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【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分


必考问题7 等差数列、等比 数列

抓 住 命 题 方 向

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【真题体验】

1.(2012·苏州期中)在等差数列{an}中,a5 =

3,a6 =-2,则
a3+a4+?+a8=________. 解析 根据等差数列性质计算.因为{an}是等差数列,所 以a3+a4+?+a8=3(a5+a6)=3. 答案 3

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2.(2012·苏锡常镇调研)在等差数列{an}中,已知a8≥15, a9≤13,则a12的取值范围是________. 解析 因为a8 =a1 +7d≥15,a9 =a1 +8d≤13,所以a12 (-∞,7]

=a1+11d=-3(a1+7d)+4(a1+8d)≤7.
答案

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3.(2012· 南 通 调 研 )已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+ 3n,则数列{an}的通项公式为________.

解析

根据通项公式an 与Sn 的关系求解.当n=1时,a1 =

S1=-2+3=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n)- [-2(n-1)2 +3(n-1)]=5-4n,n=1适合,所以数列{an} 的通项公式是an=5-4n. 答案 an=5-4n

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4.(2012·南京、盐城模拟)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n ∈N*) , 若 am - 1am + 1 - 2am = 0 , 且 T2m - 1 = 128 , 则 m =

______.
解析 由题意求出am,再利用等比数列的性质即可求 解.由题意可得a
2 m

-2am=0,am≠0,解得am=2.又T2m-1=

a1a2?a2m-2a2m-1=a2m-1=22m-1=128,解得m=4. m 答案 4

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5.(2011· 江 苏 , 13)设1=a1≤a2≤?≤a7,其中a1,a3,a5,
a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数 列,则q的最小值是________.
解析 由题意知 a3=q,a5=q2,a7=q3 且 q≥1,a4=a2+1,
2 3

a6=a2+2 且 a2≥1,那么有 q ≥2 且 q ≥3.故 q≥ 3,即 q 的最小值为 3. 答案 3 3 3

3

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【高考定位】

高考对本内容的考查主要有:
(1)数列的概念是A级要求,了解数列、数列的项、通项公 式、前n项和等概念,一般不会单独考查; (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列,要求都 是C级,熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前 n项求和公式、性质等知识,理解其推导过程,并且能够灵活 应用.

试题类型可能是填空题,以考查单一性知识为主,同时在
解答题中经常与不等式综合考查,构成压轴题.
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【应对策略】

认识数列在高考中的重要地位,对等差数列、等比数列
从概念、公式、性质、推导等几个方面理解和掌握,并且能够 将基础知识迁移到数列综合题中,在题中设计几个小题时,要 充分认识各个小题的设计,实质就是解题路标,要尽可能应用 前面小题的结论在后面问题中的应用,尤其前面小题是证明题

时,更加如此.

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必 备 知 识 方 法

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必备知识 1.等差、等比数列的通项公式 等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d; 等比数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1=amqn-m 2.等差、等比数列的前 n 项和 (1)等差数列的前 n 项和为 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d. 2 2 特别地,当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次函数,且常数项为 0,即可设 Sn=an2+bn(a,b 为常数).
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(2)等比数列的前 n 项和 ?na1,q=1, ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq ? 1-q = 1-q ,q≠1, ? a1 特别地,若 q≠1,设 a= , 1-q 则 Sn=a-aqn.

