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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第3讲


专题二 第3讲

第 3 讲 平面向量
【高考考情解读】
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从近几年高考来看,平面向量有以下几个考查特点: 1.向量的加法,主要考查运算法则、几何意义;平面向量的 数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题 的重点内容,主要考查运算能力和灵活运用知识的能力; 试题常以填空题形式出现,难度中等偏下. 2.平面向量与三角函数、解析几何相结合,以解答题形式呈 现,难度中等.

主干知识梳理

专题二 第3讲

1.平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向
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量都共线,记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向 a 量为 . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方 向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上 的投影.

主干知识梳理
2.平面向量的两个重要定理

专题二 第3讲

(1)向量共线定理: 向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一 一个实数 λ,使 b=λa.
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(2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不 共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有一 对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 3.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

主干知识梳理

专题二 第3讲

4.平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2.
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(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |= ?x -x ?2+?y -y ?2. |AB
2 1 2 1

(3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角, x1x2+y1y2 a· b 则 cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2

热点分类突破

专题二 第3讲

考点一
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平面向量的概念及线性运算

例1

(1)(2013· 江苏)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上 1 2 → → → 的点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为 2 3 实数),则 λ1+λ2 的值为________. → → → (2)△ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 2, OA+AB+AC= → → → → 0 且|OA|=|AB|,则向量CA在CB上的投影为________.

热点分类突破
1→ → → → 解析 (1)如图,DE=DB+BE= AB+ 2 2→ 1→ 2 → → 1→ 2→ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC, 3 2 3 6 3 1 2 1 则 λ1=- ,λ2= ,λ1+λ2= . 6 3 2 → +AB → +AC → =0, (2)由OA → +AC → =AO →. 得AB

专题二 第3讲

本 讲 栏 目 开 关 又 O 为△ABC 外接圆的圆心,OB=OC,

∴四边形 ABOC 为菱形,AO⊥BC. → |=|AB → |=2, 由|OA 知△AOC 为等边三角形. π → → → 故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB=2cos 6= 3. 1 答案 (1) (2) 3 2

热点分类突破

专题二 第3讲

(1)在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量 当作字母, 其运算就类似于代数中合并同类项的运算; 有的问
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题采用坐标化解决更简单. (2)运用向量加减法解决几何问题时,要善于发现或构造三角 形或平行四边形,使用三角形法则时要特别注意 “ 首尾相 接”.运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合.

热点分类突破

专题二 第3讲

→ +MB → +MC → =0.若存 (1)已知△ABC 和点 M 满足MA → +AC → =mAM → 成立,则 m 的值为 ________. 在实数 m 使得AB
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→ → → (2)如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其 → 与 OB → 的夹角为 120° → 与 OC → 的夹角为 中 OA , OA → |= |OB → |= 1,|OC → |=2 3,若OC → =λOA → +μOB → (λ, 30° ,且|OA μ∈R),则 λ+μ 的值为________.

热点分类突破

专题二 第3讲

→ → → 解析 (1)∵MA+MB+MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心. → +AC → =3AM → ,∴m=3. ∴AB
→ =OB → +OA → ,|OB → |=2, (2)方法一 如图,OC 1 1 1 → → | OA | = | B 1 1C|=4, 本 讲 → =4OA → +2OB →. ∴OC
栏 目 开 ∴λ+μ=6. 关

方法二

→ =λOA → +μOB →, →, → 2=λOA →· →+ 由OC 两边同乘OC 得OC OC

0,∴λ=4. → → =4OA → +μOB → ,两边同乘OA ∴OC ,
→· → =4+μOA →· →, 得OC OA OB

热点分类突破

专题二 第3讲

1 即 3=4+(- )μ.∴μ=2. 2 ∴λ+μ=6.
方法三
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以 O 为原点,OA 为 x 轴建立直角坐标系,

则 A(1,0),C(2 3cos 30° ,2 3sin 30° ),B(cos 120° ,sin 120° ). 1 3 即 A(1,0),C(3, 3),B(-2, 2 ). ? 1 ?λ-2μ=3, → =λOA → +μOB → 得,? 由OC ? 3μ= 3. ?2 ? ?μ=2 ∴? .∴λ+μ=6. ? ?λ=4

答案 (1)3

(2)6

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考点二 例2
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专题二 第3讲

平面向量的数量积

(1)(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,

AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F →· → = 2,则AE →· → 的值是 在边 CD 上,若AB AF BF ________. (2)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a -c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为________.

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解析 (1)方法一 坐标法.

专题二 第3讲

以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直 角坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2).
本 → → → → 故 AB = ( 2 , 0) , AF = ( x, 2) , AE = ( 2 , 1) , BF =(x- 2,2), 讲 栏 → → ∴ AB · AF=( 2,0)· (x,2)= 2x. 目 开 → → AF= 2,∴x=1. 关 又AB·

→ ∴BF=(1- 2,2). → → ∴AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → → → → 方法二 用AB,BC表示AE,BF是关键. → → → → 设DF=xAB,则CF=(x-1)AB.

