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2014高考调研理科数学课本讲解


高考调研

新课标版 · 数学(理)

第 5 课时

三函的像 角数图

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2013?考纲下



1.理解正弦函数,余弦函数、正切函数的图像. 2.会用“五点法”画正弦函数、 余弦函数和函数 y=Asin(ωx +φ)的简图,理解 A、ω、φ 的物理意义.

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请注意!
本课时是高考热点之一,主要考查:①作函数图像,包括 用五点法描图及图形变换作图;②由图像确定解析式;③考查 三角函数图像变换;④图像的轴对称、中心对称.题型多是容 易题.

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1.三角函数图像 1 y=s x,x∈[ ( ) n i 2 0 π ,] 的图像是

2 y=c x,x∈[ ( ) o s 2 0 π ,]

的图像是

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π π 3 y=t x,x∈(-2,2)的图像是 ( ) a n

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2.y=As n ( i

ωx+φ)的图像(A>0,ω≠0)
φ (- ,0), ω
?4π-2φ ? ? ? ? 2ω ,0? ? ?

1 五点作图法 ( ) 作 y=As n ( i
?π-2φ ? ? ? ? 2ω ,A? ? ?

ωx+φ)的图像时,五点坐标为
?2π-2φ ? ? ? ? 2ω ,0? ? ? ?3π-2φ ? ? ? ? 2ω ,-A? ? ?

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2 变换作图 ( )

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【说明】

前一种方法第一步相位变换是 向左(φ>0)或

向右(φ<0) 平移
换是向 左(φ>0) 分,对 y=Ac o ( s

|φ|个单位


,后种法二相变 而一方第步位 |φ| 向右(φ<0) 移 ω 个 位 要 格 单,严区 ωx+φ)同 适 . 样用

ωx+φ),y=At a n (

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π 1.( 把 y=s x 的图像向右平移3个单位,得__ 1 ) n i __ __ 像. 2 把 y=s x 的 像 所 点 横 ( ) n i 图上有的坐 (纵坐标不变)得________的图像. 3 把 y=s ( ) n ( i 标短原的 缩到来

的图

1 2倍

π 1 x-3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的2

倍(纵坐标不变)得________的图像.
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4 把 y=s ( ) n 2 i

π x 的图像向右平移 得________的图像. 6
π x- ) 2 y=s ( ) n 2 i 3 x 3 y=s ( ) n 2 ( i π x- ) 3

答案 1 y=s ( ) n ( i 4 y=s ( ) n 2 ( i π x- ) 3

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2. 1 温州模拟)要得到函数 y=c (20 3 · o 2 s 数 y=s n 2 i x 的图像

x 的 像只 把 图 ,需 函 ( )

π A.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移4 个单位长度 π C.向左平移 个单位长度 2 π D.向右平移2个单位长度
答案 A
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解析

由于 y=s n 2 i

x=c o ( s

π -2x)=c o 2 ( s 2

π x- )=c o 2 [ s ( 2

x-

π )],因此只需把函数 y=s n 2 i 4 就可以得到 y=c o 2 s

π x 的图像向左平移 个单位长度, 4

x 的图像.

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3.若 x∈[-π,π],则 y=s x 和 y=t x 的 像 交 个 n i a n 图的点 数是________.
答案 3

解析 在[-π,π]上画 y=s x 和 y=t x 的 像 如 可 n i a n 图.图 知,x∈[-π,π]时 y=s x 和 y=t x 的 像 交 个 是 n i a n 图的点数 3.

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4.(1 22 0·

浙江)把函数 y=c o 2 s

x+1 的 像 所 点 横 图上有的坐 1 个单位长度, ( )

标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 向 平 然 左移 后 再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

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答案 A

解析

把函数 y=c o 2 s

x+1 的图像上所有点的横坐标伸长

到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到的图像对应的解析式为 y= c x+1, 后 左 移 o s 然向平 度得 的 像 应 函 解 式 ,到 图 对 的 数 析 为 选 A. 1 个位度再下 移 单 长 ,向 平 y=c o ( s 1 个单位长 x+1),图 可 由像知

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5.如图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的 像 那 图,么 可以写成 (

f(x) )

A.s n 1 ( i B.s n ( i

+x) -1-x)

C.si x-1) n ( D.s n 1 ( i -x)
答案 D
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解析 设 y=s n ( i ∴由 n 1 ( i s =s n 1 ( i -x).

x+φ),点( 0 1 ) ,

为点作的三, 五法图第点 x+π-1)

+φ)=0?1+φ=π,φ=π-1,∴y=s n i (

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x x 例 1 用“五点法”画出函数 y= 3s 2+c 2的图像,并 n i o s 指出这个函数的周期与单调区间.