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3.等差数列、等比数列常用性质 (1)若序号m+n=p+q,在等差数列中,则有am+an=ap+

aq;特别的,若序号m+n=2p,则am+an=2ap;在等比数
列中,则有am·an =ap·aq ;特别的,若序号m+n=2p,则 am·an=a; (2)在等差数列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?成等差数 列,其公差为kd;其中Sn 为前n项的和,且Sn≠0(n∈N*);

在等比数列{an}中,当q≠-1或k不为偶数时Sk,S2k-Sk,
S3k-S2k,?成等比数列,其中Sn为前n项的和(n∈N*).
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必备方法

1.对等差数列、等比数列的考查题型归纳,一般有三个方
面:一是应用等差或等比数列的通项公式及其前n项和公式 计算某些量和解决一些实际问题;二是给出一些条件求出 首项和公差(或公比),进而求得等差或等比数列的通项公 式和前n项和公式,或者将递推公式变形转化为等差或等比

数列问题间接地求得等差或等比数列的通项公式;三是证
明一个数列是等差或等比数列; 2.证明一个数列是等差或等比数列的方法有两种,即定义法 和中项法.
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命题角度一 等差、等比数列中基本量的计算
[命题要点] 求等差、等比数列的基本量 【例1】? 设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项的 和,满足:a+a=a+a,S7=7. (1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn; (2)设数列{bn}满足bn=2an,其前n项的和为Tn,当n为何值 时,有Tn>512.

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[审题视点] (1)先求出数列{an}的首项和公差,根据已知条件列 出 a1、d 为未知数的方程组即可求解; (2)由{an}成等差数列,得{2an}成等比数列. [听课记录]

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解 可设

(1)由{an}是公差不为 0 的等差数列,
?a2+a2=a2+a2, ? 2 3 4 5 ? an=a1+(n-1)d,则由 ?S7=7, ?

??a1+d?2+?a1+2d?2=?a1+3d?2+?a1+4d?2, ? 得? 7×6 ?7a1+ 2 d=7, ?
?2a d+5d2=0, ? 1 整理,得? ?a1+3d=1, ?

由 d≠0

?a =-5, ? 1 解得,? ?d=2, ?

所以 an=a1+(n-1)d=2n-7, n?n-1? Sn=na1+ 2 d=n2-6n.
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(2)由(1)得 an=2n-7,所以 bn=2an=22n 7,
2n-7 bn 2 1 又 = 2n-9=4(n≥2),b1=2a1= 5, 2 bn-1 2



1 所以{bn}是首项为 5,公比为 4 的等比数列, 2 1 n 5?1-4 ? 2 所以它的前 n 项和 Tn= 1-4 1 n = 5(4 -1),于是由 Tn>512, 3×2 得 4n>3×47+1,所以 n≥8 时,有 Tn>512.
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求等差、等比数列通项与前n项和,除直接代入公 式外,就是用基本量法,要注意对通项公式与前n项和公式的 选择.

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【突破训练 1】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1=3, 1+S a 是公比为 2 的等比数列. (1)证明:{an}是等比数列,并求其通项;

? ? ?

? ? n?

(2)设数列{bn}满足 bn=log3an,其前 n 项和为 Tn,当 n 为何 值时,有 Tn≤2 012?

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1+Sn (1)证明 由题意,得 =2,(n≥2) 1+Sn-1 即 1+Sn=4(1+Sn-1),同理,得 1+Sn+1=4(1+Sn). 两式相减,得 Sn+1-Sn=4(Sn-Sn-1), an+1 即 an+1=4an, a =4(n≥2). n 又 a1=3,所以{an}是首项为 3,公比为 4 的等比数列,所以 an =3·n-1=3·2n-2. 4 2

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(2)解

由(1)得 an=3·2n 2,所以 bn=log2(3·2n 2) 2 2





=log23+2(n-1),所以{bn}是首项为 log23,公差为 2 的等差数 列,前 n 项和为 Tn=nlog23+n(n-1),于是由 n2<nlog23+n(n -1)≤2 012,得 n< 2 012,又 n∈N*,所以 1≤n≤44,即 n =1,2,3,?,44 时,Tn≤2 012.

