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黄冈中学高考数学典型例题9:指数、对数函数


黄冈中学 高考数学典型例题详解 指数、对数函数
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握 两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.

●难点磁场 (★★★★★)设 f(x)=log2 1 ?
x 1? x

,F(x)=

1 2? x

+f(x).

(1)试判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2)若 f(x)的反函数为 f-1(x),证明:对任意的自然数 n(n≥3),都有 f-1(n)> (3)若 F(x)的反函数 F-1(x),证明:方程 F-1(x)=0 有惟一解.
n n ?1

;

●案例探究 [例 1]已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点, 分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方 程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托:(1)证明三点共线的方法:kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得 A 点坐标. 错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法: 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思 想去求得点 A 的坐标. (1)证明:设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知:x1>1,x2>1,则 A、B 纵 坐标分别为 log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以
log 8 x 1 x1 ? log 8 x 2 x2

,点

C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1=
log
8

x1

log 8 2 3 log x1

=

3 log 8 x 1 , log

2

x2 ?

log 8 x 2 log 8 2

?

3log8x2, 所 以 OC 的 斜 率 :

k1=

log

2

x1

?

8

x2

x1

,

OD 的斜率:k2= 上.

log

2

x2

?

3 log 8 x 2 x2

x2

,由此可知:k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线

(2)解:由 BC 平行于 x 轴知:log2x1=log8x2

即:log2x1=

1 3

log2x2,代入

x2log8x1=x1log8x2 得:x13log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1.又 x1>1, ∴x1=
3

,则点 A 的坐标为(

3

,log8

3

).

[例 2]在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?,对每个自然 数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(
a 10

)x(0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构

成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形. (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形, a 的取值 求 范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn} 前多少项的和最大?试说明理由. 命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起, 构成一个思维难度较大的综合题目, 本题主要考查考生对综合知识分析和运用的 能力.属★★★★★级题目. 知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析: 考生对综合知识不易驾驭, 思维难度较大, 找不到解题的突破口. 技巧与方法: 本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认 识,并会运用相关的知识点去解决问题. 解:(1)由题意知:an=n+ ,∴bn=2000(
2 1 a 10

)

n?

1 2

.

(2)∵函数 y=2000(

a 10

)x(0<a<10)递减, ∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2.则以
a 10

bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( 1>0,解得 a<-5(1+ (3)∵5(
5
2

)2+(

a 10

)-

)或 a>5(

5

-1).∴5(

5

-1)<a<10.

-1)<a<10,∴a=7
7 10

∴bn=2000(

)

n?

1 2

.数列{bn}是一个递减的正数数列,对每个自然数 n≥

2,Bn=bnBn-1.于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1,因此数列{Bn}的最大 项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1,由 bn=2000(
7 10

)

n?

1 2

≥1 得: n≤20.8.∴n=20.

●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有: (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握 函数的图象和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.

●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和,如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(-∞,+∞),那么( )

A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2) B. 3.(★★★★★)已知函数 f(x)= ?
?2 x ? log 2 ( ? x ) ( x ? 0) (?2 ? x ? 0)

.则 f--1(x-1)=_________.

4.(★★★★★)如图,开始时,桶 1 中有 a L 水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= ae-nt,那么桶 2 中水就是 y2=a-ae-nt,假设过 5 分 钟时,桶 1 和桶 2 的水相等,则再过_________分 钟桶 1 中的水只有
a 8

.

三、解答题 5.(★★★★)设函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图 象上的点时,点 Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1)写出函数 y=g(x)的解析式; (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.

6.(★★★★)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞), 判断 [f(x1)+f(x2)]与 f(
2 1 x1 ? x 2 2

)的大小,并加以证明.

7.( ★ ★ ★ ★ ★ ) 已 知 函 数

x,y

满 足

x ≥ 1,y ≥

1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠1),求 loga(xy)的取值范围.

8.(★★★★)设不等式 2(log 1 x)2+9(log 1 x)+9≤0 的解集为 M,求当 x∈M 时
2 2

函数 f(x)=(log2

x 2

)(log2 x )的最大、最小值.
8

参考答案 难点磁场 解:(1)由 1,则 F(x2)-F(x1)=(
1 2 ? x2 ? 1 2 ? x1

1? x 1? x

>0,且 2-x≠0 得 F(x)的定义域为(-1,1),设-1<x1<x2<

)+( log 2

1 ? x2 1 ? x2

? log

1 ? x1
2

1 ? x1

)

?

x 2 ? x1 ( 2 ? x 1 )( 2 ? x 2 )

? log

(1 ? x 1 )( 1 ? x 2 )
2

(1 ? x 1 )( 1 ? x 2 )

,

∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1. 因此 F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数. (2)证明:由 y=f(x)= log 2
2 2
x x

1? x 1? x

得:2y=

1? x 1? x

,x ?

2 2

y y

?1 ?1

,

∴f-1(x)=

?1 ?1

,∵f(x)的值域为 R,∴f--1(x)的定义域为 R.
2 ?1
n

当 n≥3 时,f-1(n)>

n n ?1

?

