当前位置:首页 >> 数学 >> 2014年4月福建省高三质检理科数学试题卷

2014年4月福建省高三质检理科数学试题卷


2014 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解 法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.A; 2.B; 3.A; 4.A;5.A;6.D;7.C;8.D;9.C;10.A. 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11.1+ i ; 12.20; 13.8; 14. n ? 2 ;
n

15.①.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分 13 分. 每个倍角化简给 1 分

x x x 3 1 1 cos ? cos 2 ? m ? sin x ? cos x ? ? m …………2 分 2 2 2 2 2 2 ?? 1 ? ……………………3 分 ? sin ? x ? ? ? ? m . 6? 2 ? 5? ? 5? ? ? 1 因为 f ? x ? 的图象过点( ,0) ,所以 sin ? ? ? ? ? m ? 0, 列式给 1 分,结论 1 分 6 ? 6 6? 2 k ? Z 只要有写就不扣分, 1 全不写扣 1 分) 解得 m ? ? . ………5 分 2 ? ? ? 2? ? ?? ? ? 2k ? ? x ? ? 2k ? , k ? Z . 所以 f ? x ? ? sin ? x ? ? ,由 ? ? 2k ? ? x ? ? ? 2k ? ,得 ? 2 6 2 3 3 6? ? ? ? 2? ? 故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ……………7 分, ? 2k ?, ? 2k ?? , k ? Z . 3 ? 3 ?
解法一: (I) f ? x ? ? 3 sin (Ⅱ)由(I)得, f ? x ? ? 所以 S ?

? ?0 ? ? ?
t

3 1 sin x ? cos x . 2 2 ? 3 1 sin x ? cos x ? ?dx 2 2 ?

……………9 分

??

3 1 cos x ? sin x 2 2

t 0

? ? ? ? 3 1 3 1 3 ? ?? ?? ? cost ? sint ? ? cos 0 ? sin 0 ? sin ? t ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 ? 3? 2 ? ? ? 2 ?
求出原函数得 2 分 (每个 1 分) , 计算 1 分 ……………13 分 定义域没写扣 1 分

……………12 分

所以 S ? t ? ? sin ? t ? 解法二:

? ?

2? ?? 3 (0 ? t ? ). ?? 3 3? 2

5? ?5 ? ,0) ,所以 f ? ? ? ? 0 . 6 ?6 ? 每个倍角化简给 1 3 5 1 5 1 5 5 ?5 ? 2 5 分,后面结论正确给 又 f ? ? ? ? 3 sin sin ? ? cos ? ? ? m ? cos ? ? cos ??m ? 2 6 2 6 2 12 12 12 ?6 ? 1 分。 3 3 1 1 ………………3 分 ? ? ? ?m ? ?m. 4 4 2 2 1 1 所以 ? m ? 0 ,解得 m ? ? . ………………5 分 2 2
(Ⅰ)因为函数 f ? x ? 的图象过点( 以下同解法一. (II)由(I)得 f ? x ? ? sin ? x ? 所以 S ?

? ?

?? ?. 6?
……………9 分

求出原函数得 2 分, 计算 1 分,

x ? ?dx ? sin ? 6? ?
0
t 0

t

?

??

?? ? ? ? cos ? x ? ? 6? ?

3 ? ?? . ? ? cos ? t ? ? ? ? 6? 2 ? ?
2? ?? 3 (0 ? t ? ). ?? 3 6? 2

………………12 分

定义域没写扣 1 分 ………………13 分

所以 S ? t ? ? ? cos ? t ?

