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专题复习--极坐标与参数方程


本课的重点:(1)参数方程与 普通方程的互化;一般要求是把参数 方程化为普通方程;较高要求是利用 设参求曲线的轨迹方程或研究某些最 值问题;(2)极坐标与直角坐标的 互化。

重点方法:<1>消参的种种方法; <2>极坐标方程化为直角坐标方程的 方法;<3>设参的方法。

坐标系与参数方程在高考中根据

我省的情况是 选考内容,是7分的解答题之一,与不等式选讲和 矩阵与变换等三个选修模块进行三选二解答,知识 相对比较独立,与其他章节联系不大,容易拿分。 根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系,坐标 系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和 线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有 些问题用极坐标系解答比较简单,而有些问题如果 我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答,计 算简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方 程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方 程间的相互转化,并用极坐标方程、参数方程研究 有关的距离问题,交点问题和位置关系的判定。

过定点 M 0 ( x0 , y 0 ) 、倾斜角为 ? 的直线 l 的参 1、

? x ? x 0 ? t cos? 数方程为 ? ,(t 为参数) ? y ? y 0 ? t sin ?
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其 中t表示直线l上以定点M0为起点,任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时, t>0;当点M在点M0的下方时,t<0;当点M与点M0重合 时,t=0。很明显,我们也可以参数t理解为以M0为原点, 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标,其长度 单位与原直角坐标系的长度单位相同。 用坐标的观点理解上述直线参数方程中的参数t, 在解决有关直线问题时,可以自然地将新旧知识联系起 来。

说明: 参数 t 的有关性质 一、
对于上述直线 l 的参数方程,设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB,则 1.A、B 两点之间的距离为 | AB |?| t A ? t B | , 特别地,A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。

t A ? tB 2.A、B 两点的中点所对应的参数为 , 2
若点 M0 是线段 AB 的中点,则 tA+tB=0,反之亦然。

2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:

? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ?

3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程: ? x ? a ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? b ? r sin ? 其中参数的几何意义为: θ为圆心角

x2 y 2 4.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为: a b

? x ? a cos ? (? 为参数) ? ? y ? b sin ?

考点一:参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 的互化

4 ? x ? 1? t ? ? 5 1. 求 直 线 ? ( t为参数 ) 被 曲 线 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长.
4

?

考点二:了解参数方程和参数的意义.
? x ? 1 ? cos? 2.设方程 ? , 为参数).表示的曲 (θ ? y ? 3 ? sin ?
线为 C, (1)求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小 值 (2)点 P 为曲线 C 上的动点,当|OP|最小时(O 为坐标原点),求点 P 的坐标。

考点三:能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程及极坐标方程
3. 已 知 椭 圆
2

C

的 极 坐 标 方 程 为

12 ? ? ,点 F1、F2 为其左,右焦 2 2 3 cos ? ? 4 sin ?
? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (t 为参数,t 点,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 t ? 2 ?
∈R). (Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.

考点四:能给出简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程
4 设点 P 在曲线 ? sin ? ? 2 上,点 Q 在曲线 ? ? ?2cos? 上,求 | PQ | 的最小值.
【解析】以极点为原点,极轴所在直线为 x 轴建 立 直 角 坐 标 系 . 将 曲 线 ? sin ? ? 2 2 与 曲 线

? ? ?2cos? 分别化为直角坐标方程,得直线方程
( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 .所以圆心(-1,0) y ? 2 ,圆方程
到直线距离为 2,|PQ|的最小值为 2-1=1

1.直接求解
例 1.在极坐标系中,过圆 ? =6cos ? 的圆心,且垂 直于极轴的直线的极坐标方程

分析:把极坐标方程化为普通方程求出直线, 再得到极坐标方程。

例 2. (08 广东卷理 13)已知曲线 C1,C2 的极坐标 方 程 分 别 为

? cos ? ? 3



π? ? ? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? ? ,求曲线 C1 与 C2 0 2? ?
交点的极坐标

2.由极坐标求最值

例3.(2009大丰市)已知A是曲线 ρ=3cosθ上任意一点,求点A到直线 ρcosθ=1距离的最大值和最小值。 分析:可以把极坐标方程转化为普通方程, 再结合图形解答问题。 评注:将极坐标方程转化为普通方程是解决两 曲线位置关系的重要方法。

例 4. (2008 盐城市)在极坐标系中,设圆 ? ? 3 上的 点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 2 的距离为 d ,求 d 的 最大值.