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x x 【解析】 y= 3s +c =2 n i o s n ( i s 2 2 x π 令 T= + ,则列表如下: 2 6

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x π + ), 2 6

T x y=2 n i s T

0

π 2

π

3π 2 8π 3 -2

2π 1 π 3 0

π 2π 5π - 3 3 3 0 2 0

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在标中出应五,用滑曲连起, 坐系描相的点再平的线接来 如下图所示,再向两端伸展一下.

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2π 从图像观察:该函数的周期为 T= 1 =4 π . 2 4π 2π [- 3 +4kπ, 3 +4kπ]k∈Z 为增区间, 2π 8π [ +4kπ, +4kπ k∈Z)为减区间. ( ] 3 3 4π 2π 2π 【答案】 T=4π [- +4kπ, +4kπ]为增区间,[ + 3 3 3
8π 4kπ, +4kπ]为减区间(k∈Z) 3

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探究 1 用“五点法”作正、余弦型函数图像的步骤是: 1 将原函数化为 y=As ( ) n ( i ω> 的形式; 0 ) 2 确定周期; ( ) 3 确定一个周期内函数图像的最高点和最低点; ( ) 4 选出一个周期内与 x 轴的三个交点; ( ) 5 列表; ( ) 6 描点. ( ) ωx+φ)或 y=Ac o ( s ωx+φ)(A>0,

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思考题 1 用五点法作出 y=2 n 2 ( i s 图像.
【析 解】

π ? π 2π? x+3)在?-3, 3 ?内的 ? ?

π π π 2π π 5π 2(- )+ = - ,2( )+ = , 3 3 3 3 3 3

π π ∴令 2x+ =0,∴x= - . 3 6 π π π 2x+ = ,∴x= . 3 2 12 π π 2x+ =π,∴x= . 3 3 π 3π 7π 2x+ = ,∴x= . 3 2 12
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列表

π 2x+3 x y

π -3 π -3 - 3

0

π 2

π

3π 2 7π 12

5π 3 2π 3

π π π -6 12 3 0 2

0 -2 - 3

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描点作图

【答案】 略

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例 2 1 如何由 y=s x 的图像得 y=2s ( ) n i c o ( 1 2 如何由 y= n ( ) 2 ( i s 3

1 π - x+ )的图像. 2 4

π x+ )的图像得 y=s x 的图像. n i 4

【解析】 1 y=2 ( ) c o ( s

1 π n ( i s 2x-4)=2

1 π 2x+4)以下略.

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1 2 转化为由 y=s x 的图像得 y= 3n ( ) n i 2 ( i s 1 把 y= n 2 ( i s 3

π x+3 ), 推 是 再 就: 逆

π x+ )图像上各点的纵坐标都伸长到原来的 3 倍(横 3 π x+ )的 像 再 图 ,把 3 y=s n 2 ( i π x+ )图像上所 3 π x+3)

坐标不变)得 y=s n 2 ( i

有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得 y=s n ( i 的 像再 图 ,把 y=s n ( i

π π x+3 )的图像上所有点的横坐标向右平移3,

得 y=s x 的图像. n i

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【讲评】 对 数 概 和 法 必 从 质 理 , 于学念方,须本上解防 止死记硬背,本题( 开拓了学生的视野.不过,如果学生程度 2 ) 差,可不讲,以防弄巧成拙.

