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线面平行判定与性质


一、选择题(每题4分,共16分) 1.下列说法正确的是( )

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平 面平行;

②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个
平面平行; ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面 平行; ④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个

平面平行.

(A)①③ (C)②③④

(B)②④ (D)③④

【解析】选D.如果两个平面没有任何一个公共点,那么我们 就说这两个平面平行,也就是两个平面没有任何公共直线 . 对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如 果这两条直线不相交,而是平行,那么这两个平面相交也能

够找得到这样的直线存在.
对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行, 同①,如果这无数条直线与平面都平行时,也能够找得到这 样的直线存在. 对于③:一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这 两个平面平行.这是两个平面平行的定义.

对于④:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,

则这两个平面平行,这是两个平面平行的判定定理 .
所以只有③④正确,选择D.

2.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其 中与平面DBB1D1平行的直线共有( (A)4条 (B)6条 )

(C)8条

(D)12条

【解析】选D.如图所示,E,F,G,H分 别是AB,A1B1,A1D1,AD的中点,

面EFGH∥面DBB1D1,则EF,FG,GH,HE,

EG,FH都平行于面DBB1D1,同理,
面IJKL中也有6条直线平行于面DBB1D1.

3.若线段AB、BC、CD不共面,M、N、P分别为其中点,则直线

BD与平面MNP的位置关系为(
(A)平行
(C)相交或BD? ?平面MNP



(B)可能相交
(D)可能垂直

4.下列可以作为平面α∥平面β的条件的惟一序号是( (A)存在一条直线a,a∥α,a∥β (B)存在一条直线a,a?α,a∥β (C)存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α ? (D)存在两条异面直线a,b,a? β, a ∥ β, b ∥ α ?α,b? ? 【解析】选D.排除法,若a平行于 β的交线,排除A、B; ? α与 ? 若a,b都平行于α与β的交线,排除C,故只有D正确.



二、填空题(每题4分,共8分)

5.给出下列几个语句:①一条直线和另一条直线平行,它就和
经过另一条直线的任何平面平行;②一条直线和一个平面平行, 它就和这个平面内的任何直线平行;③过平面外一点和这个平 面平行的直线有且只有一条;④平行于同一平面的两条直线互 相平行.其中错误的序号是________. 【解析】对于①,若a∥b,b? ,如图(1) ? ?α不一定有a∥α,可以a?α 所示,∴①错误.

对于②,若a∥α,b? α不一定有a∥b,a,b可以是异面直线,如图 ? (2)所示,∴②错误; 对于③,过平面外一点和这个平面平行的直线有无数条,

∴③错误.
对于④,若两直线平行于同一平面它们之间的位置关系可以是 平行、相交或异面,∴④错误. 答案:①②③④

6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,

E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点,在此几何体中,
给出下面五个结论: ①平面EFGH∥平面ABCD;

②PA∥平面BDG;
③直线EF∥平面PBC; ④FH∥平面BDG;

⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是 .

【解析】如图所示,该几何体为四棱锥, ∵E、F分别为PA、PD的中点, ∴EF∥AD, 又EF? ?平面ABCD,

AD? ?平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD, 同理可证EH∥平面ABCD,

又EF∩EH=E,
∴平面EFGH∥平面ABCD,所以①正确. 连接AC、BD交于点O,连接OG,

∵四边形ABCD为正方形, ∴O为AC中点,又G为PC中点, ∴OG∥PA,

又PA? ?平面BDG,OG? ?平面BDG,
∴PA∥平面BDG,所以②正确, 由EF∥AD∥BC,知EF∥平面PBC, 由FH∥BD,知FH∥平面BDG, 由EF∥AD,AD与平面BDG相交知EF与平面BDG相交. 答案:①②③④

如图是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个角后得到的几
何体,E,F分别是B1D1,AB1的中点. (1)求证:EF∥平面BB1C1C;

(2)求几何体ABCD-B1C1D1的体积.

【解析】(1)∵E,F分别是B1D1,AB1的中点, ∴EF∥AD1,又AD1∥BC1, ∴EF∥BC1,又∵EF? ?平面BB1C1C,

BC1? ?平面BB1C1C,
∴EF∥平面BB1C1C.

8.(思维拓展题)如图所示,在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,

N分别是正方体六个面的中心.
求证:平面EFG∥平面HMN. 【证明】连接AB1,AD1,B1D1,

CB1,CD1,由三角形中位线定理,
易得FG∥B1D1,NH∥B1D1, 所以FG∥HN.

因为HN? ? 平面HMN,

FG? ? 平面HMN,
所以FG∥平面HMN. 同理可证EF∥CD1,

MH∥CD1,
故EF∥MH,EF∥平面HMN. 因为FG? ?平面EFG,EF? ?平面EFG且FG∩EF=F,

∴平面EFG∥平面HMN.

[探究创新] 9.(10分)已知在正方体ABCD-A′B′C′D′中,M、N分别是

A′D′、A′B′的中点,在该正方体中作出平面与平面AMN平
行的三种情况,并选择其一给予证明. 【解析】与平面AMN平行的平面可以有以下三种情况(不惟 一):

下面以第(1)个图为例进行证明.

E为B′C′中点,连接ME,
易知四边形ABEM是平行四边形, ∴BE∥AM,而BE? ?平面BDE. ∴AM∥平面BDE.又∵MN是△A′B′D′的中位线, ∴MN∥B′D′,而四边形BDD′B′是平行四边形.

∴BD∥B′D′.由平行公理可得MN∥BD,
又MN? ?平面BDE, ?平面BDE,BD? ∴MN∥平面BDE.又∵MN∩AM=M,

∴由平面与平面平行的判定定理可得,
平面AMN∥平面BDE.


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