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高中数学选修2-1椭圆(7课时)


共7课时 备课内容: 1、2.2.1椭圆及其标准方程 2、2.2.2椭圆的简单几何性 质

教学目标: 1、理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭 圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推 导过程及化简无理方程的常用的方法 2、掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决 实际问题;通过例题了解椭圆的第二定义,准线 及焦半径的概念, 教学重点与难点 1、重点:掌握椭圆的标准方程,理解坐标法的 思想 2、难点:椭圆标准方程的推导与化简,坐标法 的应用

第一课时

美图欣赏

“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

太 阳 系

?自然界处处存在着椭圆,我们如

何用自己的双手画出椭圆呢?
阅读教材38页探究

1、椭圆的定义:
F1

M

F2

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距。

MF1 ? MF2 ? 2a
F1 F2 ? 2c

2a ? 2c ? 0时, 为椭圆

思考:是否平面内到两定点之间的距离 和为定长的点的轨迹就是椭圆? 结论:(若 PF1+PF2为定长)
1)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2 满足PF1+PF2> F1F2时,P点的轨迹是椭圆。 2)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2 满足PF1+PF2= F1F2时,P点的轨迹是一条线 段F1F2 。 3)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2 满足PF1+PF2< F1F2时,P点没有轨迹。

生活中有椭圆, 生活中用椭圆。

?提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢?

? 求动点轨迹方程的一般步骤:

坐标法

回忆求曲 线方程推 导步骤

1、建立适当的坐标系,用有序实数对 (x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 P(M) ; 3、用坐标表示条件P(M),列出方程 ; 4、化方程为最简形式。

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y

y F2
M xx x
O

M

O 2 F

x F1

x

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)

y

设M (x, y)是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0),

M(x , y) x F1 0 F2

则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

M与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
| 由椭圆的定义得,限制条件: M F1 | ? | M F2 |? 2a

由于 得方程

| M F1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 ,| M F2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a 2 ? cx ? a
两边再平方,得

( x ? c) 2 ? y 2

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2
两边除以 a b 得
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

2

2

椭圆的标 准方程

刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程, 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢?
由椭圆的定义得,限制条件: | PF | ? | PF2 |? 2a 1 由于
得方程
| PF1 |? x 2 ? ( y ? c) 2 , | PF2 |? x 2 ? ( y ? c) 2

x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?) ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 焦点在x轴   x ? c) 2 ? y 2 ? (

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

O
F2 (c,0) X
2

X
F1(0,-c)

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之 求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。 (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点就在哪一 个轴上。并且哪个大哪个就是a2

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1
O

F2

x

O

x

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

(练习)口答:
x2 y 2 1. 2 ? 2 ? 1, a= 5 ,b= 3 ; 则 5 3 x2 y 2 2. 2 ? 2 ? 1, a= 6 ,b= 4 则 4 6
x2 y2 3. ? ? 1 9 6 x2 y2 4. ? ? 1 7 4

; ;

则a= 3 ,b= 6

则a =

7 ,b= 2



例1.求下列椭圆的焦点坐标,以及椭圆上
每一点到两焦点距离的和。
x2 (1) ? y 2 ? 1 4 x2 y2 (2) ? ?1 4 5 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b
(3)4 x 2 ? 3 y 2 ? 4

解:椭圆方程具有形式 因此 c ?
a 2 ? b2 ? 4 ?1 ? 3

其中

a ? 2, b ? 1

两焦点坐标为

(? 3,0), ( 3,0)

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为

2a ? 4

课外作业 P42 1,2

小结:
一种方法: 求椭圆标准方程的方法 二类方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 2 a b a b

三个意识: 求美意识, 求简意识,前瞻意识

第二课时

复习回顾:椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点
a,b,c之间

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)

的关系

c2=a2-b2

求法: 一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值.

练习1.下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 ,b 2 ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ? 1 (4)9 x 2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0 16 16 x2 y2 (5) ? 3 x 2 ? 2 y 2 ? ?1 ( 2) ? ?1 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 (3) 2 ? 2 ? 1 (6) 24 ? k 16 ? k m m ?1

?

例.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0) (4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10, 求椭圆的标准方程。 解: ∵椭圆的焦点在x轴上
.

∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2-c2=52-42=9

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
F1

2

2

y
M

o

F2

x

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 ? 9 ? 1

求椭圆的标准方程 (1)首先要判断类型, (2)用待定系数法求 a, b 椭圆的定义
a2=b2+c2

例1 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是
5 3 (-2,0)和(2,0),并且经过 ( , ? ) , 2 2

求出椭圆的标准方程。

y

F1 (?2, 0)

F2 (2, 0)
5 3 M ( ,? ) 2 2

x

解: 椭圆的焦点在x轴上, 设椭圆的标准方程为 ? ? x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
由椭圆的定义知:

2a ?| MF1 | ? | MF2 |

5 3 5 3 2 2 2 即:a ? ( ? 2) ? (? ? 0) ? ( ? 2) ? (? ? 0) 2 2 2 2 2 2

? 2 10

? a ? 10

所以b2 ? a 2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 又因为c ? 2,
因此:所求椭圆的标准方程为: x y ? ?1 10 6
2 2

想一想:本例还有其它解法吗?
提示:1.设椭圆的标准方程为: x y ? 2 ?1 2 a a ?4
5 3 2.?椭圆过( , ) 2 2 ?该点的坐标满足上边的方程,代入方程,可解a
2 2

1 1 1 变式引申:求焦点在y轴上,且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭圆的标准方程.
y x 解:设所求椭圆的方程为 + = 1, a b 1 1 1 将A( , ), B(0, - )代入得: 3 3 2 2 ? 1 2 ?1? ?? ? ? ? ? ? ?? 3 ? + ? 3 ? =1 ? ? a2 b2 , ? 2 ?? 1 ? ??- ? ?? 2 ? =1 ? a2 ? 1 ? 2 a = , ? ? 4 解得: ? ? b2 = 1 . ? 5 ? y x 故所求椭圆的标准方程为 + = 1. 1 1 4 5
2 2 2 2 2 2

?思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉,怎么办?

1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上;

2.b=1, ? 15,焦点在y轴上 c
3、若椭圆满足: a=5 , c=3 ,

求它的标准方程。

课堂练习: 优化设计做一做 课外作业 P49 习题2.2 A组2

第三课时

复习回顾:椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点
a,b,c之间

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)

的关系

c2=a2-b2

求法: 一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值.

例2.在圆x + y = 4上任取一个点P,过点P作
2 2

x轴的垂线PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线 段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
解 : 设点M的坐标为(x, y),点P的坐标为(x , y ), 则
0 0

点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M x + y = 4. ①
2 0 2 0

y . 2 分析:点P在圆x + y = 4上,所以 因为点P(x , y )在圆xy += 4上运动,点P的运动引起 x = x ,y =
0 0

2

2

2

2

0

0

与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方 把x = x, y = 2y代入方程①, 得
0 0

x + 4y = 4, 程得到点M的坐标所满足的方程.
2 2

即 x + y =1. 4 所以点M的轨迹是一个椭圆.
2 2

例3 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0). 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? 4 ,求 9 点M的轨迹方程.
y

M

A

o

B x

巩固练习
x y 1.如果椭圆 + =1上一点P到焦点F的距离等于6,那么点P到 100 36 另一焦点F的距离是( 14 ).
2 2 1 2

x y 2.椭圆 + =1的焦点坐标是( m - 2 m +5 A.( ?7,0) B.(0, ?7)
2 2

D

).

C.( ? 7,0)

D.(0, ? 7 )

5 3 3.两个焦点的坐标是(-2,0),(2,0), 且经过点P( ,- )的椭圆方程 2 2 是( D ). x y A. + =1 10 6 x y C. + =1 9 6
2 2 2 2

y x B. + =1 10 6 y x D. + =1 9 6
2 2 2 2

x y 4.椭圆 + =1的焦距是2( m 4 A.5 A.5或8
2 2

C

).

C.3或5
2

D.20
2

x y 5.已知经过椭圆 + = 1的右焦点F 作垂直于x轴 25 16 的直线AB, 交椭圆于A, B两点,F 是椭圆的左焦点.
2 1

(1)求△AF B的周长;
1

(2)如果AB不垂直于x轴,△AF B的周长有变
1

化吗?为什么?

一、二、二、三
一个概念; 二个方程; 二个方法: |MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b
y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0 ?

