;

3. 若某射手每次射击击中目标的概率是 0.9,每次射击的结果相互独立,那么在他连续 4 次的 射击中,第一次未击中目标,后三次都击中目标的概率是 .

4. 某产品的次品率,进行重复抽样检查,选取 4 个样品,求其中的次品数 X 的分布列. (2)能力训练:

力训练是知识的变形应用和逆向思维训练,深化概念,发展思维,使学生能比较深刻的把握 二项分布的本质。 1.抛掷两个骰子,当至少有一个 5 点或一个 6 点出现时,就说试验成功,则在 54 次试验中成功 次数 X 服从什么分布? 2. 如果每门炮的命中率都是 0.6, (1)10 门炮同时向目标各发射一发炮弹,求目标被击中的概率; (2)要保证击中目标的概率大于 0.99,至少需多少门炮同时发射? 六、提炼方法,反思提高 本节课我们从实际出发,构建了二项分布这一重要的概率模型,又应用这一模型,解决了一些 简单的实际问题——独立重复试验概率问题,应用程序如下: (1)若一次试验中事件 A 发生的概率为 p ; (2)在 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数为 , 则 ~ (3)事件 A 恰好发生 K 次的概率为: . 2、作业布置: ;

必做:课本 P59 A 组 1,2,3

选做:B 组 1,3

〖教学反思〗

、教材的地位与作用

节内容是新教材选修 2-3 第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第 三小节。通过前面的学习,学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识:等可能事件概 率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容。二项分布是 继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型,而超几何分布在产品数量相当大时可以近似的 看成二项分布。在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分 布,实际应用广泛,理论上也非常重要。可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用,是 一种模型的构建,是从实际入手,通过抽象思维,建立数学模型,进而认知数学理论,应用 于实际的过程,对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。

、反思教学设计

学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,是数学学习的一种新的方式,它 为学生提供自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用。高二学 生虽然具有一定的抽象思维能力,但是从实际中抽象出数学模型对于学生来说还是比较困难 的,需要老师的正确引导。

1)创设情境,激发求知欲:利用学生求知好奇心理,以一个个人人皆知的试验为切入点,便 于激发学生学习本节课的兴趣,调动学生思维的积极性。紧扣本节课教学内容的主题与重点 , 有利于知识的迁移,使学生明确知识的实际应用性,了解数学来源于实际。

2)独立重复实验概念建构:通过一组实验让学生通过独立思考,相互讨论,合作交流从这 些试验中总结归纳出共同的特征,水到渠成,这正是数学的本质所在。学生由实例抽象出独

立重复试验的概念,尝试到成功的喜悦,达到第一个目标:学生理解了独立重复试验,又培 养了学生观察、分析、总结、归纳的能力。此时学生具有强烈的求知欲,注意力高度集中, 等着解决下一个问题。

3)二项分布模型的构建:从实际中来,到实际中去,抽象出的二项分布有何用途?什么时 候用?这是学生想知道的,也是我们学习数学的目的所在。怎么用呢?导入下一个环节并重 难点的突破:

强调二项分布模型的应用范围:独立重复试验。 (深化认识)

运用类比法对学生容易混淆的地方,加以比较。 (例题增加的③④)

创设条件、保证充分的练习。设置基础训练、能力训练、实践创新(第二课时)三个层次的 训练题,即模型的直接应用、变形应用和实际应用来突破难点,揭示重点。对实际应用题师 生要共同分析讨论,从问题中如何抽象出二项分布模型,反复引导,循序渐进。

4)例题剖析:利用一道紧扣目标的例题,帮助学生回顾概念,告诉学生如何将二项分布模型 应用于实际,使学生将本节所学知识具体化,让学生了解数学来源于实际应用于实际。①② 问可以直接用二项分布模型解决, ③④问是以新带旧,做好新旧知识的衔接与比较,以免混 淆。

5)提炼方法,反思提高:编筐编篓,重在收口。有反思才有进步,有提炼才能深化。本环节由 学生完成,老师予以补充,这样既可以检验学生课堂学习效果,又培养了学生归纳总结能 力、提炼与反思的习惯。

、反思教法

主性、能动性是人的各种潜能中最主要也是最高层次的潜能,教育只有在尊重学生主体的基 础上,才能激发学生的主体意识,培养学生的主体精神和主体人格, “主体”参与是现代教

学论关注的要素。在课堂教学中我尽量做到以学生的自主学习为中心,给学生提供尽可能多 的思考、探索、发现、想象、创新的时间和空间。另一方面,从学生的认知结构,预备知识 的掌握情况,我班部分学生有自主学习、主动构建新知识的能力。由此,本节课主要采取 “自主探究式”的教学方法:即学生在老师引导下,观察发现、自主探究、合作交流、由特 殊到一般、由感性到理性主动建构新知识,启发引导学生积极思维,对学生的思维进行调 控,帮助学生优化思维过程。

、反思学法

是中心,学会是目的。本节课让学生体会观察、 分析、归纳、抽象、应用的自主探究式学 习,训练与培养了学生思考问题的方法,使学生在课堂中手脑并用,协作互助,真正成为教 学的主体。

、反思不足

1)学生知识“回生”问题如何解决?本解课是必修 3《概率》的延伸,由于前后间隔时间 长,学生知识“回生率”高,造成课堂引入时间过长,给人“前松后紧”之感。如何解决知 识“回生”问题?在以后的教学中我认为可以从两方面入手:第一,加强预习,教师在布置 预习任务的同时,还要布置学生复习相关知识;第二,加强滚动训练,即在平时的训练中有 意识地配备相关知识的习题,使学生在不断的滚动中达到知识的巩固。

2)还课堂给学生。本节课的第二个不足就是教师不敢放手,不敢真正还课堂给学生。由于 学生知识回生,前面用时较多,在“二项分布模型”的建构过程中以教师的“导”与“讲” 为主,学生思考与讨论的时间与空间都显得苍白。放下教师的“架子”与“面子” ,不管什 么公开课,还课堂给学生,这才是真正的新课程!


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