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探究 2 关于 y=As n ( i

ωx+φ)函数图像由 y=s x 的图像的 n i

变换,先将 y=s x 的图像向左(或右)平移|φ|个 位 再 其 n i 单,将上 1 的横坐标缩短(ω> 或伸长( ω< 到原来的 倍 将 纵 标 1 ) 0 < 1 ) , 其坐 再 ω 伸长(A> 或缩短( A< 到原来的 A 倍,但在( 题中,是先进 1 ) 0 < 1 ) 2 ) 行缩换再行移换此平不是 伸变,进平变,时移再 |φ|个 位 而 单,

φ 是| |个单位,原则是保证 x 的系数为 1, 时 意 换 方 同注变的法 ω 不能出错.

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思考题 2 像. 1 y=s ( ) n ( i 3 y=| ( ) n 2 i s

如何由函数 y=s x 的 像 到 列 数 图 n i 图得下函的

π x+ ); 3 x| ;( 4 )

2 y=s ( ) n 2 ( i

2π x- )-2; 3

π y=cos x-3). 2 (

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【析 解】 1 将 y=s x 图 向 平 ( ) n i 像左移

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π 单. 3个 位 1 ,坐 纵标 2 π 个位 单, 3 2个位 单. 2 倍横 , x 的像于 图位 x轴

2 将 y=s x 图 上 点 横 标 短 原 的 ( ) n i 像各的坐缩为来 不, 变得 得 y=s n 2 ( i y=s n 2 i x图;将 像再 y=s n 2 i y=s n 2 ( i x图向平 像右移 2π x- )向 平 下移 3

2π x- )图 ;将 像再 3

3 将 y=s x 图 上 点 纵 标 长 原 的 ( ) n i 像各的坐伸到来 坐不, 标变得 下的分 方部沿 y=2 n i s x 的像再 图;将 x轴方 上.
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y=2 n i s

x轴折 翻到

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【答案】 略

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例 3 已知函数 y=As n ( i

ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω> 的 0 ) )为 ,求这个

图像在 y 轴右侧的第一个最高点(函 取 大 的 数 最 值 点 M( 2 , 2),与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N( 0 6 ) ,

函数的解析式.

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【思路】 根 题 , 点 据意 知 可

M、 是函数 y=As N n i (

ωx+φ),

x∈R(其中 A>0,ω> 图像的五个关键点中的两个,可作出其函 0 ) 数的大致图像,如图所示.

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【解析】 方法一 (最值点法): T 根据题意,可知 A=2 2,4 =6-2=4. 2π π 所以 T=16.于是 ω= = , T 8 将点 M( 2 , 2)代入 y=2 2s n ( i π 2+φ). 8· π 8 x+φ),

得 2 2=2 2s n ( i

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∴s n ( i

π π π π +φ)=1.所以 +φ= ,即 φ= . 4 4 2 4

从而所求函数的解析式是 y=2 2s n ( i π π x+ ),x∈R. 8 4

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方法二 (零点法) π 由方法一可知 T=16,A=2 2,ω=8, 根据题意知 N 是第二个零点,故 x3=6. π 又由 ωx3+φ=π,得 φ=4.

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探 3 究 由 f(x)=As n ( i

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ωx+φ)(A>0, 0 的 段 像求 ω> 一 图 ,其 ) ω 和 φ,

解 式 , A 比 容 由 得 ,难 是 待 系 析 时 较 易 图 出困 的 求 定 数 常如两方: 用下种法 1 如图明指了期 ( 果像确出周 ) 2π 么 ω= 即 求 由 可出 T 侧像升 图上 φ. (最 点最 点 零 高 、低 或 点 ω 和 φ, 对 若 诱公变使 导式换
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T的小 大和

“零 ”坐 , 点 标那

ω; 定 确

φ 时若求离点近右 ,能出原最的 x0,令 则 ωx0+φ=0(或 ωx0

(或 降 )的 点 横 标 下 零的坐

+φ=π)即 求 可出

2 代 点 坐 .用 些 知 ( 入 的 标利 一 已 点 ) 坐代 标入 解 式再合形出 析 .结图解

)

A,ω 的 号 符 其合求 符要.

或 φ的围所求则用 对 范有需,可
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思考题 3 已知下图是函数 y=As n ( i

ωx+φ), (A>0, ω>0,

π |φ|<2)在一个周期内的简图,求其相应的函数表达式.

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11 π 2π 【解析】 因为 T=12π-(-12)=π= ,所以 ω=2.又易 ω 知 A=2,所以 y=2 n 2 ( i s 方法一 0=2 n i s x+φ).下面求 φ.

