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辽宁省沈阳市2012届高三数学第二次模拟试题(文)1


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沈阳市高三数学高考模拟考试测试(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~第 24 题为选考 题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:球的表面积公式 S = 4π R ,其中 R 为球的半径. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A = x x ? 3 x + 2 = 0 , B = x log x 4 = 2 ,则 A ∪ B = (
2 2

{

}

{

}

)

A. {?2,1, 2}
2

B. {1, 2}

C.

{2}

D. {?2, 2} )

2.若复数 z = ( a + 2a ? 3) + ( a + 3)i 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数 a 的值是( A. ? 3 B. ? 3 或 1 C. 3 或 ? 1 D. 1

3.下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位:元),图中的数字 7 表示 的意义是这台自动售货机的销售额为( )

1 2
3

028 02337 12448 238
C. 27 元
2

4
A. 7 元 B. 37 元

D. 2337 元

4.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,若 a 2 、 a 4 是方程 x ? x ? 2 = 0 的两个实数根, 则 S5 的值为( A. ) B.5 C. ?

5 2

5.如果不共线向量 a, b 满足 2 a = b ,那么向量 2a + b与2a ? b 的夹角为( A.

? ?

?

?

5 2

D. ? 5

? ?

? ?

)

π 6

B.

π 3

C.

π 2

D.

2π 3 2b 有不等 x

6.若利用计算机在区间 (0,1) 上产生两个不等的随机数 a 和 b ,则方程 x = 2 2a ?
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实数根的概率为( A.

) B.

1 4

1 2

C.

3 4

D.

2 5

7. 设 a, b 是平面 α 内两条不同的直线, l 是平面 α 外的一条直线, 则 “l ⊥ a ,l ⊥ b ” 是 “l ⊥ α ” 的( ) A.充要条件 C.必要而不充分的条件 8.曲线 y = A.

B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 ) D.

π 6

1 3 x ? 2 x 在 x = 1 处的切线的倾斜角是( 3 3π π B. C. 4 4

π 3

9. 已知点 F1 、 F2 分别为椭圆 C : 的重心 G 的轨迹方程为( A.

x2 y 2 右焦点, 点 P 为椭圆 C 上的动点, 则 △PF1F2 + = 1 的左、 4 3
)

x2 y 2 + = 1( y ≠ 0) 36 27

4 x2 B. + y 2 = 1( y ≠ 0) 9
C.

9 x2 + 3 y 2 = 1( y ≠ 0) 4 4 y2 = 1( y ≠ 0) 3

D. x 2 +

10.已知某程序框图如右图所示,则该 程序运行后,输出的结果为( A. C. )

3 5 1 2

B. D.

4 5 1 5

11.过双曲线

x2 y2 ? = 1( a > 0) 的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲 a2 5 ? a2

线左右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线
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离心率的取值范围为( A. ( 2, 5)

) B. ( 5, 10) C. ( 5 , 5

2)

D. (1, 2 )

12.在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 ∠A、∠B、∠C 的对边,三边 a 、 b 、 c 成等差数列, 且

B=

π ,则 cos A ? cos C 的值为( ) 4
B. 2 C. 4 2 D. ± 4 2

A. ± 2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都 必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

π sin(π + α ) ? sin( + α ) 2 13.已知 tan α = 2 ,则 的值为 3π cos( + α ) + cos(π ? α ) 2



14. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知数列 { S n } 是首项和公比都是 3 的等比数列, 则数列 {an } 的通项公式 an = .
3 4 2

15.如右图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 位 : cm) , 则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 __________cm2. 16.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ∈ R ,都

( 单



f (2 ? x) = f ( x + 2) 成立,且当 x ∈ [ ?2, 0] 时,
?1? 若关于 x 的方程 f ( x ) ? log a ( x + 2) = 0 ( a > 1) 在区间 (0, 6] 内恰有两个不同 f ( x) = ? ? ?1 . ?2?
实根,则实数 a 的取值范围是 .
x

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某种产品按质量标准分成五个等级,等级编号 x 依次为 1,2,3,4,5.现从一批产品中随机抽 取 20 件,对其等级编号进行统计分析,得到频率分布表如下:

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x
频率

1

2 0.2

3 0.45

4

5

(I) 若 所

a

b

c

抽取的 20 件产品中,等级编号为 4 的恰有 3 件,等级编号为 5 的恰有 2 件,求 a , b , c 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下, 将等级编号为 4 的 3 件产品记为 x1 , x2 , x3 , 等级编号为 5 的 2 件产品记为

y1 , y2 ,现从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 这 5 件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出
所有可能的结果,并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率. 18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m = (sin x +

??