?

?

分析:已知圆为极坐标方程,可以转化为普通 方程,然后改写为参数式即可表示出圆上任意 一点的坐标,并把直线的极坐标方程转化为普 通方程,圆上的点的坐标可以表示出来,由点 到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆 心到直线的距离利用数形结合的思想解答。

3.极坐标方程研究两曲线的位置关系
? x ? 1 ? 2t , 例 5. 江苏省南通市 2008-2009) ( 求直线 ? (t ? y ? 1 ? 2t ? x ? 3cos ? , 为参数)被圆 ? (α 为参数)截得的弦长. ? y ? 3sin ?

分析:把参数方程转化为普通方程来判断位 置关系,利用圆心距与半径求出弦长。

4.两曲线的位置关系
? x ? cos ?, 例 6. (08 海南、宁夏理)已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) , ? y ? sin ?
? 2 t ? 2, ?x ? ? 2 曲线 C2: ? (t 为参数) . ?y ? 2 ? ? 2
(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲 线 C1?,C2? .写出 C1?,C2? 的参数方程. C1? 与 C2? 公共点的个数和 C 1 与C 2 公共点的个数是否相同?说明你的理由.

7 例 2.(2007 年广东省深圳市)若直线 y ? x ? b 与

? x ? cos? ? ? 曲线 ? (? 为参数,且 ? ? ? ? ) 有两个 2 2 ? y ? sin ?
不同的交点,则实数 b 的取值范围是__________.

例 8. (2007 年广东,理 13)在平面直角坐标系 xOy

?x=t+3 中,直线 L 的参数方程为 ? , (参数 t ? R ) , ? y=3-t ?x=2cos? 圆 C 的 参 数 方 程 为 ? ( 参 数 ? y=2sin?+2

? ? ?0, ? ?) 2 ,则圆C的圆心坐标为
到直线 L 的距离为 。

,圆心

例 9. (2008 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点

x 2 ? y ?1 上 的 一 个 动 点 , 求 P(x,y ) 是 椭 圆 3
S ? x ? y 的最大值.

2

5.极坐标方程与参数方程混合
例 10. (2008 南通四县市) 已知曲线 C 的极坐标方程 是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极 轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的

? 2 t ?1 ?x ? ? 2 参数方程是:? ,求直线 l 与曲线 C 相交 ? y? 2t ? ? 2
所成的弦的弦长.

例 11. (2008 宁夏银川一中)已知椭圆 C 的极坐标方

12 程为 ? ? ,点 F1、F2 为其左, 2 2 3 cos ? ? 4 sin ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (t 为参 右焦点,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 t ? 2 ?
数,t∈R). (Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; F1、F2 到直线 l 的距离之和. (Ⅱ)求点

例 12. (淮安、 徐州、 宿迁、 连云港四市 2008—2009) 已知在直角坐标系 x0y 内,直线 l 的参数方程为

? x ? 2 ? 2t , (t 为参数). Ox 为极轴建立极坐标系, 以 ? ? y ? 1 ? 4t ,
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

).

(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

五、考点预测
1. (江苏省启东中学 2009)在极坐标系中,从极点 O 作直线与另一直线 l : ? cos ? ? 4 相交于点 M, OM 在 上取一点 P,使 OM ? OP ? 12 . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上任意一点, 试求 RP 的最小值

2.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线
1 ? ?x ? t ? t , ? B 求线段 AB 的 (t为参数) 相交于 A、 两点. ? ?y ? t ? 1 ? t ?

长.

? x ? 1 ? 4t 3. (2008 年广东实验中学) 求直线 ? ? y ? ?1 ? 3t
( t为参数 ) 被曲线 ? ?

2 cos( ? ?

?
4

) 所截的弦长

4.已知圆的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,求该圆的圆 心到直线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 的距离

5(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研) 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程; (2) l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B , 设 求点 P
2 2

?
6



到 A, B 两点的距离之积.

6(盐城市 2007/2008 学年度高三第三次调研考试) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴 与 x 轴的正半轴重合.直线 l 的参数方程为

? x ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线 l 的倾斜角),圆 C ? ? y ? t sin ?
的极坐标方程为 ? ? 8? cos ? ? 12 ? 0 .
2

(Ⅰ)若直线 l 与圆 C 相切,求 ? 的值; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 有公共点,求 ? 的范围


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