? ? π 将点?- 12,0?代入上式得 ? ? ? ? ? π? ?2×? - ?+φ? ,即 n i s ? ? 12 ? ? ? π? ?φ- ?=0. 6? ?

π π 由|φ|< ,得 φ= . 2 6 ∴y=2 n i s
? π? ?2x+ ? . 6? ?

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π 方法二 由图像可得相位为- , 12 φ π π ∴- =- ,∴φ= . 2 12 6 即 y=2 n 2 ( i s π x+ ). 6

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例4

如 所 ,地 天 图 示某 一 从 ωx+φ)+b.

6 时到 14 时 温 变 曲 的度化线

近似满足函数 y=As n ( i

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1 求这段时间的最大温差; ( ) 2 写出这段曲线的函数解析式. ( ) 【解析】 1 由图示,这段时间的最大温差是 30-10 ( ) =20 ℃.

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2 图中从 6 时至 14 时 图 是 数 ( ) 的像函 半个周期的图像. 1 2π π ∴2· =14-6,解得 ω=8. ω

y=As n ( i

ωx+φ)+b 的

1 1 由图示,A= 3 -10)=10,b= 3 +10)=20. ( 0 ( 0 2 2 这时 y=1 n 0 ( i s π x+φ)+20. 8

3π 将 x=6,y=10 代入上式,可取 φ= 4 . 综上,所求的解析式为 y=1 n 0 ( i s
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π 3π 1 6 4 ,] 8x+ 4 )+20,x∈[
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探究 4 面 实 问 时 能 迅 地 立 学 型 一 对际题,够速建数模是 项要基技.个程不秘比本题在题 重的本能这过并神,如例,读 时问提的 把题供 “条件”逐条地“翻译”成“数 语 学言 ”,这

个过程就是数学建模的过程.

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思考题 4 如图为一个缆车示意图, 该缆车半径为 m 8 4 . 圆上最低点与地面距离为 86 00 .m , 面 直以 垂, 距离是 h. 秒动圈图 转一,中



OA 与地

OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面

1 求 h 与 θ 间的函数关系式; ( ) 2 设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间 ( ) 的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?
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【思路】 1 以圆心 O 为原点建立平面直角坐标系,利用 ( ) 三角函数的定义求出点 B 的 坐 , 纵标 则 h 与 θ 之间的关系可求.

2 把 θ 用 t 表示出来代入 h 与 θ 的 数 系 即 . ( ) 函关式可

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坐标系,

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【解析】 1 以圆心 O 为 点 建 如 所 的 面 角 ( ) 原 ,立 图 示 平 直

π 则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ- , 2 故点 B 的坐标为( c o 8 4 ( s . ∴h=5 +4 6 . n 8 ( i s . π θ-2),4 n 8 ( i s . π θ-2)).

π θ- ). 2
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π 2 点 A 在圆上转动的角速度是 , ( ) 30 π 故 t 秒转过的弧度数为30t. ∴h=5 +4 6 . n 8 ( i s . π π 30t-2),t∈[0,+∞).

到达最高点时,h=1. m 4 0 . 由n ( i s π π π π π 30t-2)=1,得30t-2=2,∴t=30.

∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒.

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1.五点法作函数图像及函数图像变换问题 (1)当 确 函 图 基 特 后 明了数像本征, 像快方.用 的捷式运 “描 法 ”是 函 图 点 作数

“五 法 ”作 、 弦 函 图 时 应 点 正余型数像,

取好五个特殊点,并注意曲线的凹凸方向. (2)在进行三角函数图像变换时,提倡“先 移 后 缩 平 ,伸 但“先 缩 后 移 伸,平 ”也 常 现 题 中 所 也 须 练 经出在目,以必熟 ” ,

掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图像变换要看“变量”起 大 化 而 是 多 变 ,不
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“角”变化多少.
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2.由图像确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图像确定 A、ω、φ的题型,

φ 常常以“五点法”中的第一零点(- ,0)作 突 口 要 图 为 破 ,从 ω
像升情找第零的置要于住殊和殊 的降况准一点位.善抓特量特 点.

