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2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案


2016 学年度第一学期高二年级期末教学质量检测

理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在 答题卷上。 2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 位置上;如需改动

,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.“ x ? 0 ”是“ 3 x2 ? 0 ”成立的 A.充分非必要条件
2

B.必要非充分条件

C.非充分非必要条件

D.充要条件

2.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是 A. (1, 0)
2 2

B. (0,1)

C. (

1 , 0) 16

D. (0,

1 ) 16

3.与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 8 相切,且在 x、 y 轴上截距相等的直线有 A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条

4.设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列结论正确的是 A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? / / ? C.若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ⊥ ? B.若 l / /? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , l / /? ,则 l ⊥ ?

5.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 A.? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 C.? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 B.? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0

D.? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 ? ? ? ? 6.设 a ? (2 x,1,3) , b ? (1, ?2 y,9) ,若 a 与 b 为共线向量,则
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A. x ? 1 , y ? 1 C. x ?

B. x ?

1 3 ,y?? 6 2 2 2 x y 10 ? ? 1 的离心率 e ? 7.已知椭圆 ,则 m 的值为 5 m 5
A. 3 B.

1 1 ,y?? 2 2 1 3 D. x ? ? , y ? 6 2

5 15 或 15 3

C. 5

D.

25 或3 3

8 .如图 , 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M , N , P 分别是

D1 A1 D A

B1B, B1C1 , CD 的中点,则 MN 与 D1P 所成角的余弦值为
A. ?

B1 N M P B

C1

10 5

B.

10 5

C

2 5 5 ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 9.如图, G 是 ?ABC 的重心, OA ? a, OB ? b, OC ? c , ???? 则 OG ? 1? 2? 2? 2? 2? 1? A. a ? b ? c B. a ? b ? c 3 3 3 3 3 3 2? 2? 2? 1? 1? 1? C. a ? b ? c D. a ? b ? c 3 3 3 3 3 3
C. D.

5 5

8 题图

O

A D B G
9 题图

C

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦 10.已知双曲线 4 b
点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. 4 2 B. 5 C.3

D.5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a = 12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为
2 2



13.设 M 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点,则 M 到直线 3x ? 4 y ? 22 ? 0 的最长距 离是 ,最短距离是 14.已知点 P ? ?2,1? , Q ?3,2? ,直线 l 过点 M (0, ?1) 且与线段 ..PQ 相交,则直线 l 的斜率 k 的取 值范围是__________;

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 12 分)如图,一几何体的正侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形。 (1)说出此几何体的名称,并画出其直观图(尺寸不作严格要求) ; (2)若此几何体的体积为

4 3 ,求此几何体的表面积 3
2
正视图

2
侧视图

俯视图

16. (本小题满分 12 分)直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 满足下列条件,求直线 l 的方程。 (1)平行于直线 x ? y ? 5 ? 0 (2)垂直于直线 3x ? y ? 2 ? 0

17. (本小题满分 14 分)已知命题 p : | m ? 1|? 2 成立.命题 q : 方程x2 ? 2mx ? 1 ? 0 有实 数根.若 ? p 为假命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围。

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18. (本小题满分 14 分) 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 , 圆 C2 : x ? y ? 6x ? y ? 9 ? 0 。
2 2

(1)求两圆公共弦所在直线的方程; (2)直线 l 过点 (4, ?4) 与圆 C1 相交于 A, B 两点,且 | AB |? 2 6 ,求直线 l 的方程。

? 19. (本题满分 14 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,

PB ? BC ? CA ? 2 , E 为 PC 的 中 点 , M 为 AB 的 中 点, 点 F 在 PA 上 , 且 2 PF ? FA 。 (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ; (3)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角
(锐角)的余弦值。

20. (本小题满分 14 分)设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的 直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点, 点 M 在直线 l 上, 且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (2)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴 上的射影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 当 m ? 2 时,对任意的 k ? 0 ,试判断 PQ ? PH 是否成立?证明你的结论。

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理科数学试题参考答案
一、选择题(10× 5=50) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B

二、填空题(4× 5=20) 11. ?

2 3

12.

3 ? 3

13. 4

(3 分), 2 (2 分)

14. [?

4 1 , ] 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)如图,一几何体的正侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形。 (1)说出此几何体的名称,并画出其直观图(尺寸不作严格要求) ; (2)若此几何体的体积为 解: (1)此几何体为正四棱锥 它的直观图如下:

4 3 ,求此几何体的表面积 3
…………2 分
正视图

2

P D A O B C

侧视图

2

俯视图

………………………………6 分

(2)设此几何体的高为 h ,则:

1 2 4 ?2 ?h ? 3?h? 3 3 3
侧面斜高:h? ? h2 ?12 ? 2 所以几何体的表面积: s ? 2 ? 4 ?
2

………………………………8 分 ………………………………10 分

1 ? 2 ? 2 ? 12 2

…………12 分

16. (本小题满分 12 分)直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 满足下列条件,求直线 l 的方程。 (1)平行于直线 x ? y ? 5 ? 0 (2)垂直于直线 3x ? y ? 2 ? 0

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解:由 ?

