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【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《等比数列》 Word版含解析


等比数列
【选题明细表】 知识点、方法 等比数列基本运算 等比数列的性质 等比数列的判定 综合应用问题 题号 4、5、8 3、7、10 1、9、11 2、6、12

一、选择题 1.{an},{bn}是项数相同的等比数列,则下列数列中:①{an+bn};②{an·bn};③{c+an}(c≠0);④ {c·an·bn}(c≠0);⑤ 中,等比数列有(

B )

(A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 解析:若{an},{bn}为等比数列,则{an·bn},{c·an·bn}, 均为等比数列.故选 B.

2.(2013 杭州师大附中)已知数列{an}为等比数列,且 a1a13+2 ( C ) (A)± (B)-

=4π ,则 tan(a2a12)的值为

(C)

(D)-

解析:∵a1a13= ,a2a12= ,∴ = ,

∴tan(a2a12)=tan

=tan =

,故选 C.
* 2n

3.(2013 温州市八校联考)已知等比数列{an }满足 an>0(n∈N ),且 a5a2n-5=2 (n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1 等于( B ) 2 2 (A)(n+1) (B)n 2 (C)n(2n-1) (D)(n-1) 解析:由等比数列的性质可知 a5a2n-5= , 又 a5a2n-5=2 , n 所以 an=2 . 2n-1 又 log2a2n-1=log22 =2n-1, 所以 log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1= 1+3+5+…+(2n-1)= =n ,
2 2n

故选 B. 4.(2013 年高考北京卷)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( B ) (A)a1+a3≥2a2 (B ) + ≥2 (C)若 a1=a3,则 a1=a2 (D)若 a3>a1,则 a4>a2 2 解析:选项 A,若 a1+a1q ≥2a1q, 2 即 a1q -2a1q+a1≥0, 2 a1(q -2q+1)≥0, 2 a1(q-1) ≥0, 因 a1 无法判断正负,故选项 A 错. 选项 B, +(a1q ) ≥2(a1q) , 即 + q ≥2 q , (q -2q +1)≥0 (q -1) ≥0, 因 >0,(q -1) ≥0 恒成立,故选项 B 正确. 选项 C,若 a1=a3,则 q =1,则 q=1 或 q=-1,故选项 C 错. 2 选项 D,若 a3>a1,则 a1·q >a1, 2 a1(q -1)>0, 2 若 a4>a2,即 a2q >a2, 2 则 a2(q -1)>0, 2 即 a1·q(q -1)>0, 因 q 无法判断正负,故选项 D 错. 故选 B. 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数 n 为( D ) (A)12 (B)14 (C)15 (D)16 解析:
2 3 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2

=q =2,由 a1+a2+a3+a4=1,

4

得 a1(1+q+q +q )=1, 即 a1· =1,∴a1=q-1,

又 Sn=15,即 ∴q =16, 4 又∵q =2, ∴n=16. 故选 D.
n

=15,

6.

函数 y=

的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能 )

成为该数列的公比的数是( B (A) (C) (B) (D)

解析:由题可知数列各项均为正数,不妨设等比数列为递增数列, 2 2 则首项的最小值为半圆(x-5) +y =16(y≥0)上的点到原点的最小距离,易知最小距离为圆心到 原点的距离减半径,即(a1)min=5-4=1, 同理第三项的最大值为(a3)max=5+4=9, 故等比数列的公比最大满足 = =9,

所以 qmax=3<

,

因此只有 B 项不满足条件. 故选 B. 二、填空题 7.若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1 a5= .

解析:由等比数列的性质可得

=a2a4=a1a5,所以 a1 a5=(a2a4) = .

2

答案: 8.(2013 贵州省遵义四中月考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S9=-36,S13=-104,等比数列{bn} 中,b5=a5,b7=a7,则 b6= . 解析:在等差数列{an}中,由 S9=-36,S13=-104 得,

即 解得 a1=4,d=-2. 所以 a5=a1+4d=-4, a7=a1+6d=-8, 所以 b5=-4,b7=-8, 在等比数列{bn}中, =b5b7=32,

所以 b6=± 答案:±4 9.

=±4

.

(2013 北京市海淀区高三上学期期末)数列{an}满足 a1=2 且对任意的 m,n∈N ,都有 =an,则 a3= ;{an}的前 n 项和 Sn= .

*

解析:∵

=an,

∴an+m=an·am, 3 ∴a3=a1+2=a1·a2=a1·a1·a1=2 =8; 令 m=1, 则有 an+1=an·a1=2an, ∴数列{an}是首项为 a1=2,公比 q=2 的等比数列, ∴Sn= =2 - 2.
n+1 n+1

答案:8 2 -2 三、解答题 10.一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的 4 倍,前 3 项之积为 64,求 此数列的通项公式. 解:设数列{an}的首项为 a1 ,公比为 q,全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶, 由题意知,S 奇+S 偶=4S 偶,即 S 奇=3S 偶. ∵数列{an}的项数为偶数,∴q= = .

又∵a1·a1q·a1q =64,∴ ·q =64,

2

3

即 a1=12.故所求通项公式为 an=12·

.
*

11.(2013 安徽六校联考)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N . (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列? (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{ cn}的前 n 项和,求 Tn. 解:(1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1), an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an, ∴an+1=4an, a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列. n (2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4 ,

bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4 +n, 0 1 n-1 Tn=c1+c2+…+cn=(4 +1)+(4 +2)+…+(4 +n) 2 n-1 =(1+4+4 +…+4 )+(1+2+3+…+n) = + .

n-1

12.(2013 南昌模拟)等差数列{an}中,公差 d≠0,已知数列 其中 k1=1,k2=7,k3=25. (1)求数列{kn}的通项公式; (2)若 a1=9,设 bn= + ,

,

,

,…,

,…是等比数列,

Sn= +

+

+…+ ,

Tn= + + +…+ . 试判 断数列{ Sn+Tn}的前 100 项中有多少项是能被 4 整除的整数. 解:(1)由题意,可得 即 =a1·a25, (a1+6d) =a1·(a1+24d), 2 2 所以 36d =12a1d,即 3d =a1d. 又因为公差 d≠0,所以 a1=3d, 所以 an=(n+2)d, 所以等比数列 , , ,…, ,…的公比是
2

=

·

,

q= = =3,

所以
n

=(kn+2)d=3d·3 ,

n-1

即 kn=3 -2. (2)由 a1=9 得 d=3, 则 =3 ,
n+1

所以 bn=

,

则 + =

-2

= =2×3 -2, 所以 Sn+Tn=2×
n

-2

-2n=3(3 -1)-2n.

n

当 n 为偶数时,3 -1=(8+1 -1= +…+ 所以 Sn+Tn 能被 4 整除. n+1 当 n 为奇数时,Sn+Tn=3 -1-2(n+1), 3 -1=(8+1
n+1

n

·8 能被 4 整除,2n 也能被 4 整除,

-1=

+…+

·8 能被 4 整除,2(n+1)也能被 4 整除,

所以 Sn+Tn 能被 4 整除, 所以数列{Sn+Tn}的前 100 项中有 100 项是能被 4 整除的整数.


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