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命题角度二 与等差、等比数列有关的最值问题

[命题要点] (1)数列中最大项或最小项;
(2)数列前n项和的最大值或最小值. 【例2】? 等差数列{an}的首项是2,前10项之和是15,记An= a2+a4+a8+a16+?+a2n,求An及An的最大值.
[审题视点] 由已知可求出公差 d.进而得到 An 的表达式. [听课记录]

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解 设等差数列{an}的公差为 d, ?a1=2, ? 1 由已知:? 解得 a1=2,d=-9, 10×9 ?10a1+ 2 d=15, ? An=a2+a4+a8+?+a2n=na1+d[1+3+7+?+(2n-1)]
?2-2n+1 ? 1? 2 3 n -n? =na1+d(2+2 +2 +?+2 -n)=2n-9? ? ? 1-2 ?

1 + =9(19n+2-2n 1), 求 An 的最大值有以下两种解法.

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法一

1 数列{a2n}的通项 a2n=a1+(2 -1)d=9(19-2n)
n

1 令 a2n= (19-2n)>0,得 2n<19(n∈N*), 9 由此可得 a21>a22>a23>a24>0>a25>?, 故使 a2n>0,n 的最大值为 4, 1 46 4+1 所以(An)max=9(19×4+2-2 )= 9 .

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1 法二 由 An=9(19n+2-2n+1),若存在 n(n∈N*),使得 An≥An
+1

,且 An≥An-1,则 An 的值最大.

1 ?1 n +1 ?19n+2-2 ?≥9[19?n+1?+2-2n+2], ?9 ? ?1?19n+2-2n+1?≥1[19?n-1?+2-2n], 9 ?9 1 解得 9.5≤2 ≤19(n∈N ),取 n=4 时,An 有最大值(An)max=9
n *

(19×4+2-2

4 +1

46 )= . 9

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上述两种求 An 最值的方法都是运用函数思想. 法 1 一是直接研究子数列{a2n}.法二是研究 An= (19n+2-2n+1)的 9 单调性求其最值.

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【突破训练 2】 已知等差数列{an}的首项 a1≠0,公差 d≠0, 由{an}的部分项组成的数列 ab1,ab2,?,abn,?为等比 数列,其中 b1=1,b2=2,b3=6. (1)求数列{bn}的通项公式 bn; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求 Sn 的值; 2 012n (3)求 An=Sn- 9 的最小值.

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(1)由 a2=a1a6, 2

得(a1+d)2=a1(a1+5d),d2-3a1d=0. 又 d≠0,所以 d=3a1,所以 q=4,所以 abn=a1·n 1. 4 又 abn=a1+(bn-1)d=a1+(bn-1)3a1, 所以 a1·n 1=a1+(bn-1)3a1. 4 4n 1 2 因为 a1≠0,所以 3(bn-1)+1=4n-1,故 bn= + . 3 3
- - -

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(2)Sn=b1+b2+b3+?+bn
?4n-1 2? ?40 2? ?41 2? ? =? 3 +3?+? 3 +3?+?+? + ? ? 3 3? ? ? ? ? ?

1 2n n-1 =3(1+4+?+4 )+ 3 1 1-4 2n =3· + 1-4 3
? 1?4n-1 ? ? =3? +2n?. ? 3 ?
n

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? 1?4n-1 ? ? (3)由 Sn=3? +2n?, ? 3 ?

2 012n 1 n 得 An=Sn- = (4 -2 006n-1),若存在 n∈N*, 9 9 使得 An≤An+1,且 An≤An-1,则 An 的值最小. 1 n+1 ?1 n ?9?4 -2 006n-1?≤9[4 -2 006?n+1?-1], 于是由? ?1?4n-2 006n-1?≤1[4n-1-2 006?n-1?-1], 9 ?9 4×2 006 2 006 n 解得 3 ≤4 ≤ (n∈N*), 3 2 983 取 n=5,(An)min= 9 .
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命题角度三

等差、等比数列的探求

[命题要点] 假设存在问题,求解满足条件的数或式子 【例 3】 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列, n 为其前 ? S n 项和,且满足 项和为 Tn. a2=S2n-1,令 n 1 bn = ,数列{bn}的前 n an·n+1 a

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(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn;

(2)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数
列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理 由.