去根号的方法;求标准方程的方法

三个意识:求美意识, 求简意识,

猜想的意识。

练习:
P42 练习题4

作业
P49 习题2.2 A组第7题

2.2.2

椭圆的简单几何性质
第四课时

一、复习回顾:

1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a (大于|F1F2 |)的动点M的轨迹叫做椭圆。

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程: 2

x y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 当焦点在X轴上时 2 a b 2 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 当焦点在Y轴上时 2 a b 3.椭圆中a,b,c的关系: a2=b2+c2 ,a ? b ? 0) (

椭圆的一般方程

Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)

二、导学导思:

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的范围是什么? [2] 椭圆有几条对称轴?几个对称中心? [3]上述方程表示的椭圆有几个顶点?顶点坐标是什么? [4]2a 和 2b表示什么? a和 b又表示什么? [5]椭圆离心率是如何定义的?范围是什么?

2

2

[6]如何通过椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度?

一、椭圆的范围 -a
o

y

b a
x

x y x 由 2 ? 2 ?1? 2 a b a

2

2

2

-b 2 y ? 1和 2 ? 1 b

即: ? a和 y ? b x
结论:椭圆位于直线x=±a和y=±b围成 的矩形里.
即 -a≤x≤a -b ≤y≤b

二、椭圆的对称性

y

F1 O 结论:椭圆既是轴对称图形, 又是中心对称图形
对称轴是x轴和y轴,对称中心是原点 中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

F2

x

x2 y 2 小试身手:1.已知点P(3,6)在 2 ? 2 ? 1 上,则( a b

)

(A) 点(-3,-6)不在椭圆上 (B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上

C

三、椭圆的顶点
顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,叫做椭 圆的顶点。 y
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
令x=0,得y=?说明椭圆
A1(-a,0)
2 2

B1(0,b) o
A2(a,0 x )

与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=?说明椭圆 与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)

B2(0,-b)

三、椭圆的顶点
长轴、短轴:线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长 A1 轴和短轴。

y B1(0,b)

o
B2(0,-b)

A2 x

a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。

思考:椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系?

焦点落在椭圆的长轴上

椭圆的简单几何性质
长轴:线段A1A2; 长轴长 |A1A2|=2a 短轴:线段B1B2; 短轴长 |B1B2|=2b 焦 距 |F1F2| =2c

注意

B2(0,b)

y

①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)

b F1 a

a

长半轴长和短半轴长;


o

c

A2 (a, 0) F2

x

|B a2=b2+c2, 2F2|=a;

B1(0,-b)

③焦点必在长轴上;

小 结:
由椭圆的范围、对称性和顶点, 再进行描点画图,只须描出较少的 点,就可以得到较正确的图形.

四、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率.
[1]离心率的取值范围:因为 a > c > 0,所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响:

观察思考:随着c的变化,b是如何变化的? 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a,e就越接近 1,b就越小,椭圆就越扁 2)c 越接近 0,e就越接近 0,b就越大,椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合)e =0,则 b= a, 椭圆方程变为x2+ y2=a2(圆)

结论:离心率e越大,椭圆越扁; 离心率e越小,椭圆越圆

小试身手:
3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?

x y x y (1) + =1与 ? ? 1; 9 5 16 12 2 2 2 x y 2 y (2)x + =1与 ? ? 1。 2 6 10
2 2 2

2

根据:离心率e越大,椭圆越扁; 离心率e越小,椭圆越圆

练习1: 比较下列每组椭圆的形状,哪一个 更圆,哪一个更扁?为什么?

x y (1)9 x ? y ? 36与 ? ? 1; 16 12 2 2 x y 2 2 (2)x ? 9 y ? 36与 ? ? 1。 6 10
2 2

2

2

练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则其离心率 为
2 2



2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形,则 1 其离心率为 。 2 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分,则其离心率 1 为 。 3 4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列,

3 则其离心率e=__________ 5

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴 长为b. (a>b)

(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 长半轴长为a,短半轴 长为b.(a>b)

c e ? a

c e ? a

a2=b2+c2 (a ? b ? 0)

a2=b2+c2 (a ? b ? 0)

x2 y2 课堂小结用曲线的图形和方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

来研究椭圆的简单几何性质
y
B2(0,b)
A1 (-a, 0) O

A2 (a, 0)

x

B1(0,-b)

一个框,四个点, 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现.

小试身手:

2.说出椭圆 的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:

x y2 ? ?1 9 16

2

?3 ? x ? 3, ?4 ? y ? 4 2a ? 8, 2b ? 6 (0, ? 7 )

(0, ?4), (?3, 0)

课堂练习:P48页1,5

课外作业:P49页习题2.2A组3

2.2.2

椭圆的简单几何性质
第五课时

标准方程 图象

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴,y轴,原点对称

|x|≤ b,|y|≤ a




? a ,0
(

);(0,? b)

c, ? 0)

?b ,0 ); (0, ? a) (0, ? c)

长半轴长为a,短半轴长为b.

