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4.1.2圆的一般方程


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高中数学

必修二

4.1.2 圆的一般方程
【教学目标】
知识与技能 : (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一 般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程

.能用待定系数法求圆 的方程。 (3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发 现及分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质, 激励学生创新,勇于探索。 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知 条件确定方程中的系数,D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 课题引入: 问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限 性, 那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的 另一种形式——圆的一般方程。 探索研究:
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王新敞
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请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a 2 ? b 2 ? r 2 得

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
这个方程是圆的方程.



反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程, 它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得
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D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4

② ( 配方过程由学生去完成 ) 这个方程是不是

表示圆?
D (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程②表示(1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示以(- 2 , E 1 D 2 ? E 2 ? 4F - 2 )为圆心, 2 为半径的圆;
2 2

(2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解
2 2

x??

D E y?? 2, 2 ,即只表示一个点

D E 2 (- ,- 2 );
2 2 (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
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王新敞
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2 2 综上所述,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆

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2 2 2 2 只有当 D ? E ? 4F ? 0 时, 它表示的曲线才是圆, 我们把形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

的表示圆的方程称为圆的一般方程

? x ? 1?
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2

? y2 ? 4

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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数, 圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明 显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半 径。

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的

1 4x2 ? 4 y2 ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 一般方程的判断方法求解。但是,要注意对于 ? ? 来说,这里
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9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 4 .

例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和 圆心坐标。 分析: 据已知条件, 很难直接写出圆的标准方程, 而圆的一般方程则需确定三个系数, 而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
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2 2 解:设所求的圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

, ),C(4,2)在圆上, ∵ A(0,0), B(11 所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上
面的方程,可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组,
?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 即?

解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0

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2 2 ∴所求圆的方程为: x ? y ? 8x ? 6 y ? 0

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r?

1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ? D ? 4,? F ? ?3 2 2 ; 2

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得圆心坐标为(4,-3).
2 2 2 2 或将 x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程,( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ,从而

求出圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3)

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学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、 根据提议,选择标准方程或一般方程; ②、 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③、 解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。

? x ? 1? 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上

2

? y2 ? 4

运动,

求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程

? x ? 1?

2

? y2 ? 4

。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的

条件,求出点 M 的轨迹方程。 解:设点 M 的坐标是(x,y),点 A 的坐标是

3? 且M是线段AB的重点,所以 ? x0 , y0 ?.由于点B的坐标是? 4,

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x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?
2


2

2 2 因为点A在圆 ? x ? 1? ? y ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y ? 4 ,即

? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4 ? y0 2 ? 4

2


2 2

把①代入②,得

3? ? 3? ? 2 2 整理,得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 2? ? 2? ?
?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

小结 :
2 2 1.对方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆)
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2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。
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