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1.方程 n π i s A.5 C.7
答案 C

1 x=4x 的解的个数是 B.6 D.8

(

)

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解析 如 所 , 图 示在 的解有 7 个.

x≥0,有 4 个 点 交,

∴方程 n i π s

1 x=4x

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π 2.若把函数 y=f(x)的图像沿 x 轴向左平移4个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图像上每个点的横坐标伸长到 原来的 2 倍(纵坐标保持不变), 到 数 得函 =f(x)的解析式为 A.y=s n 2 ( i C.y=s n ( i π x-4)+1 1 π 2x+4)-1 B.y=s n 2 ( i D.y=s n ( i π x-2)+1 1 π 2x+2)-1 y=s x 的图像,则 y n i ( )

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答案 B

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解 析

将 y=s x 的 像 每 点 横 标 为 来 一 n i 图上个的坐变原的 ), 到 得 y=s n 2 i y=s n 2 i x 的像再所图向 图,将得像 y=s n 2 i x

半(纵 标 持 变 坐保不 上移 平 1 个 位得 单 ,到

x+1 的 像 再 函 图 ,把 数 y=s n 2 i(

+1 的 像 右 移 图向平

π 个位得 单,到 4 f(x)=s n 2 i(

π x- )+1 的 像 图, 4 π x- )+1, 2

即函 f(x)的 像 所 数 图,以 故 B. 选

π x- )+1=s n 2 i ( 4

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3.函数 y=s x-c x 的图像可由 y=s x+c x 的图像向 n i o s n i o s 右平移 3π A. 2 个单位 π C.4个单位 答案 D B.π 个单位 π D.2个单位
? π? ?x+ ? , 4? ?

(

)

解析 y=s x+c x= 2s n i o s n i y=sinx-c x= 2s o s n i

? π? ?x- ? = 4? ?

2s n i

?? π? π? ?? x- ?+ ?. 2 ? 4? ??

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4.(1 23 0 ·

山西四校联考)如 所 , 图 示点

P 是函数 y=2 n ( i s

ωx

+φ)(x∈R,ω> 图像的最高点,M、N 是 像 0 ) 图与 → PN → 若PM· =0,则 ω 等于

x 轴的交点, ( )

A.8 π C.4
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π B. 8 π D.2
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答案 C

解析 依题意得 PM=PN,PM⊥PN,所以△P N M 直角三角形,又斜边 MN 上的高为 2, 此 因有

是等腰

MN=4,即该函

2π π 数的最小正周期的一半为 4,所以 =8,ω=4,选 C. ω

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5.y=c x 在区间[-π,a]上 增 数 则 o s 为函, ________.
答案 -π<a≤0

a的值围 取范是

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6.数 函

y=s n 2 i

x 的图像向右平移 φ(φ> 个 位得 的 0 单 ,到 图 )

π 像恰好关于直线 x=6对称,则 φ 的最小值是________. 5π 答案 12

解析 y=s n 2 i -φ)=s n 2 ( i

x 的图像向右平移 φ(φ> 个 位 0 单, ) 得

y=s n 2 i(

x

x-2φ). 其 一 对 轴 程 因中条称方为

π π x= ,则 2·-2φ 6 6

π 5π =kπ+ (k∈Z).因为 φ>0,所以 φ 的最小值为 2 12

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7.(1 2 0

3· 高 调 》 创 《 考 研原 题

)一块长方形木料,按图中所

示的余弦线截去一块,则剩余部分的体积是________.

答案 πa(b-c)

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8.(1 22 0·

陕西)函数 f(x)=As n ( i

π ωx-6)+1(A>0,ω> 的最 0 )

π 大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 1 求函数 f(x)的解析式; ( ) π α 2 设 α∈(0, ),f( )=2,求 α 的值. ( ) 2 2

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解析 1 ∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2. ( ) π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周 期 T=π. ∴ω=2,∴f(x)=2 n 2 ( i s π x-6)+1.

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α 2 ∵f( )=2 ( ) n ( i s 2 ∴s n ( i

π α- )+1=2, 6

π 1 α-6)=2.

π π π π ∵0<α<2,∴-6<α-6<3. π π π ∴α- = ,∴α= . 6 6 3

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