焦距为2c
a2=b2+c2 a>b>0 a>c>0

c e ? a

例4:已知椭圆方程为16x2+25y2=400,则 它的长轴长是: 10 焦距是: 6 焦点坐标是: ;短轴长是: 8 ; ;

;离心率等于:

; (?3,0);顶点坐标是: (?5,0) (0, ?4)

3 5

外切矩形的面积等于:

80



解题步骤:

1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b:

2、确定焦点的位置和长轴的位置.

练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在x轴上,设椭圆方程为:
x y + 2 = 1(a > b > 0), 2 a b ?a ? 2b ?a ? 2 5 ? 依题意有: ? 得: ? ? 16 1 ?b ? 5 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a b
x y 故椭圆方程为: + = 1. 20 5
2 2

2

2

练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解: 若焦点在y轴上,
4x 同理求得椭圆方程为: ? ? 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为:

y

2

2

x

2

20

?

y

2

5

?1 或

y

2

65

?

x

2

65 4

? 1.

复习练习:
1.椭圆的长短轴之和为18,焦距为6,则椭圆 的标准方程为( C ) 2 2 2 2 x y x y A. ? ? 1. B. ? ? 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. ? ? 1或 ? ? 1. D. ? ?1 25 16 16 25 16 25
2、下列方程所表示的曲线中,关于x轴和y 轴 都对称的是( D ) A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
P48 1. 经过点P(-3,0)、Q(0,-2);
注意:焦点落在椭圆的长轴上

3 2. 长轴的长等于20,离心率等于 5 .
注意:不知道焦点落在哪个坐标轴上, 必须讨论两种情况

练习
2.离心率为 方程为 多少?
3 ,且过点(2,0)的椭圆的标准 2

x
4

2

? y ? 1; x 4
2

2

y ?

2

16

? 1.

课外作业:48页2、3 49页4

2.2.2

椭圆的简单几何性质
第六课时

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

图象

范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴,y轴,原点对称

|x|≤ b,|y|≤ a




? a ,0
(

);(0,? b)

c, ? 0)

?b ,0 ); (0, ? a) (0, ? c)

长半轴长为a,短半轴长为b.

焦距为2c
a2=b2+c2 a>b>0 a>c>0

c e ? a

例5、如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆 面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面) 的一部分。 过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的 一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个 焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一 个焦点F2。已知AC?F1F2,|F1A|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm, 求截ABC所在椭圆的方程。

解:如图建立直角坐标系, 设所求椭圆方程为 A B F1 C

y

x y ? 2 ?1 2 a b
在Rt△AF1F2中,

2

2

O

F2

x

| AF2 |? | F1 A |2 ? | F1 F2 |2 ? 2.82 ? 4.52
由椭圆的性质知,

| F1 A | ? | F2 A |? 2a

1 所以 a ? (| F A | ? | F A |) 1 2 2 1 2 2 ? (2.8 ? 2.8 ? 4.5 ) 2 ? 4.1 2 2 b ? a ?c

? 4.12 ? 2.25 2 ? 3.4
所求的椭圆方程为

x y ? ?1 2 2 4.1 3.4

2

2

25 例 2:点M (x, y )与定点F (4, 0)的距离和它到直线l : x ? 4 4 的距离的比是常数 ,求点M 的轨迹. 25 5
解 : 设 d是点 M到直线 l : x ? 迹就是集合 4 MF 4 ? }, P ? {M d 5 ( x ? 4) ? y 4 ? . 25 5 ?x 4
2 2

的距离 , 根据题意 , 点 M的轨

d

H

由此得

将上式两边平方 , 并化简得 9 x 2 ? 25 y 2 ? 225,
x2 y2 ? ?1 即 25 9 所以, 点 M的轨迹是焦点在 x轴,长轴、短轴长分别 为

x2 y2 ? ?1 10、的椭圆,其轨迹方程是 6 25 9

小结:求曲线方程的步骤
1.建立适当的坐标系,设动点坐标(x,y); 2.寻找动点满足的几何条件; 3.用坐标公式表示条件; 4.化简;

AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

y2 ? y1 k? x2 ? x1

2.2.2

椭圆的简单几何性质
第七课时

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的存在范围是什么?
[2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴?几个对称中心? [3]椭圆有几个顶点?顶点是谁与谁的交点? [4]对称轴与长轴、短轴是什么关系? [5]2a 和 2b是什么量? a和 b是什么量?

