当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案


2011 年全国高中数学联赛四川省预赛


一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、双曲线
x a
2 2



?

y b

2 2

? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F 1 、 F

2 分别为双

曲线的左、右焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( A、
6 2

) . D、 2 3

B、 3

C、

3 2

3

2、已知三次函数 f ( x ) ? ax

3

? bx

2

? cx ? d , ( a , b , c , d ? R ),

命题 p : y ? f ( x ) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y ? f ( x ) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ). B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分但不必要条件 C、充要条件

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪 刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ? ,则随机变量
? 的数学期望 E ? 的值为(

). C、
2 3
24 ? 3 x 的最大值为(

A、

1 3

B、

4 9

D、1 ). D、 3 3
F N A M D C B E

4、函数 f ( x ) ? A、 3

x ? 5 ?

B、3

C、 2 3

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60° 角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ,则线段 MN 的 长的取值范围是( ). A、 [ , 2 ]
2 1

B、 [1, 2 ]

C、 [ 2 , 2 ]

D、 [ 3 , 2 ]

6 、 设 数 列 { a n } 为 等 差 数 列 , 数 列 {b n } 满 足 : b1 ? a 1 , b 2 ? a 2 ? a 3 ,
bn n
3

b 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ,?,若 lim

n? ?

? 2 ,则数列 { a n } 的公差 d 为(

).

A、

1 2

B、1

C、2

D、4
1

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、已知实数 x 满足 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 | ? 6 ,则 x 的取值范围是 .

8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b | ? 1 ,则使得向量 a ? m b 与
a ? (1 ? m ) b 互相垂直的所有实数 m 之和为

. .

9、记实数等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 10 ? 10 , S 30 ? 70 ,则 S 40 ?

10、设 x 为实数,定义 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 , ? ? ? ? ? ? 3 .关于 实数 x 的方程 ?3 x ? 1 ? ? 2 x ? 11、已知 (1 ?
n

1 2

的全部实根之和等于


an bn

3)

? a n ? bn

3 ,其中 a n , b n 为整数,则 lim

n ? ??

?



12、 已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, SA=SB=SC=AB=2, 且 设 S、 B、 四点均在以 O 为球心的某个球面上, A、 C 则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 三、解答题(每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m ? 0 ,若函数 f ( x ) ? x ? 14、已知函数 f ( x ) ? 2 (sin 求实数 m 的值. 15、抛物线 y ? x 与过点 P ( ? 1, ? 1) 的直线 l 交于 P1 、 P 2 两点.
2

100 ? mx 的最大值为 g ( m ) ,求 g ( m ) 的最小值.
4

4

x ? cos

x ) ? m (sin x ? cos x ) 在 x ? [ 0 ,
4

?
2

] 有最大值 5,

(I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 P1 P2 上满足条件
1 P P1 ? 1 P P2 ? 2 PQ

的点 Q 的轨迹方程.
9 8 4 3

16、已知 m 为实数,数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n ?
an ? 64 3
n

an ?

?3

n

? m ,且

对任何的正整数 n 恒成立.
3
k

求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 ?
k ?1

?

3 16



Sk


1、B. 提示:由题意得 2 c ? 3 ? 2、A.
2a c
2


3 .

,解得 e ?

2

3、C. 是 E? ?
4 9

提示: P ( ? ? 0 ) ?
?0 ? 4 9 ?1? 1 9
f (x)

3? 4 27

?

4 9

, P (? ? 1) ?

3? 4 27

?

4 9

, P (? ? 2 ) ?

3?1 27

?

1 9

,于

?2 ?

2 3

.

4、C. 解法一

的定义域为 5 ? x ? 8 ,由
1 2 x ?5 ?3 2
23 4

f ?( x ) ?
23 4

?

24 ? 3 x

? 2

24 ? 3 x ? 3 x ?5 ?

x ?5

24 ? 3 x

? 0,

解得 x ?

.因为 f ( 5 ) ? 3 , f (

) ? 2

3 , f (8 ) ?

3 ,于是

f ( x ) max ? f (

23 4

) ? 2

3 .