17.本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用 用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意可知,该地区吸烟者人数占总人数的 所以抽取的 3 个人中至少 1 人吸烟的概率为

1 . 8

……………..2 分

1 7 p ? 1 ? C30 ( )0 ( )3 ……………..5 分 8 8 169 ? . 512

每项列式正确给 1 分,计算正确 1分 ……………..6 分

1 7 169 1 1 7 2 1 1 3 7 0 另解: P ? C3 ……………..5 分 ( )( ) +C32 ( )2 ( )1 +C3 ( )( ) ? 8 8 8 8 8 8 512
(Ⅱ)由频率分布直方图可知,吸烟者烟草消费支出的平均数为

所列式子为 6 项积的和,对 2 个 得 1 分,计算正确 1 分

0.15 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.3 ? 0.35 ? 0.3 ? 0.45 ? 0.1 ? 0.55 ? 0.1 ? 0.65 ? 0.1 ? 0.36 (万元) .
……………..8 分

又该地区吸烟者人数为 ? 100 万,

1 8

……………..10 分
4

所以该地区年均烟草消费税为 ?100 ?10 ? 0.4 ? 0.36 ? 18000 (万元).……………..12 分

1 8

列式 1 分,计算 1 分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为 18800 万元,它超过了当地烟草消费税, 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用.……………..13 分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思 想.满分 13 分. 解: (I)取 AB 中点 O,连接 OM,OC. ………………………1 分 ∵M 为 A1B1 中点,∴MO∥A1A,又 A1A⊥平面 ABC,∴MO⊥平面 ABC,∴MO⊥AB…………….2 分 ∵△ABC 为正三角形,∴AB⊥CO ………………………………………3 分 又 MO∩CO=O,∴AB⊥平面 OMC 又∵MC ? 平面 OMC ………………………4 分

∴AB⊥MC……………5 分

??? ? ??? ? ???? ? (II) 以 O 为原点, 以 OB ,OC ,OM 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系. 如
图.依题意

O(0,0,0), A(?2,0,0), B(2,0,0), C(0, 2 3,0), M (0,0, 2 6) .
设 P(0, 2 3, t )(0 ? t ? 2 6) ,

…………….6 分

则 MC ? (0, 2 3, ?2 6), AB ? (4,0,0), OP ? (0, 2 3, t ) .………….7 分

???? ?

??? ?

??? ?

???? ? ??? ? ? MC ? OP ? 0, ? 要使直线 MC ? 平面 ABP ,只要 ? ???? …………….8 分 ? ??? ? MC ? AB ? 0. ? ?
即 (2 3)2 ? 2 6t ? 0 ,解得 t ? 6 . ∴ P 的坐标为 (0, 2 3, 6) . ∴当 P 为线段 CC1 的中点时, MC ? 平面 ABP .…………….10 分 另解:先求出平面的法向量,再由 MC 与之共线求出 t 值,相应给分。 答“当 P 的坐标为 (0, 2 3, 6) 时, MC ? 平面 ABP “,也给 分 …………….9 分

???? ?

(Ⅲ)取线段 AC 的中点 D ,则 D(?1, 3,0) ,易知 DB ? 平面 A 1 ACC1 , 故 DB ? (3, ? 3,0) 为平面 PAC 的一个法向量.……….11 分

??? ?

又由(II)知 MC ? (0, 2 3, ?2 6) 为平面 PAB 的一个法向量. 设二面角 B ? AP ? C 的平面角为 ? ,则

???? ?

…………….12 分

???? ? ??? ? MC ?DB 3? 0 ? 3 ? 2 3 ? 0 ? 2 6 3 ?? . cos ? ? ????? ???? ? 6 2 3?6 MC ?DB
3 . 6
…………….13 分

∴二面角 B ? AP ? C 的余弦值为

19.本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) , P ( x p , y p ) , 因为 PQ 垂直 x 轴于点 Q , M 为直线 l 上一点,且 PQ ? 2 MQ , 所以 x p ? x , y p ? 每个 1 分

??? ?

???? ?