2

? 1 3 1+ cos 2 x ,sin x ) , n = ( cos 2 x ? sin 2 x, 2 sin x) , 2 2 2

设函数 f ( x ) = m ? n , x ∈ R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ∈ [0,

?? ?

π ] ,求函数 f ( x ) 值域. 2
P

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD ,四边形

ABCD 为长方形, AD = 2 AB ,点 E 、 F 分别是线段 PD 、 PC 的中点.
(Ⅰ)证明: EF // 平面 PAB ; (Ⅱ)在线段 AD 上是否存在一点 O ,使得 BO ⊥ 平面 PAC , 若 存在, 请指出点 O 的位置, 并证明 BO ⊥ 平面 PAC ; 若不存在, 请说明理由.

E F A B D C

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax ? 1 ? ln x ( a ∈ R ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数;

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(Ⅱ)已知函数 f ( x) 在 x = 1 处取得极值,且对 ?x ∈ (0,+∞) , f ( x) ≥ bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 C : y = 2 px ( p > 0 ) 和⊙ M : ( x ? 4) + y = 1 ,过抛物线 C 上一点
2 2 2

H ( x0 , y 0 )( y 0 ≥ 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线于 E , F 两点,圆心
点 M 到抛物线准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当 ∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时, 求直线 EF 的斜率; (Ⅲ)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t , 求 t 的最小值.

17 . 4

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB = 4 , C 为半圆上一点, 过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ⊥ CD 于 D ,交半圆 点 E , DE = 1 . (Ⅰ)求证: AC 平分 ∠BAD ; (Ⅱ)求 BC 的长.
E D C



A O 更多试卷下载请访问学大教育官网:http://www.jiaotou.org/xuedajiaoyu/

B

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23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 且长度单位相同. 直线 l 的极坐标方程为: ρ =

10

π 2 sin(θ ? ) 4

,点 P(2 cos α , 2sin α + 2) ,参数 α ∈ [ 0, 2π ] .

(Ⅰ)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 到直线 l 距离的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = 2 x ? a + a . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ≤ 6 的解集为 x ? 2 ≤ x ≤ 3 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数 n 使 f ( n) ≤ m ? f (? n) 成立,求实数 m 的取值范围.

{

}

2012 年沈阳市高三二模测试试题

文科数学试题参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
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一.选择题 1.B;2.D;3.C;4.A;5.C;6.B;7.C;8.B;9.C;10.A;11.B; 12.D. 二、填空题 13. ?3 ; 14. ?

?3,( n = 1)
n ?1 ?2 ? 3 ,( n ≥ 2)



15. 29π ;

16. 3 4 < a < 2 .

三、解答题 17.解:(Ⅰ)由频率分布表得 a +0.2+0.45+ b + c =1,即 a + b + c = 0.35 .·················· 2 分 因为抽取的 20 件产品中,等级编号为 4 的恰有 3 件,所以 b = 等级编号为 5 的恰有 2 件,所以 c =

3 = 0.15 . 20

2 = 0.1 .························································· 4 分 20

从而 a = 0.35 ? b ? c = 0.1 . 所以 a = 0.1 , b = 0.15 , c = 0.1 .············································································ 6 分 (Ⅱ)从产品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,所有可能的结果为:

( x1 , x2 ) , ( x1 , x3 ) , ( x1 , y1 ) , ( x1 , y2 ) , ( x2 , x3 ) , ( x2 , y1 ) ,

( x2 , y2 ) , ( x3 , y1 ) , ( x3 , y2 ) , ( y1 , y2 ) 共 10 种.····························································· 8 分
设事件 A 表示“从产品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其等级编号相同”,则 A 包含的基本 事件为:

( x1 , x2 ) , ( x1 , x3 ) , ( x2 , x3 ) , ( y1 , y2 ) 共 4 种.······························································· 10 分
4 = 0.4 . ············································································· 12 分 10 ?? ? 1 3 1 3 18.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) = m ? n = cos 2 x ? sin 2 x + 2sin 2 x = 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 2 2 π = 1 ? sin(2 x + ) .········································································································ 4 分 6 2π 所以其最小正周期为 T = = π .···············································································6 分 2 π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) = 1 ? sin(2 x + ) , 6 π π π 7π 又∵ x ∈ [0, ],∴ 2 x + ∈ [ , ], 2 6 6 6 π 1 sin(2 x + ) ∈ [ ? ,1] .····························································································· 6 2 P 3 所以函数 f ( x ) 的值域为 [0, ] .················································································ 2
故所求的概率 P( A) = 19.证明: (Ⅰ)∵ EF // CD , CD // AB ,∴ EF // AB , 又∵ EF ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,

E F O D C

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∴ EF // 平面 PAB . ……………………6 分 (Ⅱ) 在线段 AD 上存在一点 O ,使得 BO ⊥ 平面 PAC , 此时点 O 为线段 AD 的四等分点, 且 AO =

1 AD , 4

…………………… 8 分

∵ PA ⊥ 底面 ABCD ,∴ PA ⊥ BO , 又∵长方形 ABCD 中,△ ABO ∽△ ACD ,∴ AC ⊥ BO ,······························· 10 分 又∵ PA ∩ AC = A ,∴ BO ⊥ 平面 PAC .····························································12 分 20.解: (Ⅰ) f ′( x) = a ? 1 ax ? 1 = ,················································································ 1 分 x x

当 a ≤ 0 时, f ′( x) ≤ 0 在 (0,+∞) 上恒成立,函数 f ( x) 在 (0,+∞) 单调递减, ∴ f ( x) 在 (0,+∞) 上没有极值点;····················································································3 分 当 a > 0 时, f ′( x) ≤ 0 得 0 < x ≤ 1 1 , f ′( x) ≥ 0 得 x ≥ , a a

1 ? 1? ?1 ? ∴ f ( x) 在 ? 0, ? 上递减,在 ? ,+∞ ? 上递增,即 f ( x) 在 x = 处有极小值.··············· 5 分 a ? a? ?a ? ∴当 a ≤ 0 时 f ( x) 在 (0,+∞) 上没有极值点,当 a > 0 时, f ( x) 在 (0,+∞) 上有一个极值点. (Ⅱ)∵函数 f ( x) 在 x = 1 处取得极值,∴ a = 1 , ∴ f ( x) ≥ bx ? 2 ? 1 + 令 g ( x) = 1 + 1 ln x ? ≥ b ,··············································································8 分 x x

1 ln x ? ,可得 g ( x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,+∞ 上递增,·····················10 分 x x

(

]

[

)

1 .································································ 12 分 e e2 p 17 21.解: (Ⅰ)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 + = , 2 4 1 ∴ p = ,即抛物线 C 的方程为 y 2 = x .································································2 分 2
∴ g ( x) min = g (e 2 ) = 1 ? 1
2

,即 b ≤ 1 ?

(Ⅱ)法一:∵当 ∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ k HE = ?k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 yH ? y1 y ? y2 =? H ,∴ 2 =? H , 2 2 2 xH ? x1 xH ? x2 yH ? y1 yH ? y2

∴ y1 + y2 = ?2 yH = ?4 . ························································································· 5 分
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k EF =

y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 = 2 = = ? .······························································· 7 分 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 + y1 4
3,

法二:∵当 ∠AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ ∠AHB = 60 ? ,可得 k HA =

k HB = ? 3 ,∴直线 HA 的方程为 y = 3 x ? 4 3 + 2 ,
联立方程组 ?

? y = 3x ? 4 3 + 2 2 ,得 3 y ? y ? 4 3 + 2 = 0 , 2 y =x ? 3 , 3

∵ yE + 2 =

∴ yE =

3 ?6 13 ? 4 3 , xE = .········································································· 5 分 3 3 ? 3?6 13 + 4 3 1 , xF = ,∴ k EF = ? .································· 7 分 3 3 4

同理可得 y F =

(Ⅲ)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA =

y1 4 ? x1 ,∴ k HA = , x1 ? 4 y1

可得,直线 HA 的方程为 ( 4 ? x1 ) x ? y1 y + 4 x1 ? 15 = 0 , 同理,直线 HB 的方程为 ( 4 ? x 2 ) x ? y 2 y + 4 x 2 ? 15 = 0 , ∴ ( 4 ? x1 ) y 0 ? y1 y 0 + 4 x1 ? 15 = 0 ,
2