解法二

f (x)

的定义域为 5 ? x ? 8 ,
( x ) ? (1 ? x ? 5 ? 3 ? 8 ? x)
2

f

2

? (1 ? 3 )( x ? 5 ? 8 ? x ) ? 12



当且仅当

x ?5 1

?

8? x 3

,即 x ?

23 4

时,

f (x)

取到最大值 2 3 .
AM AC AH AB
A M D C

5、B.

提示:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则
FN FB ? AH AB

?



F N H

E

又 AM=FN, AC=FB, ∴

, ∴NH//AF, ∴NH⊥AB, MH⊥AB,

B

∴∠MHN=60° . 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH ? 2 ? x ,所以
MN ? x ? (2 ? x ) ? 2 x (2 ? x ) cos 60 ? ?
2 2

3x ? 6x ? 4 ?
2

3 ( x ? 1)

2

?1.

因此 1 ? MN ? 2 . 6、D. 提示:
b n ? a n ( n ?1 )
2 ?1

? a n ( n ?1)
2

?2

? ? ? a n ( n ?1 )
2

?n

?

n 2

[ a n ( n ?1)
2

?1

? a n ( n ?1)
2

]
?n

? ?

n 2 n 2

[a1 ?

n ( n ? 1) 2
2

d ? a1 ? (

n ( n ? 1) 2

? n ? 1) d ]

(2 a1 ? d ? n d )

于是
lim bn n
3

n? ?

? lim

1 2

n? ?

(

2 a1 ? d n
2

? d) ?

d 2

? 2 ,

解得 d ? 4 .

3

7、 [ ?

1 2

,

5 2

] . 提示:因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |? | ( 2 x ? 1 ) ? ( 5 ? 2 x ) | ? 6 ,等号成立当
1 2 ? x ? 5 2

且仅当 ( 2 x ? 1 )( 2 x ? 5 ) ? 0 ,即 ? 8、1. 提示:由于

0 ? ( a ? m b ) ? [ a ? (1 ? m ) b ] = a

2

? a ? b ? m (1 ? m ) b

2

?| a |

2

? m (1 ? m ) ,

即 m 2 ? m ? | a | 2 =0,所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1. 9、150. 提示:记 b 1 ? S 10 , b 2 ? S 20 ? S 10 , b 3 ? S 30 ? S 20 , b 4 ? S 40 ? S 30 . 设 q 为 { a n } 的公比,则 b1 , b 2 , b 3 , b 4 构成以 r ? q 10 为公比的等比数列,于是
70 ? S 30 ? b1 ? b 2 ? b 3 ? b1 (1 ? r ? r ) ? 10 (1 ? r ? r )
2 2 2 3 2 即 r ? r ? 6 ? 0 ,解得 r ? 2 或 r ? ? 3 (舍去) ,故 S 40 ? 10 (1 ? r ? r ? r ) ? 150 .

10、-4. 提示:设 2 x ?

1 2

? k ? Z ,则 x ?

2k ? 1 4

,3 x ? 1 ? k ? 1 ?

2k ? 3 4

,于是原方

程等价于 ?

2k ? 3 ? 2k ? 3 ? ? ? 1 ,即 ? 2 ? ? ?1 , ? 4 4 ? ? 11 2 ? k ? ? 9 4 ,? 7 2 7 4

从而 ?

,即 k ? ? 5 或 ? 4 . .于是所有实根之和为 ? 4 .
3)
1 2 3
n

相应的 x 为 ? 11 、
an ? 1 2

3 . 提 示 : 由 条 件 (1 ?

? a n ? bn

3 知 (1 ?

3)

n

? a n ? bn

3 ,于是

[( 1 ?

3)

n

? (1 ?

3 ) ], b n ?
n

[( 1 ?

3)

n

? (1 ?

3 ) ] ,故
n

n ? ??

lim

an bn

? lim

n ? ??

3?

(1 ? (1 ?
3 3 3 3 )
n

3) 3)

n

? (1 ? ? (1 ?

3) 3)

n

n

n

1? ( ? lim
n ? ??

1? 1? 1? 1?

)

n

3 ? 1? (

?

3 .

12、

3 3

.