回顾

[6]关于离心率讲了几点?

例7:已知椭圆 圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最 小距离是多少? 解:设直线m平行于直线l, 则直线m的方程可写成 由方程组
4x ? 5 y ? k ? 0
x y ? ?1 25 9
2 2

x2 y 2 4 ? ? 1 ,直线l: x ? 5 y ? 40 ? 0.椭 25 9

l

m

4x ? 5 y ? k ? 0

消去y

m

得 25x2 ? 8kx ? k 2 ? 225 ? 0 ① 令方程①的根的判别式?=0,得 k1 ? 25, k2 ? ?25 如图可知,当k=25时,直线m与椭圆的交点到 4x 直线l的距离最近,此时直线m的方程为? 5 y ? 25 ? 0 直线m与直线l的距离为 15 41,即最小距离为 15 41 41 41

直线与椭圆的位置关系 :
x2 y2 直线和椭圆方程分别为: Ax ? By ? C ? 0 , 2 ? 2 ? 1 a b

y

y

y

F1

o

F2

x

F1

o

F2

x

F1

o

F2

x

? Ax ? By ? C ? 0 ? 则由? x 2 y 2 ? a/ x2 ? b/ x ? c/ ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

若二次方程 的判别式为 ?,则 ? ? 0 ? 直线和椭圆相交,有两个公共点; ? ? 0 ? 直线和椭圆相切,有一个公共点; ? ? 0 ? 直线和椭圆相离,无公共点。

一、直线和椭圆的位置关系P48
1、求下列直线和椭圆的交点坐标:

x2 y2 ( )x ? 10 y ? 25 ? 0, 13 ? ? 1; 25 4 2 2 x y ( 2)3 x ? y ? 2 ? 0, ? ? 1. 16 4
8 ( )(3, ) 1 ; 5 48 70 ( 2) 0,2) ? ( ,( ,? ). 37 37

通过直线方程和椭圆方程联立成方程组, 解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。

2、弦长公式: 设 弦端点 A( x1,1) , ( x2 , 2) ,则 y B y
? f ( x, y ) ? 0 ? 消去 y 得:ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ?y ? kx ? m

| AB | ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? (k x1 ? k x2 )2 ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 1 ? k 2 (? b )2 ? 4 c a a ? 2 | AB | ? 1 ? k ? |a|

? f ( x, y ) ? 0 消去 x 得:a' y2 ? b' y ? c' ? 0 (a' ? 0) ? ?y ? kx ? m

1 ? | AB | ? 1 ? 2 ? k | a'|

练习:已知椭圆4 x 2 ? y 2 ? 1及直线y ? x ? m, (1)当直线与椭圆有公共点时,求m的范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
y

解:)将y ? x ? m代入椭圆 (1

1

4 x 2 ? ( x ? m) 2 ? 1 ? 0

? 5x ? 2mx ? m ? 1 ? 0
2 2

O

1 2

x

?直线与椭圆有公共点,
? ? ? 4m 2 ? 20(m 2 ? 1) ? 0
??
所以当 ?

5 5 ?m? 2 2
5 5 ?m? 时,直线与椭圆有公共点 2 2

练习:已知椭圆4 x 2 ? y 2 ? 1及直线y ? x ? m, (1)当直线与椭圆有公共点时,求m的范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
y

(2)将y ? x ? m代入椭圆

1
B A
O
1 2

? 5x 2 ? 2mx ? m2 ? 1 ? 0

由弦长公式得:
? | AB |? 1 ? k 2 ? 1 ? 12 |a|
2 2 ? 5 ? 4m 2 5

x

4m 2 ? 20 (m 2 ? 1) 5

2 10 ?当m ? 0时,AB |max ? | 5

此时,直线方程为y ? x

求弦中点的方法 ? f1 ( x,y ) ? 0 (直线) 解1:设弦中点为M ( x,y ),则由? ? f 2 ( x,y ) ? 0 (椭圆) ?消 y?? 一元二次方程 ?或 x ? ? ?? ? x1 ? x2 y1 ? y2 由韦达定理得 x ? ,y ? . 2 2 解2:设弦中点为M ( x,y),A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),
x12 y12 则 2 ? 2 ? 1??[1] a b 2 2 x2 y 2 ? 2 ? 1??[2] 2 a b

差分法

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 由 [1] ? [2] 得: ? ?0 2 2 a b

练习:50页1 作业:49页6,7


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