? x ? 2 y ?1 ? 0 ?x ? 3 ?? ?2 x ? y ? 7 ? 0 ? y ? ?1

…………………………3 分 …………………………4 分 …………………………6 分 …………………………7 分

(1)依题意 l 的斜率 k ? ?1 , 所以 l 的方程为: y ? 1 ? ?( x ? 3) 即: x ? y ? 2 ? 0 (2)依题意 l 的斜率: k ?

?1 1 ?? , 3 3

…………………………9 分 …………………………11 分 …………………………12 分

所以 l 的方程为: y ? 1 ? ? ( x ? 3) 即: x ? 3 y ? 0

1 3

17. (本小题满分 14 分)已知命题 p : | m ? 1|? 2 成立.命题 q : 方程x2 ? 2mx ? 1 ? 0 有实 数根.若 ? p 为假命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围。 解: | m ? 1|? 2 ? ?2 ? m ? 1 ? 2 ? ?3 ? x ? 1 即命题 p : ?3 ? x ? 1 …………………………3 分 …………………………5 分 …………………………7 分

方程x2 ? 2mx ? 1 ? 0 有实数根 ? ? ? (?2m)2 ? 4 ? 0
? m ? 1或m ? ?1,即 q :m ?1或 m ??1
因为 ? p 为假命题, p ? q 为假命题 则 p 为真命题,所以 q 为假命题,

…………………………9 分 …………………………11 分

? q 为真命题, ? q : ?1 ? m ? 1
由?

??3 ? x ? 1 ? ?1 ? m ? 1 ??1 ? m ? 1
…………………………14 分
2 2 2 2

即 m 的取值范围是: ?1 ? m ? 1

18. (本题满分 14 分) 已知圆 C1 : x ? y ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 , 圆 C2 : x ? y ? 6x ? y ? 9 ? 0 。 (1)求两圆公共弦所在直线的方程; (2)直线 l 过点 (4, ?4) 与圆 C1 相交于 A, B 两点,且 | AB |? 2 6 ,求直线 l 的方程。

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解: (1) ?

? x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 2 2 ? ?x ? y ? 6x ? y ? 9 ? 0
① ……………………3 分

上面两方程左右分别相减得:2 x ? y ? 4 ? 0

方程①表示直线,且两圆的交点满足此方程,故它表示两圆公共弦所在直线的方 程。 (2)圆 C1 可化为: ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 10 所以圆心 C1 (2,1) ,半径 r 1 ? 10 即:kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 圆心 C1 到 l 的距离:d ? …………………………6 分 若直线 l 的斜率存在,设为 k ,则 l 的方程为: y ? 4 ? k ( x ? 4) …………………………7 分 …………5 分

| 2k ? 1 ? 4 k ? 4 | k ?1
2

?

| 2k ? 5 | k 2 ?1

…………………………8 分

?d2 ? (

| AB | 2 | 2k ? 5 | 2 ) ? r12 ,所以:( ) ? ( 6) 2 ? ( 10) 2 2 2 k ?1 21 20 21 ( x ? 4) 20

…………………………9 分

解得: k ? ?

…………………………10 分

所以直线 l 的方程为: y ? 4 ? ? 即: 21x ? 20 y ? 4 ? 0

…………………………11 分 …………………………12 分

当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为: x ? 4

此 时 圆 心 C1 到 直 线 l 的 距 离 恰 好 为 2 , l 被 圆 截 得 的 弦 长 正 好 为 2 6 , 符 合 题 意 综上可知,直线 l 的方程为:21x ? 20 y ? 4 ? 0 或 x ? 4 19. (本题满分 14 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底
? 面 ABC , ?BCA ? 90 , PB ? BC ? CA ? 2 , E 为

………13 分 …………………………14 分

PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 2 PF ? FA . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ;
(3)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角

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(锐角)的余弦值。 (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB
? 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB

……………1 分

…………………2 分

又? PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE ………………………3 分 …………………………4 分 …………………………5 分

? PB ? BC , E 为 PC 中点, ∴ BE ? PC

? PC ? AC ? C , ∴ BE ? 平面 PAC

(2)取 AF 的中点 G , AB 的中点 M ,连接 CG, CM , GM , ∵ E 为 PC 中点, FA ? 2 FP ,∴ EF / / CG . ……………7 分

∵ CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF ,∴ CG / / 平面 BEF …8 分 同理可证: GM / / 平面 BEF . 又 CG ? GM ? G , ∴平面 CMG / / 平面 BEF . ………9 分

∵ CM ? 平面 CMG ,∴ CM / / 平面 BEF . …………10 分 (3) (2)方法一:如图,以 B 为原点、 BC 所在直线为 x 轴、 BP 为 z 轴建立空间直角坐 标系. 则 C (2,0,0) , A(2,2,0) , P(0,0,2) , E (1,0,1) ………11 分 ………12 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 2 2 4 BF ? BP ? PF ? BP ? PA ? ( , , ) . 3 3 3 3 ?? 设平面 BEF 的法向量 m ? ( x, y, z) .
由 m ? BF ? 0, m ? BE ? 0 得

?? ??? ?