提示:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射

S

影是△ABC 的外心,即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是 △ABC 的外心 H,即在等边△SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS.

O A H C B

4

显然, OH ?

1 3

SH ?

1 3

? 2?

3 2

?

3 3
2



13、令 t ?

100 ? mx ,则 x ?

100 ? t m

,所以

y ?

100 ? t m

2

? t ? ?

1 m

(t ?

m 2

)

2

?

100 m

?

m 4

.

∴当 t ?

m 2

时, y 有最大值

100 m

?

m 4

,即 g ( m ) ?
m 4 100 m

100 m

?

m 4

.所以

g (m ) ?

100 m

?

? 2

?

m 4

? 10 ,

等号当且仅当 m ? 20 时成立,∴当 m ? 20 时, g ( m ) 有最小值 10. 14、 f ( x ) ? 2 (sin
2

x ? cos

2

x)

2

? 4 sin
2

2

x cos

2

x ? m (sin x ? cos x )
4

4

? 2 ? ( 2 sin x cos x )

? m (sin x ? cos x )

令 t ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ? [1,
2

2 ] ,则 2 sin x cos x ? t
4

2

? 1 ,从而

f ( x ) ? 2 ? (t
2

2

? 1)

? mt

? ( m ? 1) t

4

? 2t

2

?1

令 u ? t ? [1 , 2 ] ,由题意知 g ( u ) ? ( m ? 1 ) u ? 2 u ? 1 在 u ? [1, 2 ] 有最大值 5.
2

当 m ? 1 ? 0 时, g ( u ) ? 2 u ? 1 在 u ? 2 时有最大值 5,故 m ? 1 符合条件; 当 m ? 1 ? 0 时, g ( u ) max ? g ( 2 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,矛盾! 当 m ? 1 ? 0 时, g ( u ) ? 2 u ? 1 ? 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m ? 1 . 15、 (I)直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,与抛物线方程 y ? x 联立
2

?y ? x 2 2 得 ? , 消 去 y 得 x ? k ( x ? 1) ? 1 , 即 x ? k x ? ( k ? 1) ? 0 , 由 ? y ? 1 ? k ( x ? 1)
2

? ? ( ? k ) ? 4 ( k ? 1) ? 0 ,解得 k ? ? 2 ? 2
2

2 或k ? ?2 ? 2

2 .

(II) Q 点坐标为 ( x , y ) ,P1 点坐标为 ( x 1 , y 1 ) ,P 2 点坐标为 ( x 2 , y 2 ) , x 1 ? x 2 ? k , 设 则
x 1 ? x 2 ? ? ( k ? 1) .

5

又 P1 、 P 2 、 Q 都 在 直 线 l 上 , 所 以 有 y ? 1 ? k ( x ? 1 ), y 1 ? 1 ? k ( x 1 ? 1) ,
y 2 ? 1 ? k ( x 2 ? 1) ,由

1 P P1
1

?

1 P P2

?

2 PQ



?
2 2

1 ( x 2 ? 1) ? ( y 2 ? 1)
2

?
2

2 ( x ? 1) ? ( y ? 1)
2



( x 1 ? 1) ? ( y 1 ? 1)
2

化简得
1 | x1 ? 1 | ? 1 | x2 ? 1 | ? 2 | x ?1|

又因此
( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? x 1 x 2 ? x 1 ? x 2 ? 1 ? ? ( k ? 1) ? k ? 1 ? 2 ? 0 ,

点 Q 在线段 P1 P2 上,所以 x 1 ? 1, x 2 ? 1, x ? 1 同号.则
1 x1 ? 1 ? 1 x2 ? 1 ? 2 x ?1

.

因此
x ? 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 x1 ? x 2 ? 2 ?1 ? 2? k k ? 2


3k ? 2 k ? 2



y ? k ( x ? 1) ? 1 ? k ? (

2?k k ? 2

? 1) ? 1 ?





由①得 k ?

2 ? 2x x ?1

3

2 ? 2x x ?1 2 ? 2x x ?1

?2 ? 1 ? 2 x ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 . ? 2
2 , 所 以 x ?

代入②得 y ?