2 ?1
n

?

n n ?1

? 1?

2 2 ?1
n

?1?

1 n ?1

? 2 ? 2n ? 1.
n

用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略. (3)证明:∵F(0)= ,∴F-1( )=0,∴x= 是 F-1(x)=0 的一个根.假设 F-1(x)=0
2 2 2 1 1 1

还有一个解 x0(x0≠ ),则 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的, F-1(x)=0 故
2 2

1

1

有惟一解.

歼灭难点训练 一、1.解析:由题意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) ① 又 g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1) ② 由①②得:g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- .
2 2 x x

答案:C 2.解析: a>1 时, 当 函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选, a>1 时, 又 y=(1 -a)x 为减函数. 答案:B

二、3.解析:容易求得 f-

-1

(x)= ?

? log ?? 2

2 x

x

( x ? 1) ( x ? 1)

,从而:

f-1(x-1)= ?

? log 2 ( x ? 1), ( x ? 2 ) ?? 2
x ?1

,

( x ? 2 ).

答案: ?

? log 2 ( x ? 1), ( x ? 2 ) ?? 2
x ?1

,

( x ? 2)
1

4.解析:由题意,5 分钟后,y1=ae-nt,y2=a-ae-nt,y1=y2.∴n= ln2.设再过 t 分
5

钟桶 1 中的水只有 答案:10

a 8

,则 y1=ae-n(5+t)= ,解得 t=10.
8

a

三、 5.解: (1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x-2a,y′=-y.即 x=x′+2a,y= -y′. ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x-3a)的图象上, ∴-y′=loga(x′+2a-3a),即 y′ =loga
x 1
2

? a

,∴g(x)=loga

1 x ? a

.
1 x ? a

(2)由题意得 x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; ∴0<a<1,∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga
1

=

1 ( a ? 3) ? a

>0,又 a>0 且 a≠1,

x ? a

|=|loga(x2-4ax+3a2)|·|f(x)-g(x)|

≤ 1, ∴ - 1 ≤ loga(x2 - 4ax+3a2) ≤ 1, ∵ 0 < a < 1, ∴ a+2>2a.f(x)=x2 - 4ax+3a2 在 [a+2,a+3]上为减函数,∴μ (x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函数, 从而[μ (x)]max=μ (a+2)=loga(4-4a),[μ (x)]min=μ (a+3)=loga(9-6a),于是所
?0 ? a ? 1 ? 求问题转化为求不等式组 ? log a ( 9 ? 6 a ) ? ? 1 的解. ? log ( 4 ? 4 a ) ? 1 a ?

由 loga(9-6a)≥-1 解得 0<a≤ ∴所求 a 的取值范围是 0<a≤

9? 12 57

57

,由 loga(4-4a)≤1 解得 0<a≤ ,
5

4

9? 12

.

6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, ∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(
x1 ? x 2 2 2

) (当且仅当 x1=x2 时取“=”号), ),
x1 ? x 2 2

当 a>1 时,有 logax1x2≤loga( ∴ logax1x2≤loga(
2 1 x1 ? x 2 2

x1 ? x 2 2 2 1

), (logax1+logax2)≤loga
2

,



1 2

[

f(x1)+f(x2)]≤f(

x1 ? x 2 2

)(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)
x1 ? x 2 2 2 1

当 0<a<1 时,有 logax1x2≥loga( ∴ (logax1+logax2)≥loga
2 1 x1 ? x 2 2

),
x1 ? x 2 2

,即 [f(x1)+f(x2)] ≥f(
2

)(当且仅当 x1=x2

时取“=”号). 7.解: 由已知等式得: a2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay log -1)2=4,令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐 标系 uOv 内,圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=-u+k 有公共点,分 两类讨论. (1)当 u≥0,v≥0 时, a>1 时, 即 结合判别式法与代点法得 1+ (2)当 u≤0,v≤0,即 0<a<1 时,同理得到 2(1- a>1 时,logaxy 的最大值为 2+2 最大值为 1-
3
2 2

3

≤k≤2(1+
3

2

);

)≤k≤1-

.x 综上,当

,最小值为 1+
2

3

;当 0<a<1 时,logaxy 的

,最小值为 2-2

.

8.解:∵2( log 1 x)2+9( log 1 x)+9≤0
2 2

∴(2 log 1 x+3)(
2

log

1 2

x+3)≤0.
3 2

∴-3≤ log 1 x≤- .
2
? 3 2

即 log

1 2

( )-3≤ log 1 x≤ log 1 ( )
2
2 2

1

1

?

2

∴( )
2

1

?

3 2

≤x≤( )-3,∴2
2

1

2

≤x≤8

即 M={x|x∈[2

2

,8]}

又 f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1. ∵2
2

≤x≤8,∴ ≤log2x≤3
2

3

∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=-1;当 log2x=3,即 x=8 时,ymax=0.


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