热点分类突破 → → → → → AB· AF=AB· (AD+DF)
→ → → → =AB· (AD+xAB)=xAB2=2x, → → 又∵AB· AF= 2,∴2x= 2,
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? 2 → → → → ? → ? 2 ∴x= 2 .∴BF=BC+CF=BC+? -1? AB . ? 2 ? ? ? 2 ? ? → → → → ? ?→ ? ?→? ∴AE· BF=(AB+BE)· ?BC+? 2 -1?AB? ? ? ? ? ? ? → 1 → ?? → ? =?AB+2BC??BC+? ? ? ?? ? ? =? ? ? ? =? ? ? ? ? 2 ?→? AB? 2 -1? ? ?

专题二 第3讲

? 2 ?→2 1→2 AB +2BC 2 -1? ? ? 1 2 ? ×2+2×4= 2. 2 -1? ?

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专题二 第3讲

(2)方法一
又 a· b=0,
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由题意知 a2=b2=c2=1,

∵(a-c)· (b-c)=a· b-a· c-b· c+c2≤0, ∴a· c+b· c≥c2=1, ∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c =3-2(a· c+b· c)≤1, ∴|a+b-c|≤1.

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方法二 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),

专题二 第3讲

则 x2+y2=1,a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y),
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则(a-c)· (b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y) =x2+y2-x-y=1-x-y≤0,即 x+y≥1. 又 a+b-c=(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2 = ?x-1?2+?y-1?2= 3-2?x+y?≤1.

答案 (1) 2

(2)1

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专题二 第3讲

(1)涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思 路:
本 ①直接利用数量积的定义; 讲 栏 ②建立坐标系,通过坐标运算求解. 目 开 (2)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图 关

形中模和夹角已知的向量进行计算.

求平面向量的模时,常把模的平方转化为向量的平方.

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专题二 第3讲

→ → (1)(2013· 山东)已知向量AB与AC的夹角为 120° , 且 → |=3,|AC → |=2.若AP → =λAB → +AC → ,且AP → ⊥BC → ,则实数 λ 的 |AB
本 → ⊥AB →, → |=|OB → |=1, → 讲 (2)(2013· 重庆改编)在平面上, AB | OB AP 1 2 1 2 栏 → +AB → .若|OP → |<1,则|OA → |的取值范围是 ________. 目 =AB 1 2 2 开 关

值为________.

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解析 → → → → (1)由AP⊥BC知AP· BC=0,

专题二 第3讲

→· → =(λAB → +AC → )· → -AB →) 即AP BC (AC →· → -λAB → 2+AC →2 =(λ-1)AB AC
? 1? 本 ? ? 讲 =(λ-1)×3×2×?-2?-λ×9+4=0, 栏 7 目 开 解得 λ=12. 关

→ ⊥AB →, (2)∵AB 1 2

→· → =(OB → -OA → )· → -OA →) ∴AB AB ( OB 1 2 1 2 →· → -OB →· → -OA →· → +OA → 2=0, =OB OB OA OB 1 2 1 2 →· → → OA → -OA →· → =-OA → 2. ∴OB OB 1 OB2-OB1· 2

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→ → → ∵AP=AB1+AB2.

专题二 第3讲

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→ → → → → → ∴OP-OA=OB1-OA+OB2-OA, → → → → ∴OP=OB1+OB2-OA. → → ∵|OB1|=|OB2|=1, → → → → → → → → ∴OP2=1+1+OA2+2(OB1· OB2-OB1· OA-OB2· OA) → → → =2+OA2+2(-OA2)=2-OA2, → 1 →2 1 →2 1 ∵|OP|< ,∴0≤|OP| < ,∴0≤2-OA < , 2 4 4
? 7 ? 7 →2 → ? ∴ <OA ≤2,即|OA|∈? , 2? ?. 4 2 ? ?

7 答案 (1)12

? (2)? ? ?

? 7 ? , 2 ? 2 ?

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考点三 平面向量与三角函数的综合应用

专题二 第3讲

例 3 已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x +2sin α,cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3

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(1) 应用向量的数量积公式可得 f(x) 的三角函数 式, 然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式, 由此 可解得函数的最小值及对应的 x 值. (2)由夹角公式及 a⊥c 可得关于角 α 的三角函数式,通过三 角恒等变换可得结果.

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解 (1)∵b=(cos x,sin x),

专题二 第3讲

π c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α= , 4 ∴f(x)=b· c
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=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α
=2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). 令 t=sin x+cos
?π ? x?4<x<π?, ? ?

则 2sin xcos x=t2-1,且-1<t< 2. 则 y=t +
2

? 2t-1=? ? t+ ?

2? ?2 3 -2,-1<t< 2, 2? ?

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专题二 第3讲

2 3 2 ∴t=- 时,ymin=- ,此时 sin x+cos x=- , 2 2 2

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? π? 2sin?x+4?=- ? ?

