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压轴函数的单调性与最值


函数考点
考点 1 函数的单调性
题型 1:讨论分段函数的单调性(分段函数用注意分段处理).

? 1 , x ? 1, ? F ( x) ? f ( x) ? kx, x ? R . [例 1]设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x ?? x ? 1, x ? 1 ?

题型 2:研究抽象函数的单调性(

充分利用“恒成立”进行“赋值”)
有 f(a+b)=f(a)· f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)· f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.

[例 2] 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) , f (0) ? 0 , 当 x>0 时, f ( x) ? 1 , 且对任意的 a、 b ∈ R,

考点 2 函数的值域(最值)的求法 题型 1:求分式函数的最值 (考虑均值不等式或导数) 2 x ? 2x ? a , x ? [1,??). [例 3]已知函数 f ( x) ? x 1 当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; 2

题型 2:利用函数的最值求参数的取值范围
[例 4]已知函数 f ( x) ?
2

(分离参数)

x ? 2x ? a , x ? [1,??). x 若对任意 x ? [1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

题型 3:求三次多项式函数的最值
[例 5] 已知 a 为实数,函数

f ( x) ? ( x 2 ? 1)(x ? a) ,若 f ' (?1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在

3 [ ? ,1] 上的最大值和最小值。 2

含参数问题中的分类讨论,常借助导函数的图像分析做到不遗不漏
1 1、 【2012· 安徽卷】设函数 f(x)=aex+aex+b(a>0). (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2

2、 【2012· 广东卷】 设 a<1, 集合 A={x∈R|x>0}, B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0}, D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示); (2)求函数 f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax 在 D 内的极值点.

3、[福建卷] 已知 a, b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx, f(e)=2(e=2.71828… 是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲

? ?1 ?? 线 y=f(x) x∈ e,e 都有公共点?若存在, 求出最小的实数 m 和最大的实数 M; 若不存在, ? ? ??
说明理由.

4. 已知函数 f ( x) ? xlnx , (1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

? 5.已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 (m ? 0) . 3

(Ⅰ)若 m ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递增,求实数 m 的取值范围.

6.设函数 f ( x) ? xe , g ( x) ? ax ? x.
x 2

(I) 若 f ( x) 与 g ( x) 具有完全相同的单调区间,求 a 的值; (II)若当 x ? 0 时恒有 f ( x) ? g ( x), 求 a 的取值范围.

7. 设函数 f ?x ? ? ln x ? p?x ? 1?, p ? R . (Ⅰ)当 p ? 1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间;

1 (2)设函数g ( x) ? xf ( x) ? p(2 x 2 ? x ? 1)( x ? 1), 求证:当p ? ? 时,有g ( x) ? 0成立 2

(21)本小题满分 12 分)
x 2 设函数 f ? x ? ? x e ? 1 ? ax

?

?

(Ⅰ)若 a=

1 ,求 f ? x ? 的单调区间;[来源:学科网] 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围

21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 , f ( 1处 ) )的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 .
(I)求 a,b 的值; (II)证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x . x ?1

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e ? ax ? 2 。
x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x) ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值。

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e (ax+b)-x -4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0)) 处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

x

2

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? , 曲线 y ? f ? x ? 在 2 a 点 ?1, f ?1? ? 处的切线斜率为 0。⑴求 b ;⑵若存在 x0 ? 1 ,使得 f ? x0 ? ? ,求 a 的取 a ?1
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 值范围。

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e

2x

? a ln x .
2 . a

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln


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