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一直想写一篇Proof Without Words的整理


一直想写一篇 Proof Without Words 的整理,今儿恰好看到数吧大牛御坂 01034 的类似帖子 也算满足了本渣的一个心愿。这里全文搬运自数吧。全文的证明摘抄自各处。来自 Mathoverflow 的各路神牛,Nelson 的“Proof Without Words”,Matrix67 的博客,Aops 等等。 整理出来这样一个怪胎。希望大家喜欢。

/>五一“小长假”又到了尾声,我却没有任何假期的感觉。正好是期中考试的当头,期中各门考 试即将来袭。书桌前复习数学的我,面对着一个个抽象的符号,眼皮不禁一点点沉重…… “汝有何愿望!回答我!”突然一个威严的声音把我“喊醒”,难道我穿越了?看来睡眠穿也不 在少数呀。呃,怎么这时候我还在纠结这种问题?我突然困意全消:不要啊!虽然我穿越小 说看得很多,我却不想真正自己实施啊,我上有父母,家有娇……呃,家里还没有。在异界 多么危险啊,我可没 yy 小说里男猪脚踢北海,拳打南山的实力,况且我还有新番还没追呢。 于是我也俗套地学着 yy 猪脚喊道:“我只想回去!” “如你所愿!”那个声音说道。我不禁奇怪了:这种时候不应该是神灵说什么由于他打了个喷 嚏或掉了根头发,害得我已经回不去了,怎么这么大方呢?他手指一勾,一个漩涡又把我卷 走了。咦,为什么我要说“又”?没等我考虑,我陷入一阵意识模糊之中。 “欢迎来到数学位面! 我是位面之神 福尔帝· 斯力[Forty three]”一个戴着圆眼镜的老者,衔着香 烟,正在向我挥手。等我定下心来一看,他却是老泪纵横:“多少年了,都没有人选择到这 个位面来,今天总算来了一个爱好数学的人……” 我心中凉了半截, 前面那个不靠谱的神似乎弄错地方了?没等我回过神, 这位老者说道: “穿 越大神一般只对那些看够一亿字 yy 小说的人感兴趣,没想到骚年你居然是个奇才,能看了 那么多 yy 小说都不改变自己对数学的爱好。你最喜欢的是哪个方向啊?范畴论?偏微分方 程?数……”原来这就是没有数学家穿越过来的原因啊, 他们哪有空看 yy 小说?听说把妹的 时间都要挤出来呢。哎呀扯远了,看到老者还在说什么 ergodic,我打断了他。 “打住!打住!”我叫道,他的眼中充满了希望,多年寂寞似乎要再这点时间倾泻而出。面对 这样一位老者, 作为有中华民族传统美德尊老爱幼的我不好意思说自己不懂, 但又不想打碎 一个老者的希望,更重要的是,万一我惹恼了他,彻底回不去了怎么办?我只好装的很懂的 样子,说道:“那些数学符号太复杂了,我希望的是浅显点,但一眼就能让人看懂,但又精 妙的数学?不要是一堆符号的堆砌。”

他陷入了思索之中。俗话说:“顾客是上帝”,尽管店主也是上帝,但这样看来顾客称号的上 帝性要强于有店主性质的上帝?正在我胡思乱想时候,他说道:“你是这么多年来第一个提 这种要求的人。呃,当然这么多年也只有你这么一个人。算了,你可以去看看我的艺术品, 来看看是不是符合你的标准。”他吃掉了香烟,拽住了我的手。。 一阵强光闪过,我身边的景色变了,旁边的路牌上写着“初等数学镇组合村”。 “你对高斯算 1+2+…+n 故事熟悉吗?”他问到。我点头称是。说着,他把我带到了一张壁画 之前:只见壁画下方写着:

望画上一看:

我看了看,感觉实为不容易。这样的证明是我以前想都没想过的。但是这个证明却比较不是 难以想出。 我转向了旁边的墙壁,上面画着一些图片,与前面的大同小异:

“这个是我初中都晓得的”,我有点不屑,又转向了下一个区域:

从而证明了:

看着看着,我有点困了。这里的东西实在让我提不起神来,无非就是将 n 化作方块,然后利

用一些 trick 进行求和罢了。我催促他带我去看看其他地方。但他却把我拉到了其他一些方 块的面前:

同样能证明这个等式:

见到我有点呆滞近乎无聊的目光,他眼里的神色却越发闪动:“看来你也对数学的美比较挑 剔,对这些拙作就不入法眼了。”于是他又拿出了这样一幅图:

这个精妙的证明才让我突然提起神来。

“这种方法的好处还不止于此呢。”他说道,花白的胡子仿佛也透着神圣的光芒,“面积的证 明是特别奇妙的,斐波那数列,一个神奇的数列,就与面积有关” 这个说法有点新鲜,至少缓冲了我前面有些许无聊的心情。我又看看他说了啥:

怕我不明白,他又画了一幅图:

一个神奇的数列,得出了一个神奇的结果:

不仅如此,几何级数也能由这种方法证明呢!他说道,不是那种特意构造的,比如

证明:

或者,

证明:

或者,

证明:

我们用的是:

仿佛打了大胜仗一般,不过利用这么普通的东西就证明了要用符号表达半天才能说明的东 西,的确挺令人敬佩。他还拿出来这样:

n*r^n 的和是多少也尽在这个 图上了。 “这叫加百列楼梯(Gabriel Staircase)”他介绍道。“大天使加百列所做,我也是从其他位面 的神灵那里得到的。这代表了加百列成神的过程,她从无限远无限小的梯子出发,直到最左 边的高峰。原来只有上帝能够数尽的无限她也完成了,所以她才从智天使变为了大天使。” “加百列?”我震惊了,“难道现实中的神话都是真的。不过连我都能够穿越到这样一个地方, 现实中的神话是真的的概率也当然会很大了。” “不,我要纠正你一下,这只是一个上鞅。”老者怀着严肃的表情对我说道。他又叽叽咕咕不 知道说了些什么,隐约听见“随机过程”,“上鞅分解”什么听不懂的名词。我为了我的清静, 还是打断了他。

他回过神来,想了想,说道,“接下来你可以看看你们勾股定理是怎么被证明的。” “勾股定理,那有何难?”我说道,“我们那边随便一个初中生都能证明。” 老者似乎有点惊奇,他说道:“那你证明给我看看”。 “勾股定理,那有何难?”我说道,“我们那边随便一个初中生都能证明。” 老者似乎有点惊奇,他说道:“那你证明给我看看” 我写下:

还有另外一个方法:

这位老者看到,赞叹道:“你们的位面果然是神通广大啊,骨龄只有十几个地球年的人类, 却能掌握这样精妙的方法,我也想哪天来那边看看。不过先看看我想的其他方法吧”

或者

我问他:“既然你这么神通广大,可以到处去看看呀,与其他学数学的人类交流。为啥要窝 在这个小位面里,等待着不存在的穿越者来临?” 他叹了口气:“我也不是不想,我怕我闹笑话呀。上次计算机之神到了人间,且不说他每句 话前都要跟个 sudo, 他本来想体验一下医生的生活, 上次一个妹纸找他, 说?我要整形变靓?, 他却给人家写个 int a,这样的事情还很多呢。。” 原来说白了,这位老兄就是为了不被他的同仁笑话,才不敢出去走走,搞的他的位面冷冷清 清。 似乎有点冷场,他也不太好意思再说自己的丑事,拙劣地转移了话题:“这边是勾股定理的 推广内容:余弦定理了。”这是我精挑细选的几个证明:

以及:

还有:

“这黄色面积相等的两种方法,也说明了这个定理的存在。可以说,这样的定理简直是浑然 天成啊!” “初等的等式其实也差不多了,还有一些比较容易的几何定理,我都写在这块板上了”他指向 一块板,上面画着一些图,老远的,有点看不清。 首先映入眼帘的,还是这样一幅图:

老者夸夸其谈到:“这是我从另外一个神的宫殿的设计中得到的灵感,这样证明了一个正 12 边形的面积正好就是三个小正方形的面积。”还有这样的定理:

你们那边叫做 Varignon 定理的,我这里也有:

外接四边形是内接四边形的四倍,这张图就很好的阐述了这点。 “你们的托勒密定理也是我的囊中之物”

“简单不?” “关于面积,还有更深刻的解释呢!”他对面积似乎很有研究。我不禁想到了某段时间特别火 的一张图:

画给他看了以后,他笑道:“不就是两个函数可以靠的很近,但是它们导数的差却可以很大 么,图样图森破。”我想让他做下进一步的解释,他却说道:“你前面的东西都明白,怎么会 在这里不懂?好好去看下曲线长度的定义吧。”[1] 他回到了面积所引发的等式上:“被你刚刚一打岔,差点都忘了我要说什么了,我说,这些 面积也能用来证明积分。” “证明积分?似乎有点循环论证的味道。”我说道。他似乎有点心虚,声音提大了一点:“只 不过给你一个更加方便理解的途径而已,哪来循环论证?” 走着走着,就到了旁边一个村落,旁边路标上面写着:“高等数学界碑。” 进一步解释请看[1]。 第一个引入眼帘的,就是这样一个图案:

下面署名:

“不会就这么点东西吧”我有点不满意,他又指向了另一块牌子:

“这个不就是

虽然有点 trivial,但也是我苦思冥想才得到的。”老头似乎有点得意洋洋。 “拉倒吧”我就是有点看不惯他这个样子“怎么感觉就是把一个函数图象, 用它的上界减掉它, 来得到等式糊弄下大家呢?”

他似乎有点冷汗冒出,但还是强撑道:“怎么可能!这是我千辛万苦才得到的结果,我还和 此刻在火星的神讨论过呢!” “此刻在火星的神?那是谁?”我问道。“现在我也不晓得了,也许此刻在木星或此刻在太阳 了呢。”老头耸耸肩,继续走向下一个公告栏,“这些你应该不会失望了。”他说道。 “函数图象级数方面的应用效果是显著的”他突然有这样一句评价。 “何以见得?” “你可以通过以下的例子看出,就像这个”

他又指向了另一块板:

“弗兰肯斯坦博士是我敬重的一位科学巨匠”老者评论道。 “好像应该不叫弗兰肯斯坦吧。。”我嘀咕道。 “不要在意这些细节!”他听力很好。 “你能用这种方法构造出巴塞尔问题(也就是 1+1/2^2+...+1/n^2+...)的解吗?”我问道。 他似乎有点汗颜,只能支支吾吾说暂时没有,但总归会有的云云。 看到我失望的表情,他有些不服气,说道:“你肯定不知道函数图象还有这种用途吧?”

这下我才暂时同意了他对函数图象的看法。 “这里是我得意的证明之一,所以我把它放在了这个村落里。”老者指着一个图象说道 “是否能够在一个正方形网格中找到六个点,形成一个正六边形?” 下面附了一张图。

“只需要知道正方形网格关于任意点能够在 90 度旋转下不变,这个定理就是显然的了”老头 仿佛炫耀自己玩具的孩子一般说道。 我也感到十分美妙,所以赶快回复他一个十五字的好评。 “走过等式的殿堂,接下来就是不等式了”老者带着我,又走向另外一个方向。“做不等式的 人才是真正厉害的人,这可比等式难研究多了。似乎是哪位哲人说的?” “你见过其他哲人吗?”我问道。

“呃,貌似没有。Whatever,不打岔了,我们先去看看。”他仿佛为了掩饰尴尬,健步如飞状。

这也就是说:

“更奇妙的还在这里呢,在圆上就能够证明均值不等式”:

当然只能是二阶的。HM=2ab/(a+b),GM=sqrt(ab),AM=(a+b)/2,RMS=sqrt((a^2+b^2)/2) 显然就有 HM<=GM<=AM<=RMS 还有二维上的柯西不等式:

这些神奇的不等式只需要摆弄下面积就能做成。 “更奇妙的就在于射影几何了。”他说道。“射影几何的产生就是你们世界的笛沙格通过观察 到三维与二维的美妙联系才创建的。一个久负盛名的定理就是笛沙格定理”

“若三角形 ABC 和 A'B'C' 中, AA' 、 BB' 、 CC' 所在直线交于一点,则两个三角形中 每一组对应边的交点 (即 BC 和 B'C' 的交点 D 、 AC 和 A'C' 的交点 E 、 AB 和 A'B' 的交点 F )是共线的。” “这个定理根本就不需要证明! 把 P-ABC 看成一个三棱锥, 而 A'B'C' 则是一个不平行于底 面的截面。 由于 AB 、 A'B' 在同一平面内, 因此这两条线会相交; 这个交点既在平面 ABC 上, 也在平面 A'B'C' 上, 因而也就在两平面的交线上。 同理, 另外两个交点也都在平面 ABC 和 A'B'C' 的交线上,因此三个交点共线。” “同样地,平面上三圆两两相交,也会有这样的结论。”

“三条弦为何共点?只需要再三维中,看到”

“这三个球面存在一个公共点,投影到平面上,不就是原来的公共点了吗?” 我连声附和他的观点。 他越说越起劲了:“在这样一个空间中,

三个圆的两两公切线的交点也是共线的。这个用前面的方法也很容易证明。” “三个圆分别看成三个球,分别切于这个平面 A 上。同时也有一个平面 B,同时过三个球的 赤道,如下:

每两个球构成一个圆锥。每个圆锥的顶点,由于顶点与球心的连线在平面 B 上,而且存在 切线在平面 A 上,所以三个顶点在 A 与 B 的交上,显然在同一条线上。 久负盛名的“蝴蝶定理”,也可以这么得到:不过这里空白太小,我写不下,只好请读者老爷 们移步超链接了[2] "噢对了,有个奇妙的东西忘记说了。"(其实是笔者忘记了)他说道。

这样的三维证明是否很巧妙呢? “射影几何真是奇妙啊,真是数学中美与优雅的一面”我夸赞道。 他听到我的赞赏,说道,其实还有另外一些美的东西,比如,你是否能够将去掉对角两个小 单位正方形的偶数边长正方形用 1*2 的长方形覆盖?

“这又有何难,侮辱智商吗?不就是初中题。”我心里暗想,还是很牛逼状写了那个 classical 的做法:

“那你是否能够将去掉一黑一白两个格子的 8*8 正方形进行覆盖?”他微微一笑,问道。 “呃,这个。。”我默不作声了。他给出了这样的解释:

“去掉 A,B,覆盖不就唯一了么。” 他再次提问,是否能将去掉一个格子的 8*8 正方形利用 3*1 长方形覆盖呢? 见到我还是默不作声,他就画出了这样一张图。

“实数轴又是怎么和一根线对应起来的呢?”天色已黑,看到我也有点困倦了,老者于是发问 一些简单的问题。 “额,我只知道用 y=tanx 来进行一个映射”我老老实实回答。 “不错,就是如此。”老者说道。这里就是我的答案:

球面与平面的对应:

还有一维对二维平面的对应:

当然就需要更加严密的证明了。 “不就是黎曼球和皮亚诺曲线嘛”我说道“怎么突然变得这么水了?” “因为笔者有点撑不住了”老者回答“明天笔者要出去活动,所以先去躺下了,更新也会断掉 一会。” “好吧。”我无奈地说道“天色也不早了,我也去睡了,你这边住的地方在哪儿?” “好像有个叫希尔伯特宾馆的,注满了人?咦,我的位面不是没有人的嘛?不管怎么说,你 先去那里看看。”老者回答道。 “好的,不行我就来找你,你在哪里呀?” “拿着我的指纹,这个曼德博集,到那边的神庙按下就行。水和食物就给你一袋,相信你不 够了也会用巴拿赫-塔斯基来造的。” “OK”我说道。离开了这个村落。


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