2 2,

π π π 5 ∵4<x<π,∴2<x+4<4π,

π 7 11π ∴x+4=6π,∴x= 12 . 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为-2,相应 x 的值为 12 .

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专题二 第3讲

π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a· b ∴cos 3=|a|· |b|=cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α).
本 π 讲 ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α= . 3 栏 目 开 ∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0, 关

∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即

? π? sin?2α+3?+2sin ? ?

2α=0.

5 3 3 ∴2sin 2α+ 2 cos 2α=0,∴tan 2α=- 5 .

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专题二 第3讲

在平面向量与三角函数的综合问题中, 一方面用平 面向量的语言表述三角函数中的问题, 如利用向量平行、 垂直
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的条件表述三角函数式之间的关系, 利用向量模表述三角函数 之间的关系等; 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向 量问题, 在解决此类问题的过程中, 只要根据题目的具体要求, 在向量和三角函数之间建立起联系, 就可以根据向量或者三角 函数的知识解决问题.

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已知向量
? a=?sin ?

专题二 第3讲
3? x, ?,b=(cos x,-1). 4?

(1)当 a∥b 时,求 cos2x-sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)=2(a+b)· b,已知在△ABC 中,内角 A,B,C 6 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,b=2,sin B= ,求 f(x) 3 π π +4cos(2A+ )(x∈[0, ])的取值范围. 6 3 3 解 (1)∵a∥b,∴ cos x+sin x=0, 4 3 ∴tan x=-4. 2 cos x-2sin xcos x 1-2tan x 8 2 ∴cos x-sin 2x= = = . sin2x+cos2x 1+tan2x 5

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? π? 3 2sin?2x+4 ?+ , ? ? 2

专题二 第3讲

(2)f(x)=2(a+b)· b=

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a b 2 π 由正弦定理 = ,可得 sin A= ,∴A= . sin A sin B 2 4
? π? ∴f(x)+4cos?2A+6?= ? ? ? π? 1 2sin?2x+4?- , ? ? 2

π π π 11π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ]. 3 4 4 12

3 π 1 ∴ -1≤f(x)+4cos(2A+ )≤ 2- . 2 6 2

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专题二 第3讲

1.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的
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一个向量用其余的向量线性表示,就要根据向量加减法的 → → 法则进行,特别是减法法则很容易出错,向量 AB=OB- → OA (其中 O 为任意一个点),这个法则就是终点向量减去 起点向量. 2.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a -b|时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四 边形是矩形, 条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a, b 互相垂直.

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专题二 第3讲

3.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题 时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况,如已知 两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,
本 还要求不能反向共线. 讲 栏 4.平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何 目 开 中,在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函 关

数之间的一些关系,解题的关键还是三角函数问题;解析 几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系, 在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关 系.

押题精练

专题二 第3讲

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1.已知两点 A(1,0),B(1, 3),O 为坐标原点,点 C 在第二 → → → 象限,且∠AOC=120° ,设OC=-2OA+λOB(λ∈R),则

1 λ=________.
解析 根据∠AOC=120° ,
可知点 C 在射线 y=- 3x(x<0)上,设 C(a,- 3a),

则有(a,- 3a)=(-2,0)+(λ, 3λ)=(-2+λ, 3λ), 即得 a=-2+λ,- 3a= 3λ,消去 a,得 λ=1.

押题精练
π π 2.函数 y=tan( x- )(0<x<4)的图象如图所 4 2 示,A 为图象与 x 轴的交点, 过点 A 的直 → 线 l 与函数的图象交于 B、 C 两点, 则(OB → → 8 +OC)· OA=______.

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→ 解析 A 点坐标为(2,0),即OA=(2,0), π π 由 y=tan( x- )的图象的对称性知 A 是 BC 的中点. 4 2 → → → ∴OB+OC=2OA,
→ → → → → → ∴(OB+OC)· OA=2OA· OA=2×|OA|2=8.

押题精练

专题二 第3讲

3.在△ABC 中,向量 m=(2cos B,1),向量 n=(1-sin B,-1 +sin 2B),且满足|m+n|=|m-n|. (1)求角 B 的大小;
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(2)求 sin A+sin C 的取值范围.

解 (1)由|m+n|=|m-n|,可知 m⊥n?m· n=0.
然而 m=(2cos B,1),n=(1-sin B,-1+sin 2B),
所以有 m· n=2cos B-sin 2B-1+sin 2B=2cos B-1=0, 1 得 cos B= ,从而 B=60° . 2

押题精练

专题二 第3讲

3 3 (2)sin A+sin C=sin A+sin(120° -A)= sin A+ cos A= 2 2 3sin(A+30° ).
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又 0° <A<120° ,则 30° <A+30° <150° , 1 )≤1. 2<sin(A+30°
3 所以 2 <sin A+sin C≤ 3, 3 即 sin A+sin C 的取值范围是( 2 , 3].


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