[审题视点]

(1)由等差通项与求和公式求解;(2)假设存在,

转化为关于 m,n 的方程是否有整数解. [听课记录]

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(1)n=1 时,由 a2=S1=a1,且 a1≠0,得 a1=1.因为{an}是 1

等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)d, n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ d=n+ d. 2 2 于是由 a2=S2n-1,得[1+(n-1)d]2=2n-1+(2n-1)(n-1)d, n 即 d2n2+(2d-2d2)n+d2-2d+1=2dn2+(2-3d)n+d-1, ?d2=2d, ? 2 所以?2d-2d =2-3d, ?d2-2d+1=d-1, ?

解得 d=2.

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1 所以 an=2n-1,从而 bn= an·n+1 a 1 ? 1 1? 1 ? = =2?2n-1-2n+1? ? ?2n-1?· ?2n+1? ? ? 1? 1 ?1 1? 1? 1 所 以 Tn = b1 + b2 + ? + bn = ?1-3? + ?3-5? + ? + 2? 2? 2 ? ?
? 1 1 ? 1? 1 ? n ? ? ? ? ?2n-1-2n+1?=2?1-2n+1?=2n+1. ? ? ? ?

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(2)法一

1 m n T1=3,Tm= ,Tn= ,若 T1,Tm,Tn 成等 2m+1 2n+1

? m ? 1? n ? m2 n ? ?2 ? ? 比 数 列 , 则 ?2m+1? = ?2n+1? , 即 2 = .由 3? 4m +4m+1 6n+3 ? ? ?
2 m2 n 3 -2m +4m+1 = ,可得 n= >0,即-2m2 + 2 m 4m2+4m+1 6n+3

6 6 4m+1>0,∴1- 2 <m<1+ 2 . 又 m∈N*,且 m>1,所以 m=2,此时 n=12. 因此,当且仅当 m=2,n=12 时,数列{Tn}中的 T1,Tm,Tn 成 等比数列.
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n 1 1 m2 1 法二 因为 = 3<6,故 2 <6,即 2m2-4m 6n+3 4m +4m+1 6+n -1<0, 6 6 ∴1- <m<1+ ,(以下同上). 2 2

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在一定条件下,判断某种数学对象是否存在,解答
此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的,然后利用有 关概念、公理、定理、法则推理下去,如果畅通无限,则存 在;如果推理过程中,有限或发生矛盾,则说明不存在.

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【突破训练3】

(2012· 苏北四市调研)已知数列{an}的前n项和

为Sn,且满足2Sn=pan-2n,n∈N*,其中常数p>2. (1)求证:数列{an+1}为等比数列; (2)若a2=3,求数列{an}的通项公式; (3)对于(2)中数列{an},若数列{bn}满足bn=log2(an+1)(n∈ N*),在bk与bk+1之间插入2k 1(k∈N*)个2,得到一个新的数


列{cn},试问:是否存在正整数m,使得数列{cn}的前m项 的和Tm=2 011?如果存在.求出m的值;如果不存在,说 明理由.
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解 (1)∵2Sn=pan-2n, ∴2Sn+1=pan+1-2(n+1),两式相减. ∴2an+1=pan+1-pan-2, p 2 ∴an+1= an+ , p-2 p-2 p ∴an+1+1= (an+1), p-2 ∵2a1=pa1-2, 2 且 p>2,∴a1= >0,∴a1+1>0, p-2
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an+1+1 p ∴ = ≠0, an+1 p-2 ∴数列{an+1}为等比数列. (2)由(1)知
? p ? an+1=?p-2?n, ? ? ? ?

? p ? ∴an=?p-2?n-1(n∈N*) ? ? ? ? ? p ? 又∵a2=3,∴?p-2?2-1=3, ? ? ? ?