2 又因为 k ? ? ? 2 ?1 ? x ? 2

?2

2或 k ? ? 2 ? 2

4 k ? 2

?1 的 取 值 范 围 是

?且 x ? ? 1 , 因 此 点 Q 1

的 轨 迹 方 程 是 2x ? y ?1 ? 0

(? 2 ?1 ? x ?

2 ? 1 且 x ? ?1 ) .

16、当 n ? 1 时,由 a 1 ? 当 n ? 1 时,

9 8

a1 ? 4 ? m 得 a1 ? 8(4 ? m ) .

Sn ? S n ?1 ?

9 8 9 8

an ? a n ?1 ?

4 3 4 3

?3

n

? m ,
n ?1

?3

? m ,

所以

6

a n ?1 ?

9 8

a n ?1 ?

9 8

an ?

8 3

?3 ,
n


a n ?1 ? 9 a n ? 64 3 ?3 ,
n

所以
a n ?1 ? 32 9 32 9 ?3
n

?3

n ?1

? 9(a n ? ? (a1 ?

32 9 32 3

?3 ),
n

an ?

)?9

n ?1



即an ?

8 27

(16 ? 3 m ) ? 9 8 27

n

?

32 9

?3
n

n

.
32 9 ?3
n

由条件知,

(16 ? 3 m ) ? 9 8 27

?

?

64 3 64 3 ?

对任何正整数 n 恒成立,即
1 9
n

(16 ? 3 m ) ?

?

32 9

?

1 3
n

对任何正整数 n 恒成立, 由于 于是
64 3 8 27 ? 1 9
n

?

32 9

?

1 3
n

在 n ? 1 时取最大值 ,解得 m ?
4 3 4 3

64 3

?

1 9

?

32 9

?

1 3

?

96 27

.

(16 ? 3 m ) ?

96 27



由上式知道 m 的最大值为 当m ? 于是 S n ?
4 3


? ?2 9 ?3 ,
n

时, a n ?

32 9

?9

n

9 32 32 4 4 n n n ( ?9 ? ?3 )? ?3 ? 8 9 9 3 3
? ? 4 3 4 3 (3
n ?1

[ 3 ? ( 3 ) ? 4 ? 3 ? 1]
n 2 n

? 1) ( 3 ? 1)
n

所以
n

?
k ?1

3

k

?

3 4

n

Sk
n

?
k ?1

3 (3
k ?1

k k

? 1 )( 3
1

? 1)

?

? 8
3 (

3

( 3

1
k

k ?1

?1

? 3

k ?1

?1

)

? ?

1

8 3?1 3 8 ? 1 2 ?

? 3 3 16

1
n ?1

?1

)

7


更多相关文档:

2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案

2011 年全国高中数学联赛 四川初赛试题详细解答一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、双曲线 x2 y2 ? = 1 的左、右准线 l1、...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛四川省预赛 2011 年全国高中数学联赛四川省预赛由四川省数学会普及...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案最新

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案最新_高二数学_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 81份文档 笑话大全集 笑话大全爆笑版 幽默笑话大全 全球冷笑话精选80...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案(1)

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案(1)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛四川省预赛 2011 年全国高中数学联赛四川省预赛由四川省数学会...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案 隐藏>> 2011 年全国高中数学联赛四川省预赛 试一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、双曲线 x a 2 2 题 ...

四川省2011年全国高中数学联赛预赛试题

2011 年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案 分享到: X 分享到: 使用一键分享,轻松赚取财富值, 了解详情 嵌入播放器: 普通尺寸(450*500pix) 较大尺寸(...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

四川 高中数学联赛 预赛试题及答案四川 高中数学联赛 预赛试题及答案隐藏>> 2011 年全国高中数学联赛四川省预赛 试一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 选择题...

2013年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案

2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)及参考答案(5 月 19 日下午 14:30——16:30)题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案 选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。...
更多相关标签:
2016高中数学联赛预赛 | sm超级明星联赛预选赛 | 黄金联赛预选赛 | 欧洲冠军联赛预选赛 | 深渊联赛中国区预选赛 | 全国高中数学联赛预赛 | 2011年亚洲杯预选赛 | 2011亚洲杯预选赛 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com