# 矩阵乘积的行列式与秩

A

B

a11 a12 a21 a22 D1 = M M a n1 a n 2

L L M L

a1n b11 b12 a2 n b21 b22 , D2 = M M M ann bn1 bn 2 L L M L
c1n c2 n , M cnn

L L M L

b1n b2 n M bnn

c11 c12 c21 c22 则 D1 D2 = M M c n1 c n 2
i , j = 1,2,L , n

AB
n

k =1

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

AB = A B .

A1 , A2 ,L , At 为数域 P 上的 n 级方阵，则 级方阵， | A1 A2 L At |=| A1 || A2 | L | At | .

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

n 级方阵 A 退化 ? R( A) < n ? A = 0.

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

AB 非退化 ? A, B 都非退化

( AB 退化

? A或 B 退化

)

? A ≠ 0 且 B ≠ 0 ? A, B 都非退化 .

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

R( AB ) ≤ min ( R( A), R( B ) ) .

= ( ai 1b11 + ai 2b21 + L + aim bm1 ,L , ai 1b1 s + ai 2b2 s + L + aim bms )
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

n n ? n ? = ? ∑ aik bk 1 , ∑ aik bk 2 ,L , ∑ aik bks ? , k =1 k =1 ? k =1 ?

= ( ci 1 , ci 2 ,L , cis ) = C i ,

i = 1,2,L , n

∴ R( AB ) ≤ min ( R( A), R( B ) ) .
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

R( AB ) ≤ min ( R( A), R( B ) ) .

R( A) ≤ min{ R( A1 ), R( A2 ),L , R( At )}.

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

= A ( E + A′ )′ = A E + A

2

A = ?1,

A+ E = ? A+ E ,

A + E = 0.

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

P190：9 、18 ：

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