2 y ,???????????????????2 分
2 2

因为点 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上,所以 xp ? y p ? 2 即 x2 ? ( 2 y)2 ? 2 , ??????3 分

整理得

x2 ? y 2 ? 1. 2 x2 ? y 2 ? 1.…………….4 分 2
2 2

故曲线 ? 的方程为

(Ⅱ)设三角板的直角顶点放置在圆 O 的圆周上的点 N (a, b) 处,则 a ? b ? 2 , 又设三角板的另一条直角边所在直线为 l ? . (ⅰ)当 a ? 1 时,直线 NF ? x 轴, l ? : y ? ?1 , 显然 l ? 与曲线 ? 有且只有一个公共点. (ⅱ)当 a ? 1 时,则 k NF ? ?????5 分

b . a ?1

若 b ? 0 时,则直线 l ? : x ? ? 2 ,显然 l ? 与曲线有且只有一个公共点;???6 分

1? a , b 1? a 1? a 2?a x? 所以 l ? : y ? b ? ,?????7 分 ? x ? a ? ,即 y ? b b b
若 b ? 0 时,则直线 l ? 的斜率 k ?

? x2 ? y 2 ? 1, ? ? 1 ? 1 ? a ?2 ? 2 2 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ?? 2 ? a ? 2 ? ? 2 ? x ? ?? 由? 得? ?? ? ?x ? ? ? 1? ? 0 , 2 2 b b b 1 ? a 2 ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ?y ? ? ? ? x? , ? ? b b ?
2 2 2 2 2 即 ?b ? 2 ?1 ? a ? ? x ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? x ? 2 ?? 2 ? a ? ? b ? ? 0 . (*)

?

?

?

?

又b ? 2?a ,
2 2

?????8 分
2 2

2 所以方程(*)可化为 ? a ? 2 ? x ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? x ? 4 ? a ? 1? ? 0 ,

所以 ? ? ? ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? ? ? 16 ? a ? 2 ?
2

2

? a ? 1?

2

? 0,

?????9 分

所以直线 l ? 与曲线 ? 有且只有一个公共点. 综上述,该同学的结论正确。 (Ⅲ)当 OT ? 当 OT ? 当 OT ?

?????10 分

2 时,直线 m 与椭圆 ? 没有公共点;?????11 分 2 时,直线 m 与椭圆 ? 有且只有一个公共点;?????12 分 2 时,直线 m 与椭圆 ? 有两个公共点.
………….13 分

20.本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识 等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)函数 f ?x ? 的定义域为 (0, ??) ,且 f ( x) ?
/

1 a x?a ? ? 2 .?????1 分 x x2 x

当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0 ,所以 f ?x ? 在区间 (0, ??) 内单调递增;???????2 分 当 a ? 0 时,由 f / ( x) ? 0 ,解得 x ? a ;由 f / ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? a . 所以 f ?x ? 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) .????????3 分 综上述: a ? 0 时, f ?x ? 的单调递增区间是 (0, ??) ;

a ? 0 时, f ?x ? 的单调递减区间是 (0, a ) ,单调递增区间是 (a, ??) .???????4 分
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ?x ? 无最小值,不合题意;???????????5 分 当 a ? 0 时, [ f ( x)]min ? f (a) ? 1 ? a ? ln a ? 0. ?????????6 分 令 g ( x) ? 1 ? x ? ln x( x ? 0) ,则 g ( x) ? ?1 ?
/

1 1? x ? , x x

“直接依题意,a ? 0 ” ,即可给分

/ / 由 g ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 g ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

所以 g ? x ? 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . 故 [ g ( x)]max ? g (1) ? 0 ,即当且仅当 x=1 时, g ? x ? =0. 直接得 a ? 1 ,没有过程,扣 1 分

因此, a ? 1 .???????????????8 分 (ⅱ)因为 f ( x) ? ln x ? 1 ? 由 a1 ? 1, 得 a2 ? 2, 于是 a3 ?

