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导与练2016高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业


1.3.2

球的体积和表面积

【选题明细表】 知识点、方法 球的表面积、体积 与球有关的三视图 与球有关的“切”、“接”问题 基础巩固 1.两个球的半径之比为 2∶3,那么这两个球的表面积之比为( B ) (A)2∶3 (B)4∶9 (C) ∶ (D)8∶27 题号 1、4、6、7、8、10 3、11 2、5、9

解析:设两球的半径分别为 r1,r2,表面积分别为 S1,S2, 则 = = = .

故选 B. 2.(2015 德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶 点都在一个球面上,则该球的表面积为( B ) 2 2 2 2 (A)3π a (B)6π a (C)12π a (D)24π a 2 2 解析:根据题意球的半径 R 满足(2R) =6a , 2 2 所以 S 球=4π R =6π a ,故选 B. 3.(2014 南安一中高一期末)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面 积是( D )

(A)9π (B)10π (C)11π (D)12π 2 2 解析:由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体,其表面积 S=4π R +2π r +2π r·h,代入数据得 S=4π +2π +2π ×3=12π .故选 D. 4.(2015 唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等, 圆柱、球的表面积分别记为 S1、S2,则 S1∶S2 等于( C ) (A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1 解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为 1, 则 S1=6π ,S2=4π . 所以 S1∶S2=3∶2,故选 C. 5.(2015 吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为 4,底面边长都 为 2,则这个球的表面积是 . 解析:长方体的体对角线长为 =2 ,球的直径是 2R=2 ,
-1-

所以 R=

, ) =24π .
2

所以这个球的表面积 S=4π (

答案:24π 6.(2015 河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个 2 直径为 6 cm,深为 1 cm 的空穴,则该球半径是 cm,表面积是 cm . 解析:

设球心为 O,OC 是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为 D,AB 为小圆 D 的一条 直径,设球的半径为 R,则 OD=R-1, 2 2 2 则(R-1) +3 =R , 解之得 R=5 cm, 2 2 2 所以该球表面积为 S=4π R =4π ×5 =100π (cm ). 答案:5 100π 7.(2015 大同一中高二(上)月考)如图所示(单位:cm)四边形 ABCD 是直角梯形,求图中阴影部分 绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和 体积.

解: S 球= ×4π ×2 =8π (cm ),

2

2

S 圆台侧=π (2+5) S 圆台下底=π ×5 =25π (cm ), 即该几何体的表面积为 2 8π +35π +25π =68π (cm ).
2 2

=35π (cm ),

2

又 V 圆台= ×(2 +2×5+5 )×4 =52π (cm ), V 半球= × ×2 =
3 3

2

2

(cm ).

3

所以该几何体的体积为

-2-

V 圆台-V 半球=52π -

=

(cm ).

3

能力提升 8.(2014 景德镇高二期末)已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的表面积为( C ) (A)153π (B)160π (C)169π (D)360π 解析:

如图,由题意得 BC=5, O1A= BC= ,

OO1= AA1=6,

则球半径 r=OA=

=

= , S 球=4π r =169π . 故选 C. 9.(2015 吕梁学院附中高二(上)月考)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为 ( A ) (A)1∶27 (B)1∶9 (C)1∶3 (D)9∶1 解析:设四面体的内切球半径为 r,外接球半径为 R,四面体各面面积为 S, 则 4× Sr= S(R+r), 解得 R=3r, 所以四面体的内切球和外接球的体积之比为 1∶27. 故选 A. 10.(2015 河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径 为 2,求球的体积.
2

-3-

解:如图所示,作出轴截面,

因为△ABC 是正三角形, 所以 CD= AC=2,

所以 AC=4,AD= ×4=2 因为 Rt△AOE∽Rt△ACD, 所以 = .

,

设 OE=R,则 AO=2

-R,

所以

= ,

所以 R=

.

所以 V 球= π R = π ·

3

=

.

所以球的体积等于 探究创新 11.一个半径为 1 的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,求剩余几何体的体积 和表面积.

解:如图,该几何体是把球的上半部分平均分为 4 份后,切去相对的两部分后剩余的几何体,体 积 V= π - π × =π ,

-4-

表面积 S=4π -4π × + π ×3×2

= .

-5-


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