∴p=4,∴an=2n-1.
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(3)由(2)得 bn=log22n,即 bn=n,(n∈N*), 在数列{cn}中,bk(含 bk 项)前的所有项的和是: (1+2+3+?+k)+(2 +2 +2 +?+2 2. 当 k=10 时,其和是 55+210-2=1 077<2 011, 当 k=11 时,其和是 66+211-2=2 112>2 011, 又∵2 011-1 077=934=467×2,是 2 的倍数, ∴当 m=10+(1+2+22+?+28)+467=988 时, Tm=2 011, ∴存在 m=988,使得 Tm=2 011.
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0

1

2

k-2

k?k+1? )×2= 2 +2k-

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阅 卷 老 师 叮 咛

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7.应注意的数列中的四个问题

一、对题中关键词要理解透彻 【例 1】? 若首项是-24 的等差数列,从第 10 项开始为正数, 则公差 d 的取值范围是________. 解析 答案
?a =-24+9d>0, ? 10 由题意可得? ?a9=-24+8d≤0, ?

8 解得- <d≤3. 3

8 - <d≤3 3

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老师叮咛:对条件“从第10项开始为正数”要理解,很容易理 解错误或考虑问题不全面,将其理解为“第10项为正数,而第 9项为负数”,或者理解为“第10项为正数”,所以要在理解 题意之后再做题.

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二、注意等比数列中项的符号之间的关系 【例2】? 在等比数列{an}中,如果a2和a6是一元二次方程x2- 5x+4=0的两个根,那么a3a4a5的值为________. 解析 方程x2-5x+4=0的两个根为1和4,在等比数列{an}
2 中,a3a5=a2a6=4,a 4 =a2a6=4,又a4=a2q2>0,所以a4

=2,即a3a4a5的值为8. 答案 8

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老师叮咛:等比数列中所有偶数项符号相同、奇数项符号相 同,这是一个很有用的结论,如果对这一结论不清楚或者不能 应用,很容易产生增根,如本题可能会出现如下的错误解法: 由等比数列的性质和韦达定理得a3a5=a2a6=4=a ± 2,∴a3a4a5=a3=± 8,产生增根. 4
2 4

,∴a4=

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三、等比数列的求和公式要正确应用 【例3】? 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则 数列的公比q=________.

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解析 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,因a1≠0,得 S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1;由S3+S6=2S9, a1?1-q3? a1?1-q6? 2a1?1-q9? 得 + = ,整理得q3(2q6-q3-1)= 1-q 1-q 1-q 0,由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因 1 4 q ≠1,故q =-2,所以q=- 2 .
3 3

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4 答案 - 2
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老师叮咛:对等比数列的求和公式要正确应用,即使用公式Sn a1?1-qn? = 的前提条件是q≠1,如题中没有指明,则需要分情 1-q 况讨论.否则,容易出错,如本题有下面的解法:由S3+S6= a1?1-q3? a1?1-q6? 2a1?1-q9? 2S9,得 + = ,整理得q3(2q6-q3-1) 1-q 1-q 1-q =0,由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,解 4 得q=1或- 2 .这是一种相当普遍的错误,关键是不能明确等 比数列前n项和公式使用的前提条件.
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四、注意数列与函数的关系
【例4】? 已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1,且 公差d≠1,公比q>0,且q≠1,则集合{n|an =bn}的元素最 多有________个.

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解析

利用数形结合的方法,等差数列的图象是直线,等比数

列的图象类似指数函数,两者的交点最多有2个,当两个交点 的横坐标都是正整数时,则集合{n|an=bn}的元素个数是2,否 则,元素个数是1或0,即集合{n|an =bn}的元素个数最多有2

个.
答案 2

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老师叮咛:注意数列是一种特殊的函数,所以数列的很多问题
需要借助相应的函数图象直观解题,如果不能借助数形结合, 利用图象直观分析问题,像本题这样的题目就无法下手,所以 要加强数与形的相互转化.

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