?? ??? ?

2 2 4 x? y? z ? 0, 3 3 3

即 x ? y ? 2 z ? 0 ……………(1)

x?z ?0

……………(2)

取 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , m ? (1,1, ?1) . 取平面 ABC 的法向量为 n ? (0,0,1)

??

…………………………13 分

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?? ? ?? ? m? n 3 则 cos ? m, n ? ?? ? ? ? , 3 | m || n |
故 平 面 ABC 与 平 面 PEF 所 成 角 的 二 面 角 ( 锐 角 ) 的 余 弦 值 为

3 . 3
方法二:∵ 平面CMG / / 平面BEF .

……………14 分

∴ 平面CMG 与平面 ABC 所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面 ABC 与平面

BEF 所成的二面角的平面角(锐角)
已知 PB ? 底面ABC , AC ? BC ? 2 , CM ? 平面

……………11 分

ABC
∴ CM ? PB ,∴ CM ? AB 又 PB ? AB ? B ,∴ CM ? 平面 PAB 由于 GM ? 平面 PAB , ∴ CM ? GM 而 CM 为 平面CMG 与平面 ABC 的交线, 又? AM ? 底面 ABC , GM ? 平面 CMG …………12 分

? ?AMG 为二面角 G ? CM ? A 的平面角
根据条件可得 AM ?

…………13 分

2 , AG ?

1 2 PA ? 3 3 3

在 ?PAB 中, cos?GAM ?

AB 6 ? AP 3 6 3
…………14 分

在 ?AGM 中,由余弦定理求得 MG ?

cos?AMG ?

AM 2 ? GM 2 ? AG 2 3 ? 2 AM ? GM 3

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故平面 ABC 与平面 PEF 所成角的二面角(锐角)的余弦值为

3 . 3

…………15 分

20. (本题满分 14 分)设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直 线, 点 M 在直线 l 上, 且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当 D 是直线 l 与 x 轴的交点, 点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (2)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴 上的射影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 当 m ? 2 时,对任意的 k ? 0 ,试判断
PQ ? PH 是否成立?证明你的结论。

解: (1)如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , ……1 分 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |? 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x02 ? y02 ? 1 . 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ? 因为 m ? (0, 1) ? (1, ? ?) ,所以 当 0 ? m ?1 时 , 曲 线 C 是 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆, …………5 分 两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m2 , 0) ; 当 m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m2 ? 1) , (0, (2) PQ ? PH 成立。

1 | y |. m

① ②

……2 分 ……3 分 ……………4 分

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2

y A M O D x

m2 ? 1) . …6 分
…………7 分
图1
2

y2 C x ? ?1 证明:当 m ? 2 时,曲线 的方程为 2
③直线 PQ 的方程为: y ? kx(k ? 0) ④

…………8 分

联立③④解得: P(

2 2 2 2 ,k ), Q(? , ?k ) 2 2 2 2?k 2?k 2?k 2 ? k2 2 ) 2 ? k2
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…………9 分

因此, N 点的坐标为: P(0, k

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2 x 2 ? k2 ? 直线 QN 的方程为: 2 2 ?2k ? 2 2?k 2 ? k2 y?k
即 QN :y ? 2kx ? k

y N
……10 分

H P O x

2 2 ? k2
2



Q
图2

将⑤代入③中得: 2 x ? (2kx ? k

2 2 ) ?2 ? 0 2 ? k2


整理得: (2 ? 4k ) x ? 4k
2 2

2

2 4 ?x ? ?0 2 2?k 2 ? k2

…………11 分

因为 xH , xQ 是方程⑥的两个根,故 xH ? (?

2 4 )?? 2 2 2?k (2 ? k )(2 ? 4k 2 )
…………12 分

所以, xH ?

2 2 2 ? k 2 (2 ? 4k 2 ) 2 2 2 ? k 2 (2 ? 4k 2 ) ?k

从而: yH ? 2k ?

2 4 2k 2 ? ?k 2 2?k 2 ? k2 2 ? k 2 (2 ? 4k 2 )

4 2k
所以直线 HP 的斜率为: k HP ?

yH ? yP ? xH ? xP

1 2 ? k 2 (2 ? 4k 2 ) ? ? ……13 分 k 2 2 2 ? 2 2?k 2 ? k 2 (2 ? 4k 2 )
…………14 分

又? k HP ?kQP ? ? ?k ? ?1, ? HP ? QP ,

1 k

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