( 4 ? x 2 ) y 0 ? y 2 y 0 + 4 x 2 ? 15 = 0 ,······································································ 9 分
∴直线 AB 的方程为 ( 4 ? x) y 0 ? yy 0 + 4 x ? 15 = 0 , 令 x = 0 ,可得 t = 4 y 0 ?
2

2

15 ( y 0 ≥ 1) , y0

∵t' = 4+

15 > 0 ,∴ t 关于 y0 的函数在 [1, +∞) 上单调递增, 2 y0

∴当 y0 = 1 时, t min = ?11 .··················································································12 分 法二:设点 H (m , m )(m ≥ 1) , HM = m ? 7m + 16 , HA = m ? 7 m + 15 .
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2 2 4 2 2 4 2

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以 H 为圆心, HA 为半径的圆方程为 ( x ? m ) + ( y ? m) = m ? 7 m + 15 ,········· ① ⊙ M 方程: ( x ? 4) + y = 1 .···················································································② ①-②得: 直线 AB 的方程为 (2 x ? m ? 4)(4 ? m ) ? (2 y ? m) m = m ? 7 m + 14 .················9 分 当 x = 0 时,直线 AB 在 y 轴上的截距 t = 4m ? ∵t' = 4+
2 2 4 2 2 2

2 2

2

4

2

15 ( m ≥ 1) , m

15 > 0 ,∴ t 关于 m 的函数在 [1, +∞) 上单调递增, m2

∴当 m = 1 时, t min = ?11 .···················································································12 分 22.解: (Ⅰ)因为 OA = OC ,所以 ∠OAC = ∠OCA , ………………………………2 分 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ⊥ CD ,又因为 AD ⊥ CD ,所以 OC ∥ AD , 所以 ∠OCA = ∠CAD , ∠OAC = ∠CAD ,所以 AC 平分 ∠BAD .·····················4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC = CE ,·····················································································6 分 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ∠B = ∠CED ,所以△ DCE ∽△ ABC ,·······8 分

DE CB = ,所以 BC = 2 .············································································· 10 分 CE AB ? x = 2 cos α , 23.解:(Ⅰ) ? 且参数 α ∈ [ 0, 2π ] , ? y = 2sin α + 2.
所以 所以点 P 的轨迹方程为 x 2 + ( y ? 2)2 = 4 .··························································· 3 分 (Ⅱ)因为 ρ =

10

π 2 sin(θ ? ) 4 所以 ρ sin θ ? ρ cos θ = 10 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y + 10 = 0 .·········6 分 法一:由(Ⅰ) 点 P 的轨迹方程为 x 2 + ( y ? 2)2 = 4 ,圆心为 (0, 2) ,半径为 2. 1× 0 ? 1 × 2 + 10 d= = 4 2 ,所以点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 + 2 .············ 10 分 12 + 12 2 cos α ? 2sin α ? 2 + 10 π 7π 法 二 : d= , = 2 2 cos(α + ) + 4 , 当 α = 2 2 4 4 1 +1 d max = 4 2 + 2 ,即点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 + 2 .···································10 分
24.解: (Ⅰ)由 2 x ? a + a ≤ 6 得 2 x ? a ≤ 6 ? a ,∴ a ? 6 ≤ 2 x ? a ≤ 6 ? a , 即 a ? 3 ≤ x ≤ 3 ,∴ a ? 3 = ?2 ,∴ a = 1 .································································ 5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) = 2 x ? 1 + 1 ,令 ? ( n ) = f ( n ) + f ( ?n ) ,

,所以 2 ρ sin(θ ?

π ) = 10 , 4

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1 ? ?2 ? 4 n, n ≤ ? 2 ? 1 1 ? 则 ? ( n ) = 2n ? 1 + 2n + 1 + 2 = ?4, ? <n≤ 2 2 ? 1 ? 2 + 4n, n> ? 2 ?
∴ ? ( n ) 的最小值为 4,故 m ≥ 4 , ∴实数 m 的取值范围是 [ 4, +∞ ) .················································································ 10 分

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