1 1 ,所以 an ?1 ? f (an ) ? 2 ? 1 ? ? ln an . x an

3 ? ln 2 .????9 分 或得 ? a3 ? ? 2 ,同样得 1 分 2 1 5 因为 ? ln 2 ? 1 ,所以 2 ? a3 ? . 2 2 5 猜想当 n ? 3 , n ? N 时, 2 ? an ? .??????????????10 分 2
下面用数学归纳法进行证明.

3 5 ? ln 2 ,故 2 ? a3 ? 成立.????????????11 分 2 2 5 ②假设当 n=k( k ? 3 , k ? N )时,不等式 2 ? ak ? 成立. 2
①当 n ? 3 时, a3 ? 则当 n=k+1 时, ak ?1 ?? 1 ?

1 ? ln ak , ak
1 ? 5? ? ln x 在区间 ? 2, ? 单调递增, x ? 2? 1 ? ln 2 ? 2 , 2

由(Ⅰ)知函数 h( x) ? f ? x ? ? 2 ? 1 ?

所以 h(2) ? h( ak ) ? h( ) ,又因为 h(2) ? 1 ?

5 2

5 2 5 2 5 h( ) ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? 1 ? .??????????12 分 2 5 2 5 2 5 故 2 ? ak ?1 ? 成立,即当 n=k+1 时,不等式成立. 2 5 根据①②可知,当 n ? 3 , n ? N 时,不等式 2 ? an ? 成立.??????????13 分 2
因此, Sn ? [a1 ] ? [a2 ] ? ? ? [an ] = 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. ?????????????14 分 21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分. (Ⅰ)解法一:解:在直线 l : x ? y ? 1 上任取两点(1,0)和(0,1) ,

由?

? ?1 a ?? 1 ? ? -1? ?? ? ? ? ? ………….1 分 ? b 3 ?? 0 ? ? b ?

和?

? ?1 a ?? 0 ? ? a ? ………….2 分 ?? ? ? ? ? ? b 3 ?? 1 ? ? 3 ? ,

知点 (?1, b) 和点 ( a, 3) 均在直线 x ? y ? 1 上,

所以 ?

??1 ? b ? 1, ………….3 分 ?a ? 3 ? 1,

解得 ?

? ?1 - 2? ?a ? -2, 所以矩阵 M ? ? ?2 3? ? . ?b ? 2. ? ? ? ?1 -2 ??1? ? -3 ? ?1? ? ? 1 - 2 ?? 1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?, ? 2 3 ??1? ? 5 ? ?1? , ? 2 3 ?? - 1? ? - 1?

经检验,所求矩阵 M 符合要求.………….4 分 (Ⅱ)因为 ? 另解:求特征值给 1 分,特征向量给 1 分, 结论 1 分

所以 e1 不是 M 的特征向量, e2 是 M 的特征向量.

………….7 分

解法二: (Ⅰ)设 P( x, y) 为直线 x ? y ? 1 上任意一点,其在 M 的作用下变为 Q ( x ?, y ?) .

则?

? ?1 a ?? x ? ? - x ? ay ? ? x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?, ………….1 分 ? b 3 ?? y ? ? bx ? 3 y ? ? y? ?

? x? ? - x ? ay, ………….2 分 所以 ? ? y? ? bx ? 3 y.
依题意,点 Q 在直线 x ? y ? 3 上,所以 ? x ? ay ? bx ? 3 y ? 1 , 即 (b ? 1) x ? (a ? 3) y ? 3 .………….3 分 依题意,直线 (b ? 1) x ? (a ? 3) y ? 1 与直线 x ? y ? 1 重合,

所以 ?

? ?1 - 2? ?b ? 1 ? 1, ?a ? ?2, 解得 ? 故矩阵 M ? ? ?2 3? ?. ?a ? 3 ? 1, ?b ? 2, ? ?

