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2.5 平面向量应用举例 学案


高一数学学案

必修?第二章平面向量 学案

课题: 2.5 平面向量应用举例
班级 姓名

2012.12.27

例 2.如图, ? ABCD 中,点 E , F 分别是 AD, DC 的中点, BE , BF 分别与 AC 交于 R , T 两点, 你能发现 AR, RT , TC 之间的关系吗?

学习目标 课标要求:1. 理解向量的代数特征和几何特征,如何利用向量的几何性质来解决一些代数问题,
如何利用向量将一些几何问题代数化. 2. 体验探究的乐趣,认识到万物的联系与转化,学会用辨证与联系的观点看问题。培养分析、解决 和应用问题的能力.

重点:用向量法解决实际问题的基本方法;向量解决几何问题的“三步曲”. 难点:实际问题转化为向量问题. 课堂探究 温故知新 1、你能写出向量有关运算(加、减、数乘、数量积等)的几何意义或物理原型吗?

2、平面向量基本定理:

学习新课
1. 平面几何中的向量方法: 猜想:长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系?类比猜想,平行四边形对角线的长度与 两条邻边长度之间有相似关系吗? 例 1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如图,AC ? AB ? AD ,DB ? AB ? AD 尝试证明上述猜想.

2. 向量在物理中的应用举例: 例 3. 日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体,如果绳子的最大拉力为 F,物体 受到的重力为 G, 你能否用向量的知识, 分析绳子受到的拉力 F1 的大小与两绳之间的夹角θ 的关系?

?

F1

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??? ??? ? ?

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??? ???? ?

G

探究: ⑴当 ? 逐渐增大时, F1 的大小怎样变化?为什么? ⑵当 ? 为何值时, F1 最小,最小值是多少? 你能尝试总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗? 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” : ⑶当 ? 为何值时, F1 ? G ?

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必修?第二章平面向量 学案

例 4. 一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 500m ,一艘船从 A 处出发航行到河的正对岸 B 处,船航 行的速度大小为 v1 ? 104km / h ,水流速度大小为 v2 ? 2km / h ,船行驶航程最短时,船行驶所 用时间是多少?

?

?? ?

4.平 面 上 三 个 力 F1 、 F2 、 F3 作 用 于 一 点 且 处 于 平 衡 状 态 , F1 ? 1N ,

F2 ?

6? 2 N , F 1与 F2 的夹角为 45? . 2

求:(1) F3 的大小;(2) F 3与 F1 夹角的大小.

反思小结
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向 量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:形到向量 ? 向量的运算 ? 向量和数到形

学习评价
A组 1.当两人提重为|G|的书包时,夹角为θ ,用力为|F|,则三者的关系式为

B组 5.在例 4 中,设 v1 与 v2 的夹角为 ? , 思考:要使船行驶时间最短,则船行驶距离与合速度的比值必须最小,试画图分析以下三种情况: ⑴当船逆流行驶,与水流成钝角时; ⑵当船顺流行驶,与水流成锐角时; ⑶当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.

??

?? ?

?? ?? ?? ?? |G| |G| ? C.| F |= ? D.| F |= ? ? 2cos ? 2sin ? 2sin 2 cos 2 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 2. 在 △ABC 中若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 是 △ABC 的( )
?? A.| F |= ?? ? B.| F |=
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 3.在 ?ABC中, D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点, BF与CD 交与点 O ,设

?? G

?? G

AB ? a, AC ? b .
证明: A、O、E 三点在同一直线上,且

AO BO CO ? ? ?2 OE OF OD

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