………….4 分

(Ⅱ)同解法一 ………….7 分 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 7 分. 未写成标准参数方程也同样给 分 ………….2 分

? 3 x? t, ? ? 2 解: (Ⅰ)依题意知,直线的参数方程为 ? ? t为参数? . ? y ? 1? 1 t ? ? 2
由 ? 2 ? 4? sin ? ? 1 ,得 x ? y ? 4 y ? 1 ,………….3 分
2 2
2 所以圆 C 的标准方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 5 . 2

………….4 分

? 3 2 2 x? t, ? ? 3 ? ?1 2 ? ? 2 2 (Ⅱ) 设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 , 将? 代入 x ? ? y ? 2 ? ? 5 , 得? t ? 1? ? 5 , ? 2 t? ? ?? ? ? ? ?2 ? y ? 1? 1 t ? ? 2 另解:圆心到直线的距离得 1 2 即 t ? t ? 4 ? 0 ,所以 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?4 ,………….6 分
所以 t1 ? t2 ? 17 , 由参数 t 的几何意义知 AB ? t1 ? t2 ? 17 . (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查平均值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)因为 a, b, c ? R ? ,所以 2 ? a ? b ? c ? 33 abc ,………….2 分 ………….7 分 分,利用勾股定理得到等式给 1 分,结论 1 分。

8 .………….3 分 27 2 8 当且仅当 a ? b ? c ? 时等号成立,所以 abc 的最大值为 . 3 27
故 abc ? (Ⅱ)证明:因为 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 2 ,所以根据柯西不等式, 可得

………….4 分

1 1 1 1 1 1 1 ? ? = ? a ? b ? c ? ( ? ? ) ………….5 分 a b c 2 a b c
= [( a )2 ? ( b )2 ? ( c )2 ] ? [(

1 2

1 2 1 1 ) ? ( )2 ? ( )2 ] a b c

另解:展开利用三个均值不等式, 同样给分。

?

9 1 1 1 1 ( a? ? b? ? c ? )2 = . 2 2 a b c
1 1 1 9 ? ? ? . a b c 2
………….7 分

所以


更多相关文档:

2017年4月福建省高三质检理科数学试卷

2017年4月福建省高三质检理科数学试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1...

福建省2016年4月高中毕业班质量检查数学理word版

福建省2016年4月高中毕业班质量检查数学理word版_高三数学_数学_高中教育_教育...第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作 答,...

福建省2014年4月高三质检理科数学试题

福建省2014年4月高三质检理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。福建省 2014 年 4 月高三质检理科数学试题 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 ...

2014福建省质检数学(理科扫描版带答案)

2014福建省质检数学(理科扫描版带答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014年4月8日,福建省质检,理科试卷,扫描版,带答案今日推荐 78...

2016年4月福建省普通高中毕业班质量检查理科数学

2016年4月福建省普通高中毕业班质量检查理科数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016年4月9日质检理科数学含答案 准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 机密★...

2014福建省高三文科数学4月质检及答案

2014福建省高三文科数学4月质检及答案_数学_高中教育_教育专区。2014福建省高三文科数学4月质检及答案今日推荐 180份文档 2014证券从业资格考试 ...

2016年福建省4月高中毕业班质检文科数学word版

2016年福建省4月高中毕业班质检文科数学word版_高三数学_数学_高中教育_教育专区...(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页; 2.答题前,...

福建省普通高中毕业班2014届高三4月质量检查数学(理)试题

福建省普通高中毕业班2014届高三4月质量检查数学(理)试题_高中教育_教育专区。2014 年福建省普通高中毕业班质量检查 理符合题目要求的. 1.下列函数中,值域为 (0...

2014年福建省质检数学理科试题及答案

2014年福建省质检数学理科试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2014年福建省质检数学理科试题及答案今日推荐 146份文档 2015上半年教师资格证考试 ...

福建省2016届高中毕业班4月质量检查考试数学(理)试卷(...

福建省2016届高中毕业班4月质量检查考试数学(理)试卷(扫描版)含答案_高考_高中教育_教育专区。福建省2016届高中毕业班4月质量检查考试数学(理)试卷(扫描版)含...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com